麻省理工学院：《数值模拟导论》第八讲 一维非线性求解方法

数值模拟分析导论——第八讲 维非线性求解方法 Jacob White Ek ff Thanks to Deepak ramaswamy Jaime Peraire, Michal Rewienski, and Karen Very SMA-HPC C2003 MIT

SMA-HPC ©2003 MIT 数值模拟分析导论——第八讲 一维非线性求解方法 Jacob White 感谢Thanks to Deepak Ramaswamy Jaime Peraire, Michal Rewienski, and Karen Veroy

概要 非线性问题 杆件和电路实例 理查森和线性收敛 简单的线性实例 牛顿法 牛顿法的引出 次收敛 —实例 完全收敛 收敛准则 SMA-HPC C2003 MIT

概要 SMA-HPC ©2003 MIT • 非线性问题 ——杆件和电路实例 • 理查森和线性收敛 ——简单的线性实例 • 牛顿法 ——牛顿法的引出 ——二次收敛 ——实例 ——完全收敛 ——收敛准则

非线性问题 压杆实例 给定:X0,y0,x1,y1,W (x2y2) 找到:X2,y2 负载力 W 需要求解 ∑A=0∑/+=0 SMA-HPC C2003 MIT

非线性问题 SMA-HPC ©2003 MIT 压杆实例 负载力 给定 找到 需要求解

非线性问题 压杆实例 提示:求压杆力 L f=E12-=6(0-D) xi, y L yi f,=7f L + SMA-HPC C2003 MIT

非线性问题 SMA-HPC ©2003 MIT 压杆实例 提示：求压杆力

非线性问题 压杆实例 L=V(x-=x)2+ (x1,y1) 2=V(2-x)+(2-y E(LD。-L1) (L-L2) Load forcey W ∑1+12=0∑++W=0 SMA-HPC C2003 MIT

非线性问题 SMA-HPC ©2003 MIT 压杆实例

非线性问题 压杆实例 为什么是非线性的 y2=y1 (o-2)+ yoyo E(o-1)+W=0 增大对压杆的拉力杆受力大小和方向都发生改变 SMA-HPC C2003 MIT

非线性问题 SMA-HPC ©2003 MIT 压杆实例 为什么是非线性的 增大对压杆的拉力 杆受力大小和方向都发生改变

非线性问题 电路实例 10V 1--V.=0 10 0④ l-1(e-1)=0 需要求解 a+,=0 1-1=0 SMA-HPC C2003 MIT

非线性问题 SMA-HPC ©2003 MIT 电路实例 需要求解

非线性问题 迭代求解 由于很难求得(x)=0的解析解 因此采用迭代法 假设解为x=x0 重复k=0,1,2,3,… x=W 直到f(x)=0 问: ●迭代收敛于正确的解么? ●迭代收敛的速度 SMA-HPC C2003 MIT

非线性问题 SMA-HPC ©2003 MIT 迭代求解 由于很难求得 f x( ) = 0 因此采用迭代法 假设解为 0 0 x = x 重复k＝0，1，2，3，…. ( ) k k 1 x Wx + = 直到 ( ) 1 0 k f x + ≈ 问： z迭代收敛于正确的解么？ z迭代收敛的速度？ 的解析解

理查森迭代 定义 理查森迭代的定义 k+1 x=x+Ix 迭代收敛于方程的一个解 k+1 → →x=X米 (解) SMA-HPC C2003 MIT

理查森迭代 SMA-HPC ©2003 MIT 定义 理查森迭代的定义 ( ) kk k 1 x x fx + = + 迭代收敛于方程的一个解 ( ) ( ) 1 0 k k k k x x f x x x + = ⇒ = ⇒ =∗ 解

理查森迭代 实例 f(x)=-0.7x+10 开始使用x0=0 x=x+f(x)=10x2=1425 =x+f(x)=13x=1427 +f(x-)=13.9x=1428 x1=x2+f(x2)=1417x32=1428 收敛 SMA-HPC C2003 MIT

理查森迭代 SMA-HPC ©2003 MIT 实例一 开始使用 收敛