《运筹学》课程教学资源（试卷习题）第2章 线性规划部分练习题

《运筹学》线性规划部分练习题一、思考题1.什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？2．线性规划问题的一般形式有何特征？3.建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4．两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5.求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6.什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。7.试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。8.试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。9.在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10.大M法中，M的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？11.什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？二、判断下列说法是否正确。1.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。2．线性规划的可行解集是凸集。3．如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。4.线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。5.线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。6.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。7.用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与，>0对应的变量都可以被选作换入变量。8.单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。9.单纯形法计算中，选取最大正检验数k对应的变量x作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。10.一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。三、建立下面问题的数学模型1.某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目I从第一年到

《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1．什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2．线性规划问题的一般形式有何特征？ 3．建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4．两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5．求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6．什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形 式。 7．试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念 及它们之间的相互关系。 8．试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷 多个最优解、无界解或无可行解。 9．在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10．大 M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取 什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的 情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1．线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2．线性规划的可行解集是凸集。 3．如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4．线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条 件，可行域的范围一般将扩大。 5．线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6．如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与 j  0对应的变量 都可以被选作换入变量。 8．单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少 有一个基变量的值是负的。 9．单纯形法计算中，选取最大正检验数 k 对应的变量 k x 作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单 纯形表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1．某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到

第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划：项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元：项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元：项目IV需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？2.某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如下表21所示：表 2—1饲料蛋白质（克））「矿物质（克）维生素（毫克）价格（元/公斤）3110. 20. 5220. 51. 00.7310. 20. 20. 464220. 31250.50.80.8要求确定既满足动物生长的营养要求，又使费用最省的选择饲料的方案。设有某种原料的三个产地为A，，A，A，，把这种原料经过加工制成成品，再运往销售地。假设用4吨原料可制成1吨成品，产地A，年产原料30万吨，同时需要成品7万吨：产地A，年产原料26万吨，同时需要成品13万吨：产地A，年产原料24万吨，不需要成品。又知A，与A，间距离为150公里，A，与A，间距离为100公里，A，与A，间距离为200公里。原料运费为3千元／万吨公里，成品运费为2.5千元／万吨公里；在A，开设工厂加工费为5.5千元／万吨，在A，开设工厂加工费为4千元/万吨，在A，开设工厂加工费为3千元／万吨：又因条件限制，在A，设厂规模不能超过年产成品5万吨，A，与A，可以不限制（见表2一一2），问应在何地设厂，生产多少成品，才使生产费用（包括原料运费、成品运费和加工费）最少？表2—2

第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利 120% ，每年又可以重 新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利 150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过 20 万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利 160% ，但用于该项目 的最大投资额不得超过 15 万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利 140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过 10 万元。在这个计划期内，该公司第一 年可供投资的资金有 30 万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得 最大利润？ 2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要 700 克蛋白质、30 克矿物质、 100 克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表 2—1 所示： 表 2—1 饲料 蛋白质（克） 矿物质（克） 维生素（毫克） 价格（元/公斤） 1 3 1 0．5 0．2 2 2 0．5 1．0 0．7 3 1 0．2 0．2 0．4 4 6 2 2 0．3 5 12 0．5 0．8 0．8 要求确定既满足动物生长的营养要求，又使费用最省的选择饲料的方案。 设有某种原料的三个产地为 1 2 3 A , A , A ，把这种原料经过加工制成成品，再运往销售 地。假设用 4 吨原料可制成 1 吨成品，产地 A1 年产原料 30 万吨，同时需要成品 7 万吨；产地 A2 年产原料 26 万吨，同时需要成品 13 万吨；产地 A3 年产原料 24 万吨， 不需要成品。又知 A1 与 A2 间距离为 150 公里， A1 与 A3 间距离为 100 公里，A2 与 A3 间距离为 200 公里。原料运费为 3 千元 / 万吨公里，成品运费为 2.5 千元 / 万 吨公里；在 A1 开设工厂加工费为 5.5 千元 / 万吨，在 A2 开设工厂加工费为 4 千元 / 万吨，在 A3 开设工厂加工费为 3 千元 / 万吨；又因条件限制，在 A2 设厂规模不能 超过年产成品 5 万吨， A1 与 A3 可以不限制（见表 2——2），问应在何地设厂，生 产多少成品，才使生产费用（包括原料运费、成品运费和加工费）最少？ 表 2 — 2

距加工费产原料数地离A1A2A3（万吨）（千元/万吨）产地A10150100305. 5A22615002004A32002431000需成品数7013（万吨）4某旅馆每日至少需要下列数量的服务员。（见表2一3）每班服务员从开始上班到下班连续工作八小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅馆至少需要多少服务员。表2—3班次时间（日夜服务）最少服务员人数180上午6点一上午10点290上午10点一下午2点380下午2点一下午6点470下午6点一夜间10点540夜间10点一夜间2点630夜间2点上午6点-5.某农场有100公项土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日：春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元／人日，秋冬季收入为20元／人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公项土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元／每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元／每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡，牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如表2—4所示表2—4大豆玉米麦子203510秋冬季需人日数504075春夏季需人日数460030004100年净收入（元/公）试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。6.市场对I、Ⅱ两种产品的需求量为：产品I在1一4月份每月需1万件，5一9月份每月需3万件，10一12月份每月需10万0件：产品Ⅱ在3一9月份每月需1.5万件，其它每月需5万件。某厂生产这两种产品的成本为：产品I在1一5月份内生产时每件5元，6一12月份内生产时每件4.50元；产品Ⅱ在在1一5月份内生产时每件8元，6一12月份内生产时每件7元：该厂每月生产两种产品能力总和不超过12万件。产品I容积每件0.2立方米，产品II容积每件0.4立方米。该厂仓库容积为1万5千立方米，要求：（1）说明上述问题无可行解：（2）若该厂仓库不足时

距 产 离 地 产地 A1 A2 A3 产原料数 （万吨） 加工费 （千元/万吨） A1 0 150 100 30 5．5 A2 150 0 200 26 4 A3 100 200 0 24 3 需成品数 （万吨） 7 13 0 4 某旅馆每日至少需要下列数量的服务员．（见表 2—3）每班服务员从开始上班到下班连 续工作八小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅馆至少需要多少服务员。 表 2 — 3 班 次 时 间 （日 夜 服 务） 最少服务员人数 1 上午 6 点 — 上午 10 点 80 2 上午 10 点 — 下午 2 点 90 3 下午 2 点 — 下午 6 点 80 4 下午 6 点 — 夜间 10 点 70 5 夜间 10 点 — 夜间 2 点 40 6 夜间 2 点 — 上午 6 点 30 5． 某农场有 100 公顷土地及 15000 元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬 季 3500 人日；春夏季 4000 人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为 25 元 / 人日，秋冬季收入为 20 元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦， 并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资 800 元，每只鸡 投资 3 元。养奶牛时每头需拨出 1.5 公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为 100 人日， 春夏季为 50 人日，年净收入 900 元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只 鸡秋冬季 0.6 人日，春夏季为 0.3 人日，年净收入 2 元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允 许最多养 1500 只鸡，牛栏允许最多养 200 头。三种作物每年需要的人工及收入情况 如表 2 — 4 所示 表 2 — 4 大豆 玉米 麦子 秋冬季需人日数 春夏季需人日数 年净收入（元/公顷） 20 50 3000 35 75 4100 10 40 4600 试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。 6．市场对Ⅰ、Ⅱ两种产品的需求量为：产品Ⅰ在 1 — 4 月份每月需 1 万件，5—9 月份每月需 3 万件，10 — 12 月份每月需 10 万 0 件；产品Ⅱ在 3 — 9 月份每月需 1.5 万件，其它每月需 5 万件。某厂生产这两种产品的成本为：产品Ⅰ在 1 — 5 月份内 生产时每件 5 元，6 — 12 月份内生产时每件 4.50 元；产品Ⅱ在在 1 — 5 月份内生 产时每件 8 元，6 — 12 月份内生产时每件 7 元；该厂每月生产两种产品能力总和不 超过 12 万件。产品Ⅰ容积每件 0.2 立方米，产品Ⅱ容积每件 0.4 立方米。该厂仓库 容积为 1 万 5 千立方米，要求：（1）说明上述问题无可行解；（2）若该厂仓库不足时

可从外厂租借。若占用本厂仓库每月每立方米需1元，而租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用最少？（建立模型，不求解）7.某工厂I、Ⅱ、Ⅲ三种产品在下一年个季度的合同预定数如表2一5所示，该三种产品第一季度初无库存，要求在在第四季度末每种产品的库存为150件。已知该厂每季度生产工时为15000小时，生产产品I、I、Ⅲ每件需3，4，3小时。因更换工艺装备，产品I在第二季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品I、IⅡ每件每迟交一个季度赔偿20元，产品Ⅲ赔偿15元，又生产出来的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费为5元。问应如何安排生产，使总的赔偿加库存费用最小。表2—5度季产品123411500100020001200II1500150012001500III15002000150025008：某玩具厂生产L、II、ⅢI三种玩具，这三种玩具需在A、B、C三种机器上加工，每60个为一箱。每箱玩具在不同的机器上加工所需的时间（天）如表2一6所示，本月可供使用的机器的时间为：A为15天，B为20天，C为24天。每箱玩具的价格为I：1500元；IⅡ：1700元：ⅡⅢ：2400元。问怎样安排生产，使总的产值最大。表2—6机器加工天数ABc621玩具I322玩具ⅡI52玩具ⅢI-9.某线带厂生产A、B两种纱线和C、D两种纱带，纱带由纱线加工而成。这四种产品的产值，可变成本（即材料、人工等随产品数量变化的直接费用），加工工时等由表2一7给出，工厂有供纺纱的总工时7200h，织带的总工时1200h（1）列出线性规划模型，以便确定产品数量，使总的利润最大。（2）如果组织这次生产的固定成本（即与产品数量无关的间接费用）为20万元，线性规划模型有何变化？表2—7产品cBDA项目单位产值（元）16814010504064228单位可变成本（元）35014032104单位纺纱工时（h）002单位织带工时（h）0. 510.某制衣厂生产4种规格的出口服装，有三种制衣机可以加工这4种服装，他们的生产效率（每天制作的服装件数）等有关数据如表2一8所示，试确定各种服装

可从外厂租借。若占用本厂仓库每月每立方米需 1 元，而租用外厂仓库时上述费用增 加为 1.5 元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存 费用最少？（建立模型，不求解） 7．某工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品在下一年个季度的合同预定数如表 2 —5 所示，该三种产 品第一季度初无库存，要求在在第四季度末每种产品的库存为 150 件。已知该厂每季度生 产工时为 15000 小时，生产产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ每件需 3，4，3 小时。因更换工艺装备，产品 Ⅰ在第二季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品Ⅰ、Ⅱ每件每迟交一个季度赔 偿 20 元，产品Ⅲ赔偿 15 元，又生产出来的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费 为 5 元。问应如何安排生产，使总的赔偿加库存费用最小。 表 2 — 5 产 品 季 度 1 2 3 4 Ⅰ 1500 1000 2000 1200 Ⅱ 1500 1500 1200 1500 Ⅲ 1500 2000 1500 2500 8．某玩具厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种玩具，这三种玩具需在Ａ、Ｂ、Ｃ三种机器上加工，每 60 个为一箱。每箱玩具在不同的机器上加工所需的时间（天）如表 2 —6 所示，本月可 供使用的机器的时间为：Ａ为 15 天，Ｂ为 20 天，Ｃ为２４天。每箱玩具的价格为Ⅰ：1500 元；Ⅱ：1700 元；Ⅲ ：2400 元。问怎样安排生产，使总的产值最大。 表 2 — 6 加工天数 机 器 Ａ Ｂ Ｃ 玩具Ⅰ ２ ６ １ 玩具Ⅱ ３ ２ ２ 玩具Ⅲ ５ ２ — ９．某线带厂生产Ａ、Ｂ两种纱线和Ｃ、Ｄ两种纱带，纱带由纱线加工而成。这四种产品 的产值，可变成本（即材料、人工等随产品数量变化的直接费用），加工工时等由表２— ７给出，工厂有供纺纱的总工时 7200h，织带的总工时 1200h （1）列出线性规划模型，以便确定产品数量，使总的利润最大。 （2）如果组织这次生产的固定成本（即与产品数量无关的间接费用）为 20 万元，线性规 划模型有何变化？ 表 2 — 7 产品 项目 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 单位产值（元） 168 140 1050 406 单位可变成本（元） 42 28 350 140 单位纺纱工时（h） 3 2 10 4 单位织带工时（h） 0 0 2 0．5 10．某制衣厂生产 4 种规格的出口服装，有三种制衣机可以加工这 4 种服装，他们的 生产效率（每天制作的服装件数）等有关数据如表 2—8 所示，试确定各种服装

的生产数量，使总的加工费用最小。表 2—8制衣机需要生产衣服规格BCA数量（件）I30080060010000II2807004509000III2003506807000IV1504104508000每天加工费80100150（元）11.某制衣厂生产两种服装，现有100名熟练工人。已知一名熟练工人每小时生产10件服装I或6件服装Ⅱ。据销售部门消息，从本周开始，这两种服装的需求量将持续上升。见表2一9，为此，该厂决定到第8周末需培训出100名新工人，两班生产。已知一名工人一周工作40小时，一名熟练工人每周时间可培训出不多余5名的新工人（培训期间熟练工人和培训人员不参加生产）熟练工人每周工资400元，新工人在培训期间工资每周80元，培训合格后参加生产每周工资260元，生产效率同熟练工人。在培训期间，为按期交货，工厂安排部分工人加班生产每周工作50小时，工资每周600元。又若所定的服装不能按期交货，每推迟交货一周的赔偿费为：服装每件10元，服装I每件20元。工厂应如何安排生产，使各项费用总和最少。表 29（单位：千件/周）周次2356184服装2020242533344042II142222251217252512.某家具制造厂生产五种不同规格的家具。每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几种主要工序。每种家具的每道工序所用时间及每道工序的可用时间，每种家具的利润由表2一10给出。问工厂应如何安排生产，使总的利润最大？表2—10所需时间（小时）每道工序生产工序四-三五可用时间二34623成型360043564打磨395023343上漆2800332.74.52.5利润（百元）13.某混合饲料场饲养为某种动物配置。已知此动物的生长速度和饲料中的三种营养成分甲、乙、丙有关，且每头动物每天需要营养甲85克，乙5克，丙18克。现有五种饲料都含有这三种营养成分，每种饲料每公斤所含营养成分及每种饲料成本如表2一11所示，求即满足动物成长需要又使成本最低的饲料配方

的生产数量，使总的加工费用最小。 表 2—8 衣服规格 制 衣 机 需要生产 A B C 数量（件） Ⅰ 300 600 800 10000 Ⅱ 280 450 700 9000 Ⅲ 200 350 680 7000 Ⅳ 150 410 450 8000 每天加工费 （元） 80 100 150 11．某制衣厂生产两种服装，现有 100 名熟练工人。已知一名熟练工人每小时生产 10 件 服装Ⅰ或 6 件服装Ⅱ。据销售部门消息，从本周开始，这两种服装的需求量将持续上升。 见表 2 — 9，为此，该厂决定到第 8 周末需培训出 100 名新工人，两班生产。已知一名 工人一周工作 40 小时，一名熟练工人每周时间可培训出不多余 5 名的新工人（培训期间 熟练工人和培训人员不参加生产）熟练工人每周工资 400 元，新工人在培训期间工资每 周 80 元，培训合格后参加生产每周工资 260 元，生产效率同熟练工人。在培训期间，为 按期交货，工厂安排部分工人加班生产每周工作 50 小时，工资每周 600 元。又若所定的 服装不能按期交货，每推迟交货一周的赔偿费为：服装Ⅰ每件 10 元，服装Ⅱ每件 20 元。 工厂应如何安排生产，使各项费用总和最少。 表 2 — 9 （单位：千件/周） 周次 服装 1 2 3 4 5 6 7 8 Ⅰ 20 20 24 25 33 34 40 42 Ⅱ 12 14 17 22 22 25 25 25 12．某家具制造厂生产五种不同规格的家具。每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆 几种主要工序。每种家具的每道工序所用时间及每道工序的可用时间，每种家具的利润 由表 2—10 给出。问工厂应如何安排生产，使总的利润最大？ 表 2—10 生产工序 所需时间 （小时） 每道工序 一 二 三 四 五 可用时间 成型 3 4 6 2 3 3600 打磨 4 3 5 6 4 3950 上漆 ２ ３ ３ ４ ３ 2800 利润（百元） ２.7 ３ ４.5 2.5 3 13．某混合饲料场饲养为某种动物配置。已知此动物的生长速度和饲料中的三种营养成 分甲、乙、丙有关，且每头动物每天需要营养甲 85 克，乙 5 克，丙 18 克。现有五种饲 料都含有这三种营养成分，每种饲料每公斤所含营养成分及每种饲料成本如表 2—11 所 示，求即满足动物成长需要又使成本最低的饲料配方

表 2—11饲料营养甲（克）营养乙（克）营养丙（克）成本（元）120.500.100.08622. 000. 060. 70353. 000. 040.35441. 500.150.2550. 0230.800.2014.某食品厂在第一车间用1单位原料N可加工3单位产品A及2单位产品B，产品A可以按单位售价8元出售，也可以在第二车间继续加工，单位生产费用要增加6元，加工后单位售价增加9元。产品B可以按单位售价7元出售，也可以在第三车间继续加工单位生产费用要增加4元，加工后单位费用可增加6元。原料N的单位购入价为2元，上述生产费用不包括工资在内。3个车间每月最多有20万工时，每工时工资0.5元，每加工1单位N需1.5个工时，如A继续加工每单位需3工时，如B继续加工，每单位需2个工时。原料N每月最多能得到10万单位。问如何安排生产，使工厂获利最大。15.某公司有30万元可用于投资，投资方案有下列几种：方案1：年初投资1元，第二年年底可收回1.2元。5年内都可以投资，但投资额不能超过15万元。方案II：年初投资1元，第三年年底可收回1：3元。5年内都可以投资。方案IⅢI：年初投资1元，第四年年底可收回1.4元。5年内都可以投资。方案IV：只在第二年年初有一次投资机会，每投资1元，四年后可收回1.7元。但最多投资额不能超过10万元。方案V：只在第四年年初有一次投资机会，每投资1元，年底可收回1.4元。但最多投资额不能超过20万元。方案VI：存入银行，每年年初存入1元，年底可收回1.02元投资所得的收益及银行所得利息也可用于投资求使公司在第五年底收回资金最多的投资方案，16.某工厂生产I、II、IⅢI、IV四种产品，产品I需依次经过A、B两种机器加工，产品Ⅱ需依次经过A、C两种机器加工，产品IⅡI需依次经过B、C两种机器加工，产品IV需依次经过A、B机器加工。。有关数据如表2一12所示，请为该厂制定一个最优生产计划。表2—12机器生产率（件/小时）原料成本产品价产品ABc(元）格（元）110201665II20251080II10151250IV20101870200150225机器成本（元／小时）70150120每周可用小时数四、用图解法解下列线性规划

表 2—11 饲料 营养甲（克） 营养乙（克） 营养丙（克） 成本（元） 1 0．50 0．10 0．08 2 2 2．00 0．06 0．70 6 3 3．00 0．04 0．35 5 4 1．50 0．15 0．25 4 5 0．80 0．20 0．02 3 14．某食品厂在第一车间用 1 单位原料 N 可加工 3 单位产品 A 及 2 单位产品 B，产品 A 可以按单位售价 8 元出售，也可以在第二车间继续加工，单位生产费用要增加 6 元，加 工后单位售价增加 9 元。产品 B 可以按单位售价 7 元出售，也可以在第三车间继续加工， 单位生产费用要增加 4 元，加工后单位费用可增加 6 元。原料 N 的单位购入价为 2 元， 上述生产费用不包括工资在内。3 个车间每月最多有 20 万工时，每工时工资 0.5 元，每 加工 1 单位 N 需 1.5 个工时，如 A 继续加工,每单位需 3 工时，如 B 继续加工，每单位需 2 个工时。原料 N 每月最多能得到 10 万单位。问如何安排生产，使工厂获利最大。 15．某公司有 30 万元可用于投资，投资方案有下列几种： 方案Ⅰ：年初投资 1 元，第二年年底可收回 1．2 元。5 年内都可以投资，但投资额 不能超过１５万元。 方案Ⅱ：年初投资 1 元，第三年年底可收回 1．3 元。5 年内都可以投资。 方案Ⅲ：年初投资 1 元，第四年年底可收回 1．4 元。5 年内都可以投资。 方案Ⅳ：只在第二年年初有一次投资机会，每投资 1 元，四年后可收回 1.7 元。但 最多投资额不能超过 10 万元。 方案Ⅴ：只在第四年年初有一次投资机会，每投资 1 元，年底可收回 1.4 元。但最 多投资额不能超过 20 万元。 方案Ⅵ：存入银行，每年年初存入 1 元，年底可收回 1.02 元. 投资所得的收益及银行所得利息也可用于投资.求使公司在第五年底收回资金最多 的投资方案. 16.某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，产品Ⅰ需依次经过 A、B 两种机器加工，产品 Ⅱ需依次经过 A、C 两种机器加工，产品Ⅲ需依次经过 B、C 两种机器加工，产品Ⅳ需依 次经过 A、B 机器加工。有关数据如表 2—12 所示，请为该厂制定一个最优生产计划。 表 2—12 产 品 机器生产率（件/小时） 原料成本 （元） 产品价 Ａ Ｂ Ｃ 格（元） Ⅰ 10 20 16 65 Ⅱ 20 10 25 80 Ⅲ 10 15 12 50 Ⅳ 20 10 18 70 机器成本（元／小时） 200 150 225 每 周 可 用 小时 数 150 120 70 四、用图解法解下列线性规划

1. maxZ=x +2x22. maxZ=2xj+2x2[3x+5x2≤15[xi -x2 ≥-16x+2x2≤12 0.5x +X2≤2[,x2 ≥0[x],x≥03.minZ=2xj +3x24. minZ=2xi-10x2[x] +3x2 ≥3Xi - X2 ≥23xj -X2 ≥-5+≥2[X,x ≥0[X] ,X2 ≥05.maxZ=3xj+9x26. maxZ=x+x2X +3x2≤32[2x) +x2 ≤20-X +x ≤4X+x2≥10X≤6X≥52x-5x2≤0[x,≥0[,x≥0五、用单纯形法解下列线性规划问题。（可用大M法或两阶段法）。(1)maxZ=2x-x2+x3(2) maxZ=2xi +x2+x33xi + X2 + X3 ≤604x+2x2+2x3≥4≤20Xi-X2+2x3≤102xj +4x2X +X2-X≤204x +8x2 +2x ≤16X1,X2,Xg ≥0X1,X2,X3 ≥0(3)maxZ=3x +x2 +3x3(4)max Z = 2xi + 4x2 + xg + x42x+X2+X≤2+3x2+X4≤4≤3Xj +2x2+3x3≤52x, + X22x1 +2x2 +X3 ≤6X2 +4x3 +4≤3[X,X2,X ≥0[X,X2,,X ≥0

1． max 1 2 2 Z  x  x 2． max 2 1 2 2 Z  x  x           , 0 6 2 12 3 5 15 1 2 1 2 1 2 x x x x x x             , 0 0.5 2 1 1 2 1 2 1 2 x x x x x x 3． min 2 1 3 2 Z  x  x 4． min 2 1 10 2 Z  x  x           , 0 2 3 3 1 2 1 2 1 2 x x x x x x            , 0 3 5 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x 5． max 3 1 9 2 Z  x  x 6． max 1 2 Z  x  x              , 0 2 5 0 6 4 3 32 1 2 1 2 2 1 2 1 2 x x x x x x x x x            , 0 5 10 2 20 1 2 1 1 2 1 2 x x x x x x x 五、用单纯形法解下列线性规划问题。（可用大 M 法或两阶段法）。 （1） max 2 1 2 3 Z  x  x  x （2） max 2 1 2 3 Z  x  x  x                , , 0 20 2 10 3 60 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x               , , 0 4 8 2 16 2 4 20 4 2 2 4 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 x x x x x x x x x x x (3)max 3 1 2 3 3 Z  x  x  x (4)max 2 1 4 2 3 4 Z  x  x  x  x                , , 0 2 2 6 2 3 5 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x               , , , 0 4 3 2 3 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 1 2 4 x x x x x x x x x x x x

(6)maxZ=30x,+40x2-100x3(5)maxZ= xi +2x2 +3x3 -X4Xj +2x2+3x3=15[4x + 3x2 - X3 = 302x+x2+5x3=20XI +3x2-X3 =12X +X2 +X +X4=10[X,X2,X ≥0[2,≥0(8) maxZ= 4x +3x2(7) max Z = 6x + X2 -X3 +X4=15[3x+6x2+3x3-4x4=12[X) +2x2 +X3=186x1+3x3=122x+5x33xi-6x22x +4x2 +X3 + X4=10+4x4=0(X1,X2, X3,X4≥0[ X1,X2, X3, X4 ≥0(9) min Z = 3x +2x2 +4x3 +8x4(10)max Z = 5x1 -2x2 +x3Xi+4x2+X≤6Xj+2x2+5x3+6x4≥8-2xi+52+3x3-5x4≤32x + X2 +3x3 ≥2≥，符号不限[,X2,,≥0(1l)maxZ = 2x; +3x2 -Xg + x4(12)maxZ =5x +3x2 +6x3X-X2+2x+x4≥9X +2x2+x≤182x2 +x3 -x4 ≤52xi +X2 +3x3 ≤16- 2xi +x2 -3x3 +X4 ≤-1X+x2+X=10≥3Xi+X3[2≥0符号不限 X, X2,X,X4≥0六、表213中给出求极大化问题的单纯形表，问表中ai,α2,Ci,C2,d为何值时以及表中变量属于哪一种类型时有：（1）表中解为唯一最优解：（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）表中解为退化的可行解；（4）下一步选代将以x,代替基变量xs：（5）该线性规划问题具有无界解：（6）该线性规划问题无可行解

(5)max 1 2 2 3 3 4 Z  x  x  x  x （6） max 30 1 40 2 100 3 Z  x  x  x                 , , , 0 10 2 5 20 2 3 15 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x x x             , , 0 3 12 4 3 30 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x (7) max 6 1 2 3 4 Z  x  x  x  x (8) max 4 1 3 2 Z  x  x                , , , 0 2 4 10 2 5 18 2 15 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x x                , , , 0 3 6 4 0 6 3 12 3 6 3 4 12 1 2 3 4 1 2 4 1 3 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x (9) min 3 1 2 2 4 3 8 4 Z  x  x  x  x (10)max 5 1 2 2 3 Z  x  x  x                , , , 0 2 5 3 5 3 2 5 6 8 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x             1 2 3 符号不限 1 2 3 1 2 3 , , 2 3 2 4 6 x x x x x x x x x (11)max 2 1 3 2 3 4 Z  x  x  x  x (12)max 5 1 3 2 6 3 Z  x  x  x                     , , , 0 3 2 3 1 2 5 2 9 1 2 3 4 1 3 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x                1 2 3 符号不限 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , 0 , 10 2 3 16 2 18 x x x x x x x x x x x x 六、表 2—13 中给出求极大化问题的单纯形表，问表中 a1 ,a2 ,c1 ,c2 ,d 为何值时以及表 中变量属于哪一种类型时有： （1）表中解为唯一最优解； （2）表中解为无穷多最优解之一； （3）表中解为退化的可行解；（4）下一步迭代将以 1x 代替基变量 5 x ； （5）该线性规划问题具有无界解；（6）该线性规划问题无可行解

表2—13bXiX2X3x4X5XB0041dx3aix4010-12-50013Xsa23000C1C2Cj-zj七、某医院的护士分四个班次，每班工作12h。报到的时间分别是早上6点，中午12点，下午6点，夜间12点。每班需要的人数分别为19人，21人，18人，16人。问：（1）每天最少需要派多少护士值班？（2）如果早上6点上班和中午12点上班的人每月有120元加班费，下午6点和夜间12点上班的人每月分别有100元和150元加班费，如何安排上班人数，使医院支付的加班费最少？八、某石油公司有两个冶炼厂。甲厂每天可生产高级、中级和低级的石油分别为200，300和200桶，乙厂每天可生产高级、中级和低级的石油分别为100，200和100桶。公司需要这三种油的数量分别为14000，24000和14000桶。甲厂每天的运行费是5000元，乙厂是4000元。问：（1）公司应安排这两个厂各生产多少天最经济？（2）如甲厂的运行费是2000元，乙厂是5000元。公司应如何安排两个厂的生产。列出线性规划模型并求解

表 2—13 Bx b 1x 2 x 3 x 4 x 5 x 3 x 4 x 5 x d 2 3 4—1 a2 1 a—5 —3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 j j c  z 1c 2 c 0 0 0 七、某医院的护士分四个班次，每班工作 12 h 。报到的时间分别是早上 6 点 ，中午 12 点,下午 6 点，夜间 12 点。每班需要的人数分别为 19 人，21 人，18 人，16 人。问： （1）每天最少需要派多少护士值班？ （2）如果早上 6 点上班和中午 12 点上班的人每月有 120 元加班费，下午 6 点和夜间 12 点上班的人每月分别有 100 元和 150 元加班费，如何安排上班人数，使医院支付 的加班费最少？ 八、某石油公司有两个冶炼厂。甲厂每天可生产高级、中级和低级的石油分别为 200， 300 和 200 桶，乙厂每天可生产高级、中级和低级的石油分别为 100，200 和 100 桶。公 司需要这三种油的数量分别为 14000，24000 和 14000 桶。甲厂每天的运行费是 5000 元，乙厂是 4000 元。问： （1）公司应安排这两个厂各生产多少天最经济？ （2）如甲厂的运行费是 2000 元，乙厂是 5000 元。公司应如何安排两个厂的生产。 列出线性规划模型并求解