《运筹学》课程教学资源（试卷习题）第3章 线性规划对偶理论与灵敏度分析习题解答

《运等学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题解答二. 解: (1) / (2) (3) x(4) /(5)/ (6)/(7) ×(8) × (9) ×(10) x三、（1)minw=5yi+7y2+9y3(2)minw=12yi-yz+3y[yi+2y2 +y3 ≥2yi+4y2+3y3 ≥3≥2Ji-y2yi +2y2+2y3≥2yi+3y2-y3=32yi-y2 +y3 ≥1+y3 =1yi(y1,y2,y3 ≥0[≥0,0,y无约束(3)maxw=5yi+7y2+10y3(4) maxw=6yi+5y2 +3y3[3yi+2y2 - y3 ≤1[2yi +2y2 -3y3 ≤1-y1 -4y2 +2y3 ≤-2Ji-3y2 +5y3 ≤12yi-y2 +4y3 =-32yi-y2 -4y3 =2J1≤0,J2≥0,y无约束0无约束，0(5)minw=24yi+15y2+30y3(6) max z=8y+15y2 +30y3≥72yi+8y2=54yi +3y22y1 -6y2 +5y3 = -45y2 +4y3 ≤-4-6yi-4y2 +3y ≤37y1 -4y2 +6y3≤3J1≥0,y2≤0,y,无约束y≥0,2≤0,无约束四、解：（1）用对偶单纯形法求得的最终单纯形表如下：表3-1xiX2X3X4XsX60001111-1X40-140-10- 31Xi00301- 2-1-1X2000-26-3cj -zj

《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题解答 二．解：（1）√ （2）√（3）X（4）√(5) √（6）√（7）X（8）X（9）X（10）X 三、（1） min 5 1 7 2 9 3 w  y  y  y （2） min 12 1 2 3 3 w  y  y  y                  , , 0 2 1 2 2 2 4 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 y y y y y y y y y y y y ；                      1 3 2无约束 1 3 1 2 3 1 2 1 2 3 0 , 0 , 1 3 3 2 2 2 y y y y y y y y y y y y y ； （3） max 5 1 7 2 10 3 w  y  y  y （4） max 6 1 5 2 3 3 w  y  y  y                      1 2 3无约束 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 , 0 , 2 4 3 4 2 2 3 2 1 y y y y y y y y y y y y ；                   0 , 0 2 4 2 3 5 1 2 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 y y y y y y y y y y y y 无约束， （5） min 24 1 15 2 30 3 w  y  y  y （6） max 8 1 15 2 30 3 z  y  y  y                    1 2 3无约束 1 2 3 1 2 3 1 2 0 , 0 , 6 4 3 3 2 6 5 4 4 3 7 y y y y y y y y y y y ；                  1 2 3无约束 1 2 3 2 3 1 2 0 , 0 , 7 4 6 3 5 4 4 2 8 5 y y y y y y y y y y 。 四、解：（1）用对偶单纯形法求得的最终单纯形表如下： 表 ３—１ 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x ０ －３ －２ 4 x 1 x 2 x －１ ４ ３ ０ １ ０ ０ ０ １ １ －１ －１ １ ０ ０ １ －１ ０ １ ０ －１ j j c  z ０ ０ －６ ０ －３ －２

由于基变量x所在行的α值全为非负，故问题无可行解，（2）最优解为2=2.8,X=[0.2,1.2,0T（3）最优解为2=14,X=[0.5,1,0,0]：2_ 32,X=[,2,0]′;（4）最优解为33五、解：用单纯形法求得的最终单纯形表分别见表32 (1),2(2),2(3),2(4)(1)表 3—2(1)cj30101CBXBbXiX2X3X4Xs3X31100. 510.502201xs1. 50.5332j31. 51.50cj-2j-20-1.50-0.5由此表可以看出，资源1的影子价格为1.5，资源2的影子价格为0。且-00<C≤33 -00<C2 ≤1.5 2≤C3<+00 :0≤b≤61≤b,<+00。(2)表32(2)cj95019080CBXBbXiX2X3X4XsX601924/312/3X45/312/350X310-0.51/31/6505/3zj31326/31913/30Cj -zj2/3013/35/3-4由此表可以看出，资源1的影子价格为13/3，资源2的影子价格为5/3。且-00<C≤13，-00≤c2≤26/3，47.5≤C3≤52，18.5≤c4≤20；15≤b,≤244.5≤b,≤7.2

由于基变量 4 x 所在行的 i j a 值全为非负，故问题无可行解。 （２）最优解为 T z  2.8 , X [ 0.2 ,1.2 , 0 ]  ； （３）最优解为 T z 14 , X [ 0.5 ,1, 0 , 0 ]  ； （４）最优解为 T z X , 2 , 0] 3 4 , [ 3 32    ； 五、解：用单纯形法求得的最终单纯形表分别见表 ３— ２(1) , 2(2) , 2(3) , 2(4) ． （1） 表 ３—２（１） j c 1 1 3 0 0 CB X B b 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ３ 3 x １ １ 0．5 １ ０.5 0 ０ 5 x ２ ２ 1．5 ０ －0.5 1 j z ３ ３ 1．5 ３ 1.5 0 j j c  z －２ －0.5 ０ －１.5 0 由此表可以看出，资源 1 的影子价格为 1.5 ，资源 2 的影子价格为 0 。 且   c1  3 ,   c2 1.5 , 2  c3   ； 0  b1  6 , 1 b2   。 (2) 表 3 — 2（2） j c 9 8 50 19 0 0 CB X B b 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 19 4 x 2 2 4/3 0 １ 2/3 －5/3 50 3 x 1 －０.5 －1/3 1 ０ －1/6 2/3 j z ３ 1３ 26/3 50 19 13/3 5/3 j j c  z －4 －2/3 ０ 0 －13/3 －5/3 由此表可以看出，资源 1 的影子价格为 13/3 ，资源 2 的影子价格为 5/3 。 且   c1 13 ,   c2  26 3 , 47.5  c3  52 ,18.5  c4  20 ； 15  b1  24 , 4.5  b2  7.2

(3)表3—2 (3)300cj11XBCBbXiX2X3X4Xs411.51010.5X2320/1X3-1-11043112j3cj-2j00-271由此表可以看出，资源1的影子价格为1，资源2的影子价格为13≤c≤6且-00<C≤32≤x3≤4:3≤b,≤6,4≤b≤8 。(4)表3—2 (4)250000cjCBXBbxiX2X3X4XsX6X710000X41/4 13/21/82Xi1110003/23/41/8521/2X300101/4-133/201003/4X23/16-1/8zj16.523501/4 7/165/80000cj -zj1/4—7/165/8由此表可以看出，资源1的影子价格为0，资源2的影子价格为1/4，资源3的影子价格为7/16，资源2的影子价格为5/8且 1.833≤c,≤2.833,8/3≤c2≤16/3,15/4≤x, ≤21/411≤b,<+o0,22/3≤b, ≤26/3, 8≤b, ≤24 , 8≤ b4 ≤40/3 。六、解：（1）原线性规划问题：maxz=6x-2x2+10x3X2+2x2≤53xj-x2+Xg≤10;[X≥0（2）原问题的对偶规划问题为：

（3） 表 3—2（3） j c 1 1 3 0 0 CB X B b 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 4 2 x １ １.5 1 0 1 －0.5 3 3 x ２ －１ 0 1 －1 1 j z 10 ３ 4 ３ 1 1 j j c  z －２ 0 ０ －１ －１ 由此表可以看出，资源 1 的影子价格为 1 ，资源 2 的影子价格为 1 。 且   c1  3 , 3  c2  6 , 2  x3  4 ； 3  b1  6 , 4  b2  8 。 (4) 表 3—2（4） j c 2 3 5 0 0 0 0 CB X B b 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 0 4 x 1 0 0 0 １ －3/2 －1/8 1/4 2 1 x 1 1 0 0 0 3/2 －1/8 －3/4 5 3 x 2 0 0 1 0 －１ 1/4 1/2 3 2 x 3/2 0 1 0 ０ 3/4 －3/16 －1/8 j z 16.5 2 3 5 0 1/4 7/16 5/8 j j c  z 0 0 ０ 0 －1/4 －7/16 －5/8 由此表可以看出，资源 1 的影子价格为 0 ，资源 2 的影子价格为 1/4 ， 资源 3 的影子价格为 7/16 ，资源 2 的影子价格为 5/8 。 且 1.833  c1  2.833 , 8 3  c2 16 3 , 15 4  x3  21 4 ； 11  b1   , 22 3  b2  26 3 , 8  b3  24 , 8  b4  40 3 。 六、解：（１）原线性规划问题：max 6 1 2 2 10 3 z  x  x  x            , 0 3 10 2 5 1 2 1 2 3 2 2 x x x x x x x ； （２）原问题的对偶规划问题为：

min w= 5yi +10y23y2 ≥6J1 -2 ≥ -22yi +y2 ≥10[yi,J2 ≥0（3）对偶规划问题的最优解为：Y*=（4，2）。七、解：（1）设X1，X2，X3分别为产品甲、乙、丙的产量，其模型为maxz=4xj+x2+5x36x+3x2+5x3≤453x+4x+5x≤30,x,≥0得此问题的最终单纯形表如下：（表3一3）表 3—3cj41500CBXB6XiX2X3X4Xs45Xi11/301/31/35301X310.20.442j3511/351/32/30Cj -zj8/302/3- 1 /3可得X*=[5,0,3，=*=35;（2）产品甲的利润变化范围为【3，6】。（3）安排生产丁有利，新最优计划为生产产品丁15件，而x1=X2=X3=0；（4）购进原料B15单位为宜；(5)新计划为 X*=[0,0,6]T,z*=30。八、解：（1）设x1，x2，x3分别为产品甲、乙、丙的产量，其模型为max z=10xi +6x2 +4x3

min 5 1 10 2 w  y  y               , 0 2 10 2 3 6 1 2 1 2 1 2 2 y y y y y y y ； （３）对偶规划问题的最优解为：  ( 4 , 2 )  Y 。 七、解：（１）设 1 2 3 x , x , x 分别为产品甲、乙、丙的产量，其模型为 max 4 1 2 5 3 z  x  x  x             , , 0 3 4 5 30 6 3 5 45 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x ； 得此问题的最终单纯形表如下：（表 3—3） 表 3—3 j c 4 1 5 0 0 CB X B b 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 4 1 x 5 １ －1/3 0 1/3 －1/3 5 3 x 3 0 1 1 －0.2 0．4 j z ３5 4 11/3 5 1/3 2/3 j j c  z 0 －8/3 ０ －１/3 －2/3 可得 T X [ 5 , 0 , 3 ]  ，  35  z ； （2）产品甲的利润变化范围为 [ 3，6 ] 。 （3）安排生产丁有利，新最优计划为生产产品丁 15 件，而 x1  x2  x3  0 ； （4）购进原料 B 15 单位为宜； （5）新计划为 [ 0 , 0 , 6 ] ,  30   X z T 。 八、解：（1）设 1 2 3 x , x , x 分别为产品甲、乙、丙的产量，其模型为 max 10 1 6 2 4 3 z  x  x  x

X + X2 + Xg≤10010x+4x2+5x3≤600；得此问题的最终单纯形表如下：（表3一4）2xj +2x2 +6x3≤300[ Xi,X2,X3 ≥0表3-cj10600X0CBXBbXiX3X2X4XsX66015/65/30X2200/3-1/61010Xi100/31/62/31/600004- 201X61002j10602200/320/310/32/3000c, -zj—8/3—10/3—2/3可得X*=[100/3，200/3，0，z*=2200/3；(2)X*=[175/6,275/6,25 T;(3)6≤≤15；（4)-4≤0≤5;（5）该产品值得安排生产；（6）X*=[95/3,175/3,10T

                 , , 0 2 2 6 300 10 4 5 600 100 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x ；得此问题的最终单纯形表如下：（表 3—4） 表 3——4 j c 10 6 4 0 0 0 CB X B b 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 6 2 x 200/3 0 1 5/6 5/3 －1/6 0 10 1 x 100/3 1 0 1/6 －2/3 1/6 0 0 6 x 100 0 0 4 －２ 0 1 j z 2200/3 10 6 20/3 10/3 2/3 0 j j c  z 0 0 －8/3 －10/3 －2/3 0 可得 T X [100 /3 , 200 /3 , 0 ]  ，  2200 /3  z ； （2） T X [175 / 6 , 275 / 6 , 25 ]  ； （3） 6  c1 15 ； （4） 4   5 ； （5）该产品值得安排生产； （6） T X [ 95/3 ,175 /3 ,10 ] 