《运筹学》课程教学资源（试卷习题）第6章 排队论题解

《运等学》第六章排队论习题解答2. (1)/(2)/ (3)×(4)/ (5)×(6)×(7)×(8)/(9)/ (10)×3.解：单位时间为小时，元=3，μ=6，P=/μ=3/6=0.5(1）店内空闲的时间：Po=1-p=1-1/2=0.5：0()(2）有4个顾客的概率：P4=p*(1-p)=二=0.03125;-(3）至少有一个顾客的概率：P(N≥1)=1-Po=0.5;(4）店内顾客的平均数：L=，=1:1-p（5）等待服务的顾客的平均数：Lg=L-p=0.5Lg = 0.52=0.1667;（6）平均等待修理的时间：W=元3（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。-15(一-一)1P(T >15)=e-(u-2) = e-15(10~ 20′ = e 2 = 0.6074.解：单位时间为小时，=3，μ=60/12=5，=/μ=0.6（1）病人到来不用等待的概率：Po=1-p=1-0.6=0.40.6p（2）门诊部内顾客的平均数：L=1.5（人）1-p1-0.61（3）病人在门诊部的平均逗留时间：W：=0.5（小时）μ-（4）若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1小时，则有：1113u-元"5-元，=4即当病人平均到达时间间隔小于等于15分钟时，医院将增加值班医生。5.解：单位时间为小时，=4，μ=10，p=2/μ=0.4，K=3

《运筹学》第六章排队论习题解答 2．（1）√ （2）√ （3）X（4）√（5）X（6）X（7）X（8）√（9）√（10）X 3．解：单位时间为小时，   3 ,   6 ,      3 6  0.5 （1）店内空闲的时间： p0 1  11 2  0.5 ； （2）有 4 个顾客的概率： 0.03125 2 1 2 1 1 2 1 (1 ) 5 4 4 4                      ； （3）至少有一个顾客的概率： PN 11 p0  0.5 ； （4）店内顾客的平均数： 1 1      L ； （5）等待服务的顾客的平均数： Lq  L    0.5 （6）平均等待修理的时间： 0.1667 3 0.5     Lq W ； （7）一个顾客在店内逗留时间超过 15 分钟的概率。  15 0.607 2 1 ) 2 0 1 1 0 1 1 5( ( )           P T e e e   t 4．解: 单位时间为小时，   3 ,   60 12  5 ,      0.6 （1）病人到来不用等待的概率： p0 1  10.6  0.4 （2）门诊部内顾客的平均数： 1.5 1 0.6 0.6 1        L （人） （3）病人在门诊部的平均逗留时间； 0.5 1      W （小时） （4）若病人在门诊部内的平均逗留时间超过 1 小时，则有： , 4 5 1 1 1           即当病人平均到达时间间隔小于等于 15 分钟时，医院将增加值班医生。 5．解：单位时间为小时，   4 ,  10 ,      0.4 , K  3 ；

1-p1-0.40.616；（1）系统内没有顾客的概率：Po1-p410.44（2）系统内顾客的平均数：(K +1)pK+I4×0.440.4PL==0.562（人）：1-pK+I10.441-0.41-p(3)排队等待服务的顾客数：L。=L-(1-Po）=0.562-0.384=0.178（人);（4）顾客在系统中的平均花费时间：L0.562=0.146=8.8（分钟）W-(1-ppo)3.842（5）顾客平均排队时间：Wg=W-1/μ=0.146-0.1=0.046=2.8（分钟）。6.解：此问题可归结为M／M／1／7的模型，单位时间为小时，几=4,u=5,p=2/μ=0.8,K=71-0.8=0.2403；（1）患者无须等待的概率：Po10.888x0.880.8（2）门诊部内患者平均数：L==2.387（人）1-0.8~1-0.88（3）需要等待的患者平均数：L。=2.387-(1-Po）=1.627（人）1-0.8（4）有效到达率：。=a(1-P)=4×(1-×0.87)=3.8;10.88（5）患者在门诊部逗留时间的平均值：L2.387W:=0.628（小时）=37.7（分钟）3.8（6）患者等待就诊的平均时间：W。=37.7-12=25.7（分钟）p7=0.0503=5.03% 的患者因坐满而自动离去(7)有P71-p7.解：此为一个M/M/4系统，入=20，μ=10，P=2/μ=2，系统服务强度

（1）系统内没有顾客的概率： 0.616 1 0.4 1 0.4 1 1 0 4 4          p ； （2）系统内顾客的平均数： 0.562 1 0.4 4 0.4 1 0.4 0.4 1 ( 1) 1 4 4 1 1              K K K L     （人）； （3）排队等待服务的顾客数： Lq  L (1 p0 )  0.562 0.384  0.178 （人）； （4）顾客在系统中的平均花费时间： 0.146 8.8 3.842 0.562 (1 ) 0 3      p L W   （分钟） （5）顾客平均排队时间： Wq W 1   0.146 0.1 0.046  2.8 （分钟）。 6．解：此问题可归结为Ｍ／Ｍ／１／７的模型，单位时间为小时，   4 ,   5 ,      0.8 , K  7 （1）患者无须等待的概率： 0.2403 1 0.8 1 0.8 0 8    p  ； （2）门诊部内患者平均数： 2.387 1 0.8 8 0.8 1 0.8 0.8 8 8      L  （人） （3）需要等待的患者平均数： Lq  2.387 (1 p0 ) 1.627 （人） （4）有效到达率： 0.8 ) 3.8 1 0.8 1 0.8 (1 ) 4 (1 7 7 8         P    ； （5）患者在门诊部逗留时间的平均值： 0.628 3.8 2.387     L W （小时）=37.7(分钟) （6）患者等待就诊的平均时间： Wq  37.7 12  25.7 (分钟) （7）有 0.0503 5.03% 1 1 7 7 8         P 的患者因坐满而自动离去. 7.解：此为一个Ｍ/Ｍ/4 系统，   20 ,  10 ,      2 , 系统服务强度

5424=0.5，所以Po= 0.134(K=0k!4! 1-1/2（1）前来加油的汽车平均等待的时间即为WL1L11=W-W.因为元01020μ24×0.5×0.13pppo而2=2.174x(1-0.5)2cl(1-p*)2故：W。=0.0085（小时）=0.51（分钟）（2）汽车来加油时，4台油泵都在工作，设汽车平均等待的时间为W*Wa02则W Po = 0.26因为 Pi = ppo=0.26，P2Zk--Pkp33 Po = 0.18, c=4,P3Zk=4 Pk =1-Zk=0 Pk = 0.17Wa0.51所以：W3（分钟）。0.170.178.解：此为一个M/M/3系统，元=0.9，=0.4，P=2/u=2.25，系统服务强P=0.75p*=4度：3(2.25)3(2.25)k130.0743(1) Po2k=0k!3!1-0.75(2.25)3×0.75L=（2）因为：Lx0.0743+2.25=3.95（人）3!x(1-0.75)2所以：Lg=L-p=3.95-2.25=1.70（人）

0.5 4 2     ，所以 0.13 1 1 2 1 4! 2 ! 2 1 3 0 0                k k k k p （1）前来加油的汽车平均等待的时间即为 Wq ： 因为 10 1 20 1 1       L L Wq W    而 2 2.17 4! (1 0.5) 2 0.5 0.13 !(1 ) 2 4 2 0                 c p L c 故： Wq ＝０.0085（小时）=0.51（分钟） （2）汽车来加油时,4 台油泵都在工作,设汽车平均等待的时间为  W . 则      k c k q P W W ，因为 p1  p0  0.26， 0.26 2 0 2 p2  p   0.18 3! 0 3 p3  p   ，c  4， 1 0.17 3 4 0       k pk k pk 所以 ： 3 0.17 0.51 0.17     Wq W （分钟）。 8．解：此为一个Ｍ/Ｍ/3 系统，   0.9 ,   0.4 ,      2.25 , 系统服务强 度： 0.75 3      （1） 0.0743 1 0.75 1 3! (2.25) ! (2.25) 1 3 0 3 0               k k k p （2）因为： 0.0743 2.25 3.95 3! (1 0.75) (2.25) 0.75 2 3       L  （人） 所以： Lq  L    3.95  2.25 1.70 （人）

L3.95（3）平均逗留时间：W4.39（分钟）10.9（4）平均等待时间：W。=W-1/μu=4.39-1/0.4=1.89（分钟）（5）设顾客到达后的等待概率为P*，则(2.25)311pcQx0.0743=0.57X3!1-0.75c! 1-pk=c9.解：此为系统为M/M/n(n=3)损失制无限源服务模型，元=5u=60/30=2.p=/u=2.5，(2.5)k73(1+2.5+3.125+2.604)-=0.108(1) Pok!(2）P=Ppo=2.5×0.108=0.2710.此为系统为M/M/n(n=3)服务模型，2401=4(人/分钟），μ2(人/分钟),p=元/μ=2,n=3,0.560（1）整个系统内空闲的概率：0f=(1+2+2+4)- =0.111;PoLk=o k!3!（2）顾客等待服务的概率：40.444Po93!nP（3）系统内等待服务的平均顾客数：080.888（人);L2Po(n-1)!(n- p)29（4）平均等待服务时间：I812= 0.222 ;WaX元949（5）系统平均利用率：p*=p/n=2/3=0.667；

（3）平均逗留时间： 4.39 0.9 3.95     L W （分钟） （4）平均等待时间： Wq W 1   4.39 1 0.4 1.89 （分钟） （5）设顾客到达后的等待概率为  P ，则 0.0743 0.57 1 0.75 1 3! (2.25) 1 1 ! 3 0              P c P P c k c k   9．解：此为系统为 M / M / n (n=3)损失制无限源服务模型，   5 , ,  60 30  2 ,      2.5 ， （1） 1 2.5 3.125 2.604 0.108 ! (2.5) 1 1 3 0 0                 k k k p （2） p1   p0  2.50.108  0.27 10．此为系统为 M / M / n (n=3)服务模型， 2( / ) , 2 , 3 0.5 1 4( / , 60 240    人 分钟）   人 分钟      n  ， （1）整个系统内空闲的概率： (1 2 2 4) 0.111 ! 3! 1 1 2 0 3 0                           k k n n k p    ； （2）顾客等待服务的概率：   0.444 9 4 3! 0 0 3              p n n p W   ； （3）系统内等待服务的平均顾客数： 0.888 9 8 ( 1)!( ) 2 0 1       p n n L n q   （人）； （4）平均等待服务时间： 0.222 9 2 4 1 9 8       q q L W ； （5）系统平均利用率；   2 3  0.667    n ；

（6）若每小时顾客到达的顾客增至480名，服务员增至6名，分别计算上面的(1) -（5）的值。14802==8(人/分钟），μ==2(人/分钟),p=α/u=4,n=60.560则：整个系统内空闲的概率：2pk(42.866+17.067)-=0.017Pok!K=0顾客等待服务的概率：p(W>OPo =17.067×0.017 =0.285pn+!系统内等待服务的平均顾客数：(n-1)I(n-p)2 Po =0.58 (人)La0.07平均等待服务时间：W元系统平均利用率；p*=pn=4/6=0.667。11.解：将此系统看成一个M/M/2/5排队系统，其中1=2,μ=0.5.p=2/μ=4.n=2.K=542 (1-(4/2))1+4=0.008;（1）系统空闲时间：Po=2(1 4/2)45×0.0080.512；（2）顾客损失率：P521x25-2（3）服务系统内等待服务的平均顾客数：0.008 ×42×(4/2)2.18（人）La2!(1- 4/2)（4）在服务系统内的平均顾客数：L= Lg + p(1 ps)= 2.18 + 4×(1-0.512)= 4.13 (人);（5）顾客在系统内的平均逗留时间：L4.13W4.23(分钟);(1-ps)2×(1-0.512)

（6）若每小时顾客到达的顾客增至 480 名，服务员增至 6 名，分别计算上面的 （1）——（5）的值。 2( / ) , 4 , 6 0.5 1 8( / , 60 480    人 分钟）   人 分钟      n  则：整个系统内空闲的概率： (42.866 17.067) 0.017 ! ! 1 1 2 0 0                         k k n n n k n p    顾客等待服务的概率：   17.067 0.017 0.285 ! 0 0               p n n n p W n   系统内等待服务的平均顾客数： 0.58 ( 1)!( ) 2 0 1      p n n L n q   （人） 平均等待服务时间：   0.07  q q L W 系统平均利用率；   4 6  0.667    n 。 11．解：将此系统看成一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中   2 ,   0.5 ,      4 ,n  2 , K  5 （1）系统空闲时间： 0.008 2(1 4 2) 4 (1 (4 2) ) 1 4 1 2 5 2 1 0                  p ； （2）顾客损失率： 0.512 2! 2 4 0.008 5 2 5 5      p ； （3）服务系统内等待服务的平均顾客数： ) 2.18 2 4 )(5 2 1)( 2 4 (1 2 4 1 2!((1 4 2) 0.008 4 (4 2) 5 2 5 2 1 2 2                            Lq （人） （4）在服务系统内的平均顾客数： L  Lq  (1 p5 )  2.18  4(10.512)  4.13 （人）； （5）顾客在系统内的平均逗留时间： 4.23 2 (1 0.512) 4.13 (1 ) 5       p L W  （分钟）；

（6）顾客在系统内的平均等待时间：W,=W-1/μ=4.23-2=2.23(分钟)（7）被占用的服务员的平均数。n=L-L。=4.13-2.18=1.95（个）12.解：将此系统看成一个M/M/n排队系统，其中=140.μ=45，p=2/μ=3.5，则工时利用率平均不能低于60%，即系统服务强度：pt=P_3.55≥0.6，所以n≤4.17，设n=1,2,3,4均满足工时nn利用率的要求，现在计算是否满足等待时间的要求：(1）当n=4时2.542.532.524T1+2.5+=0.0737APoX23!4!Lk=ok!0.5n!平均等待时间：01+W.(n-1)(n- p)2 Po元2.557.197x0.0148=0.0067（小时）=0.16（分）200×6×1.522700[2元（2）当n=3时，Po== 0.045k=o k!n0"+!Lg平均等待时间：W(n-I)(n-p) Po =0.0176 (小时)=1.05(分)1元若n≤2，则pn>1，所以，应该设3个窗口符合要求。13.解：这是一个M/M/n系统确定n的问题，因为：=50,μ=10,p=/μ=5,p*=p/n=5/n，则pkp"1，设f（n）表示当律师有n个时的纯收入，Po =Lk=o k!n! 1- p*则：

（6）顾客在系统内的平均等待时间： Wq W 1   4.23  2  2.23 （分钟） （7）被占用的服务员的平均数。 n  L  Lq  4.13  2.18 1.95 （个） 12．解：将此系统看成一个 M / M / n 排队系统，其中  140 ,   45 ,      3.5 ，则 工时利用率平均不能低于 60％，即系统服务强度： 0.6 3.5     n n   ，所以 n  4.17 ，设 n 1, 2 , 3 ,4 均满足工时 利用率的要求，现在计算是否满足等待时间的要求： （1）当 n  4 时， 0.0737 0.5 4 4! 2.5 3! 2.5 2 2.5 1 2.5 ! ! 1 2 3 4 1 3 0 0                                  k k n n n k n p    平均等待时间： 2 0 ! ( 1)!( ) p n n L W n q q          0.0067 2700 7.197 0.0148 200 6 1.5 2.5 2 5       （小时）=0．16（分） （２）当 n  3 时， 0.045 ! ! 1 2 0 0                      k k n n n k n p    平均等待时间： 0.0176 ( 1)!( ) 2 0 !       p n n L W n q q     （小时）=1.05(分) 若 n  2 ，则  n 1 ，所以，应该设 3 个窗口符合要求。 13．解：这是一个 M / M / n 系统确定 n 的问题，因为：  50 , 10 ,   5 ,  n  5 n         ，则 1 1 0 0 1 1 ! !               n k k n k n p    ，设 f (n) 表示当律师有 n 个时的纯收入， 则：

n-25k5n57f(n)=-100n+200 pol k=o k!(n-1)!(n-5)对n的约束只有一个，即p*5，为求n，我们由下表计算f(n)，再取最大值。n67....7.2×10-3po4.51×10-35.97×10-3399.97287.49274.87f(n)由此可以看出，当n=6时，律师咨询中心的纯收入最大。14.解：此问题为一个M/M/n系统确定n的问题，因为：几=20,μ=5,p=/μ=4,p*=p/n=4/n设f(n)表示当装卸工有n个时工厂在装卸方面的总支出，则所求为min f(n)= 50n+E[C,]其中C，为由于货车等待装卸而导致的单位时间的经济损失。D"+Cw=100L=100经计算得(n-1)!(n-p)n5106789E[Cw]481.342640817466.73813.3652.825030040050n350450500881.3876908f(n)17716.74113.31002.8由此可以看出，当有9名装卸工时，工厂的支出最小。15解：我们用M/M/1来描述此题，因为元=50人/小时，C，=30元/人，C%=60元/人，则公司每小时总支出为2z=Csu+CwL=Csu+C,-a对μ求导，并令导数为零，得：μ=入+C,/C，，所以有μ*=50+/60×50/30=50+10=60（人/小时）

               2 0 0 ( 1)!( 5) 5 ! 5 ( ) 100 200 5 n k k n n n k n f n n p 对 n 的约束只有一个，即 1   ，由此可得 n  5 ，为求 n ，我们由下表计算 f (n) ， 再取最大值。 n 6 7 8  p0 3 4.51 10  3 5.97 10  3 7.2 10   f (n) 399.97 287.49 274.87  由此可以看出，当 n  6 时，律师咨询中心的纯收入最大。 14．解：此问题为一个 M / M / n 系统确定 n 的问题，因为：  20 ,  5 ,   4 ,  n  4 n         设 f (n) 表示当装卸工有 n 个时工厂在装卸方面的总支出，则所求为 min ( ) 50 [ ] n n E Cw f   其中 Cw 为由于货车等待装卸而导致的单位时间的经济损失。             2 1 ( 1)!( ) 100 100    n n C L n w ，经计算得 n 5 6 7 8 9 10  [ ] E Cw 17466.7 3813.3 652.8 481.3 426 408  50 n 250 300 350 400 450 500  f (n) 17716.7 4113.3 1002.8 881.3 876 908  由此可以看出，当有 9 名装卸工时，工厂的支出最小。 15．解：我们用 M / M / 1 来描述此题，因为   50 人/小时， Cs  30 元/人， Cw  60 元/人，则公司每小时总支出为        Cs CwL  Cs Cw z ， 对  求导，并令导数为零，得：     Cw Cs ，所以有  50  6050 30  50 10  60   （人/小时）