麻省理工学院：《数值模拟导论》第九讲 多维牛顿法

数值模拟导论-第九讲 多维牛顿法 雅克比怀特 感谢 Deepak ramaswamy, Jaime peraire, MichalRewienski, and Karen very

数值模拟导论 -第九讲 多维牛顿法 雅克比·怀特 感谢Deepak Ramaswamy, Jaime Peraire, MichalRewienski, and Karen Veroy

摘要 简单回顾一维牛顿法 收敛性检验 多维牛顿法 基本算法 雅可比矩阵的描述 方程式 多维收敛性 证明局部收敛性 收敛性的改善

z 简单回顾一维牛顿法 ——收敛性检验 z 多维牛顿法 ——基本算法 ——雅可比矩阵的描述 ——方程式 z 多维收敛性 ——证明局部收敛性 ——收敛性的改善 摘要

维问题回顾牛顿法的思想 问题:找x出使得f(x)=0 利用泰勒展开式 (2)=()+(x-2+ X-X 若接近于精确解 (x-x)=-f( SMA-HPC C2003 MIT

问题： 找 出使得 一维问题回顾 牛顿法的思想 SMA-HPC ©2003 MIT ( ) * f x = 0 * x 利用泰勒展开式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 * * 2 f f x fx fx x x x x x x ∗ ∂ ∂ = + −+ − ∂ ∂  若接近于精确解 x ( ) ( ) f x x fx x ∂ ∗ − =− ∂

维回顾 牛顿算法 x=初始给定值,k=0 重复{ 0f k=k+1 }直到? =x<极限值?/()<极限值? SMA-HPC C2003 MIT

一维回顾 牛顿算法 SMA-HPC ©2003 MIT 0 x k = 初始给定值， = 0 重复{ ( ) () 1 1 kk k f x x fx x k k ∂ + − =− ∂ = + } 直到？ ( ) kk k 1 1 x x fx + + −< < 极限值？ 极限值？

维回顾 牛顿算法 牛顿算法图 f(x")+f(x°)(x-m f(a)\ SMA-HPC C2003 MIT

一维回顾 牛顿算法 SMA-HPC ©2003 MIT 牛顿算法图

维回顾 牛顿算法 收敛性检验 需要一个“△x”来检测是否产生错误的收敛 k+1 k+1 x>8+8.x () <E SMA-HPC C2003 MIT

一维回顾 牛顿算法 SMA-HPC ©2003 MIT 收敛性检验 需要一个“ ” ∆x 来检测是否产生错误的收敛

维回顾 牛顿算法 收敛性检验 同样需要一个“f(xy来检测是否产生错误的收敛 M一 k+1 k+1 x<E.+E‖x SMA-HPC C2003 MIT

一维回顾 牛顿算法 SMA-HPC ©2003 MIT 收敛性检验 同样需要一个“ ” f x( ) 来检测是否产生错误的收敛

维回顾 牛顿算法 局部收敛 收敛性依赖于给定恰当的初始值 → SMA-HPC C2003 MIT

一维回顾 牛顿算法 SMA-HPC ©2003 MIT 局部收敛 收敛性依赖于给定恰当的初始值

多维牛顿法 实例问题 杆件和节点问题 f2+FL.=0 F F() f+ FL F 或 E(10-1)+F1=0 +F,=0 F=EA F (0-7) SMA-HPC C2003 MIT

多维牛顿法 实例问题 SMA-HPC ©2003 MIT 杆件和节点问题 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 c x y l xy l l F EA l l l x x f F ll l l y y f F ll l l ε ε ε = + − = = − == − == − ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 x y x y x L y L L L f F F x f F x ll F l y ll F l ε ε ⎛ ⎞ + = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ −+ = −+ = G 或

多维牛顿法 实例问题 非线性电阻器问题 1+D节点分析 在节处+=0 =8(y+(x-=0 在节点处i-=0 Nonlinear Resistors =8(yg-0 8 在个线生,有两个未觐 SMA-HPC C2003 MIT

多维牛顿法 实例问题 SMA-HPC ©2003 MIT 非线性电阻器问题 节点分析 () ( ) () ( ) 1 2 1 12 3 2 3 12 0 0 0 0 i i gv gv v i i gv gv v + = ⇒ + −= − = ⇒ − −= 在节点1处： 在节点2处： 在两个非线性方程式中有两个未知数