同济大学：《线性代数》课程教学资源（课件讲稿）第三章 . 矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换与线性方程组 张莉 Email:lizhang@tongji.edu.cn Department of Mathematics Tongji University 4902 张鞘同济大学 1/37

. . 矩阵的初等变换与线性方程组 张 莉 Email:lizhang@tongji.edu.cn Department of Mathematics Tongji University ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙᮦ 1 / 37

§矩阵的初等变换 定义8.1.1 三类初等（列变换六类统称初等变换） ().对调两行：片分，称为调行变换 (2).某行乘一非零k:r×k称为数乘变换 ③).某行乘k加到另一行：片+和称为消去变换 1.初等变换之通变换也是同类型的初等变换，例： 一”的逆变换是它本身 厅xk的逆变换是厅X 十：的逆变换是厅一行 2,雅论若4可经若干次初等行变换化为B,则B也可若干次初等行变 换化为4 张鞘同济大学 维代 2/37

§ 矩阵的初等变换 . 定义 8.1.1 . . 三类初等 (列) 变换 (ޝ类㔏称初等变换) (1). 对调两行：ri ↔ rj , 称为调行变换 (2). 某行乘一非零 k: ri × k, 称为数乘变换 (3). 某行乘 k ࣐到ਖ一行: ri + krj 称为消去变换 1. 初等变换之逆变换也是同类型的初等变换. 例： ri ↔ rj 的逆变换是它本身; ri × k 的逆变换是 ri × 1 k ; ri + krj 的逆变换是 ri − krj . 2. 推论: 若 A 可经若干次初等行变换化为 B, 则 B 也可若干次初等行变 换化为 A. 3. 矩阵的行等价, 列等价和等价 4. 等价关系的自反性、对称性、和传递性 ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙᮦ 2 / 37

§矩阵的初等变换 定义8.1.1 三类初等（列变换六类统称初等变换） ().对调两行：片分，称为调行变换 (2).某行乘一非零k:r×k称为数乘变换 ③).某行乘k加到另一行：n+称为消去变换 1.初等变换之逆变换也是同类型的初等变换.例： 片方的逆变换是它本身： 片×k的逆变换是方× 片十的逆变换是片- 2 A可经若干次初等行交换化为B,则B也可若干次初等行交 换化为 3.电阵的行等价，列等价和等价 张鞘同济大学 性代 2/37

§ 矩阵的初等变换 . 定义 8.1.1 . . 三类初等 (列) 变换 (ޝ类㔏称初等变换) (1). 对调两行：ri ↔ rj , 称为调行变换 (2). 某行乘一非零 k: ri × k, 称为数乘变换 (3). 某行乘 k ࣐到ਖ一行: ri + krj 称为消去变换 1. 初等变换之逆变换也是同类型的初等变换. 例： ri ↔ rj 的逆变换是它本身; ri × k 的逆变换是 ri × 1 k ; ri + krj 的逆变换是 ri − krj . 2. 推论: 若 A 可经若干次初等行变换化为 B, 则 B 也可若干次初等行变 换化为 A. 3. 矩阵的行等价, 列等价和等价 4. 等价关系的自反性、对称性、和传递性 ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙᮦ 2 / 37

§矩阵的初等变换 定义8.1.1 三类初等（列变换六类统称初等变换） ().对调两行：片分，称为调行变换 (2).某行乘一非零k:r×k称为数乘变换 (3).某行乘k加到另一行：片+和称为消去变换 1.初等变换之逆变换也是同类型的初等变换.例： 片+方的逆变换是它本身： 片×k的逆变换是片× 片十的逆变换是片一a 2.推论：若A可经若干次初等行变换化为B,则B也可若干次初等行变 换化为A 3,电阵前行等价，列等价和等价 .等价关系的自反性、对称性、和传递性 张南同济大学 代圆 2/37

§ 矩阵的初等变换 . 定义 8.1.1 . . 三类初等 (列) 变换 (ޝ类㔏称初等变换) (1). 对调两行：ri ↔ rj , 称为调行变换 (2). 某行乘一非零 k: ri × k, 称为数乘变换 (3). 某行乘 k ࣐到ਖ一行: ri + krj 称为消去变换 1. 初等变换之逆变换也是同类型的初等变换. 例： ri ↔ rj 的逆变换是它本身; ri × k 的逆变换是 ri × 1 k ; ri + krj 的逆变换是 ri − krj . 2. 推论: 若 A 可经若干次初等行变换化为 B, 则 B 也可若干次初等行变 换化为 A. 3. 矩阵的行等价, 列等价和等价 4. 等价关系的自反性、对称性、和传递性 ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙᮦ 2 / 37

§矩阵的初等变换 定义8.1.1 三类初等（列变换六类统称初等变换） ().对调两行：斯分，称为调行变换 (2).某行乘一非零k:r×k称为数乘变换 (3).某行乘k加到另一行：片+和称为消去变换 1.初等变换之逆变换也是同类型的初等变换.例： 片方的逆变换是它本身； 片×k的逆变换是片× 片十的逆变换是片一a 2.推论：若A可经若干次初等行变换化为B,则B也可若干次初等行变 换化为A 3.矩阵的行等价，列等价和等价 系的自反性、对称性、和传递性 张南同济大学 代圆 2/37

§ 矩阵的初等变换 . 定义 8.1.1 . . 三类初等 (列) 变换 (ޝ类㔏称初等变换) (1). 对调两行：ri ↔ rj , 称为调行变换 (2). 某行乘一非零 k: ri × k, 称为数乘变换 (3). 某行乘 k ࣐到ਖ一行: ri + krj 称为消去变换 1. 初等变换之逆变换也是同类型的初等变换. 例： ri ↔ rj 的逆变换是它本身; ri × k 的逆变换是 ri × 1 k ; ri + krj 的逆变换是 ri − krj . 2. 推论: 若 A 可经若干次初等行变换化为 B, 则 B 也可若干次初等行变 换化为 A. 3. 矩阵的行等价, 列等价和等价 4. 等价关系的自反性、对称性、和传递性 ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙᮦ 2 / 37

§矩阵的初等变换 定义8.1.1 三类初等（列变换六类统称初等变换） ().对调两行：片分，称为调行变换 (2).某行乘一非零k:r×k称为数乘变换 (3).某行乘k加到另一行：片+和称为消去变换 1.初等变换之逆变换也是同类型的初等变换.例： 片方的逆变换是它本身： 片×k的逆变换是方× 片十的逆变换是片一a 2.推论：若A可经若干次初等行变换化为B,则B也可若干次初等行变 换化为A 3.矩阵的行等价，列等价和等价 4.等价关系的自反性、对称性、和传递性 张南同济大学 2/37

§ 矩阵的初等变换 . 定义 8.1.1 . . 三类初等 (列) 变换 (ޝ类㔏称初等变换) (1). 对调两行：ri ↔ rj , 称为调行变换 (2). 某行乘一非零 k: ri × k, 称为数乘变换 (3). 某行乘 k ࣐到ਖ一行: ri + krj 称为消去变换 1. 初等变换之逆变换也是同类型的初等变换. 例： ri ↔ rj 的逆变换是它本身; ri × k 的逆变换是 ri × 1 k ; ri + krj 的逆变换是 ri − krj . 2. 推论: 若 A 可经若干次初等行变换化为 B, 则 B 也可若干次初等行变 换化为 A. 3. 矩阵的行等价, 列等价和等价 4. 等价关系的自反性、对称性、和传递性 ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙᮦ 2 / 37

§矩阵的几种行初等简化形 定义8.1.2 称A为行阶梯形矩阵，若A满足 。各行的“首元”（第一个非零元）都在上一行的首元的右边 ©所有全零行都在最下面. 一般形式 每个首元的左面、下面全是专 00■ 0000■ 0 00000 0-000,00--0-,0 张鞘同济大学 3/37

§ 矩阵的几种行初等简化形 . 定义 8.1.2 . . 称 A 为行阶梯形矩阵，若 A 满䏣: .1 ਴行的 “首元”(第一个非零元) 都在上一行的首元的右边; .2 所有全零行都在最下面. . 一㡢形ᕅ . . (每个首元的左面、下面全是零) . 0. · · ·. 0. . ∗. · · ·. ∗. · · ·. · · ·. · · ·. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. . ∗. · · ·. · · ·. · · ·. ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. . · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 0. · · ·. 0. .   .   ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙᮦ 3 / 37

§矩阵的几种行初等简化形 定义8.1.2 称A为行阶梯形矩阵，若A满足 。各行的“首元”（第一个非零元都在上一行的首元的右边： ©所有全零行都在最下面 一般形式 (每个首元的左面、下面全是零) 0.0■ 0,000■*…* 0·000…00■…* 0…000…00…0……0 张南同济大学 3/37

§ 矩阵的几种行初等简化形 . 定义 8.1.2 . . 称 A 为行阶梯形矩阵，若 A 满䏣: .1 ਴行的 “首元”(第一个非零元) 都在上一行的首元的右边; .2 所有全零行都在最下面. . 一㡢形ᕅ . . (每个首元的左面、下面全是零) . 0. · · ·. 0. . ∗. · · ·. ∗. · · ·. · · ·. · · ·. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. . ∗. · · ·. · · ·. · · ·. ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. . · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 0. · · ·. 0. .   .   ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙᮦ 3 / 37

定理8.1.1 任一矩阵A可经过若干次初等行变换化为行阶梯形阵 算法一：步骤如下（证明已蕴含在步骤里）： 0…02 A= 0.·0 B 0.··0* ①用调行变换使A的第一个非零列的最上元不为零 ©用行沿去变换使1的第一个非琴列的其他元素均变为0 ⊙对矩阵B重复以上(1)，2)两步，以此类推 思考：一个可逆的行阶佛形矩阵是 张鞘同济大学 4/37

. 定理 8.1.1 . .任一矩阵 A 可经䗷若干次初等行变换化为行阶梯形阵. 算法一: 步骤如下 (证明已蕴含在步骤里): A = . 0. · · ·. 0. ?. ∗. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . B. . 0. · · ·. 0. ∗. . . . .   .   .1 用调行变换使 A 的第一个非零列的最上元不为零. .2 用行消去变换使 A 的第一个非零列的其他元素均变为 0. 3. 对矩阵 B ′ 重复以上 (1)、(2) 两步，以此类推. ᙍ㘳：一个可逆的行阶梯形矩阵是？ ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙᮦ 4 / 37

定理8.1.1 任一矩阵A可经过若干次初等行变换化为行阶梯形阵 算法一：步骤如下（证明已蕴含在步骤里）： 0..0■ A= 0...0 B 0..·0 。用调行变换使A的第一个非零列的最上元不为零 ⊙用行消去变换使A的第一个非零列的其他元素均变为0. 。对矩阵B面远以上(1).2)两步，以此类相 思考：一个可逆的行阶梯形矩阵是 张鞘同济大学 4/37

. 定理 8.1.1 . .任一矩阵 A 可经䗷若干次初等行变换化为行阶梯形阵. 算法一: 步骤如下 (证明已蕴含在步骤里): A = . 0. · · ·. 0. . ∗. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . B. . 0. · · ·. 0. ∗. . . . .   .   .1 用调行变换使 A 的第一个非零列的最上元不为零. .2 用行消去变换使 A 的第一个非零列的其他元素均变为 0. 3. 对矩阵 B ′ 重复以上 (1)、(2) 两步，以此类推. ᙍ㘳：一个可逆的行阶梯形矩阵是？ ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙᮦ 4 / 37