《运筹学》课程教学资源（试卷习题）第8章 图与网络分析

第八章图与网络分析主要内容：88.1图的基本概念与基本定理S8.2树和最小支撑树S8.3最短路问题88.4最小费用流问题88.5最大流问题88.6网络计划88.7中国邮递员问题88.7指派问题

第八章 图与网络分析 主要内容： §8.1 图的基本概念与基本定理 §8.2 树和最小支撑树 §8.3 最短路问题 §8.4最小费用流问题 §8.5最大流问题 §8.6网络计划 §8.7中国邮递员问题 §8.7指派问题

$ 8.11图的基本概念与基本定理图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已经广泛地应用于物理学控制论，信息论，工程技术，交通运输，经济管理，电子计算机等各项领域。对于科学研究，市场和社会生活中的许多问题，可以同图论的理论和方法来加以解决。例如，各种通信线路的架设，输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局等问题，都可以应用图论的方法简便、快捷地加以解决

§8.1 图的基本概念与基本定理 图论是应用非常广泛的运筹学分支，它 已经广泛地应用于物理学控制论，信息论， 工程技术，交通运输，经济管理，电子计算 机等各项领域。对于科学研究，市场和社会 生活中的许多问题，可以同图论的理论和方 法来加以解决。例如，各种通信线路的架设， 输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络的 合理布局等问题，都可以应用图论的方法， 简便、快捷地加以解决

随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的发展，图论的理论获得了更进一步的发展，应用更加广泛。如果将复杂的工程系统和管理问题用图的理论加以描述，可以解决许多工程项目和管理决策的最优问题。因此，图论越来越受到工程技术人员和经营管理人员的重视，关于图的第一篇论文是瑞士数学家欧拉（E.Euler）在1736年发表的解决“哥尼

随着科学技术的进步，特别是电子计 算机技术的发展，图论的理论获得了更进 一步的发展，应用更加广泛。如果将复杂 的工程系统和管理问题用图的理论加以描 述，可以解决许多工程项目和管理决策的 最优问题。因此，图论越来越受到工程技 术人员和经营管理人员的重视。 关于图的第一篇论文是瑞士数学家欧拉 （E. Euler）在1736年发表的解决“哥尼

斯堡”七桥难题的论文；德国的哥尼斯堡城有一条普雷格尔河，河中有两个岛屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥相互连接，（见图8.1a）当地的居民热裹于这样一个问题，一个漫步者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能走过一次，最终回到原出发地。尽管试验者很多，但是都没有成功。为了寻找答案，1736年欧拉将这个问题抽象成图8.1b所示图形的一笔画问题

斯堡” 七桥难题的论文； 德国的哥尼斯堡城有一条普雷格尔河， 河中有两个岛屿，河的两岸和岛屿之间有七 座桥相互连接，（见图8.1 a）当地的居民热 衷于这样一个问题，一个漫步者如何能够走 过这七座桥，并且每座桥只能走过一次，最 终回到原出发地。尽管试验者很多，但是都 没有成功。为了寻找答案，1736年欧拉将这 个问题抽象成图8.1b所示图形的一笔画问题

哥尼斯堡七桥问题二D图 8.1a

哥尼斯堡七桥问题 图 8.1 a A B C D

哥尼斯堡七桥问题可简化为以下图形其中的四个顶点都是奇顶点AD

哥尼斯堡七桥问题可简化为以下图形 其中的四个顶点都是奇顶点 A B C D

CADD图8. 1 b

C A D B 图8.1 b

即能否从某一点开始不重复地一笔画出这个图形，最终回到原点。欧拉在他的论文中证明了这是不可能的，因为这个图形中每一个顶点都与奇数条边相连接，不可能将它一笔画出，这就是古典图论中的第一个著名问题。在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图

即能否从某一点开始不重复地一笔画出这个图形， 最终回到原点。欧拉在他的论文中证明了这是不可 能的，因为这个图形中每一个顶点都与奇数条边相 连接，不可能将它一笔画出，这就是古典图论中的 第一个著名问题。 在实际的生产和生活中，人们为了反映事物 之间的关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样 的示意图

例8.1图8.2是我国北京、上海、重庆等十四个城市之间的铁路交通图，这里用点表示城市，用点与点之间的线表示城市之间的铁路线。诸如此类还有城市中的市政管道图，民用航空线图等等。北京天津太原石家庄塘沽济南青岛郑州徐州连云港图8.2重庆武汉南京上海福

例8.1 图8.2是我国北京、上海、重庆等 十四个城市之间的铁路交通图，这里用点 表示城市，用点与点之间的线表示城市之 间的铁路线。诸如此类还有城市中的市政 管道图，民用航空线图等等。 太原 石家庄 北京 天津 塘沽 济南 青岛 徐州 连云港 南京 上海 郑州 重庆 武汉 图8.2

例8.2有六支球队进行足球比赛，我们分别用点v1，…，v表示这六支球队，它们之间的比赛情况，也可以用图反映出来已知,队战胜v2 队，z队战胜队，V队战胜队，如此等等。这个胜负情况，可以用图8.3所示的有向图反映出来

例8.2 有六支球队进行足球比赛，我 们分别用点v1 ，.，v6表示这六支球队，它 们之间的比赛情况，也可以用图反映出来， 已知v1队战胜v2 队，v2 队战胜v3 队，v3 队 战胜v5队，如此等等。这个胜负情况，可以 用图8.3所示的有向图反映出来