麻省理工学院：《数值模拟导论》第十三讲 多步法收敛性

数值模拟导论—第十三讲 多步法收敛性 Jacob white 合作伙伴 Deepak ramaswamy, MichalRewienski, and Karen vero

数值模拟导论——第十三讲 多步法收敛性 Jacob White 合作伙伴Deepak Ramaswamy, MichalRewienski, and Karen Veroy

说要 多步法的小时间步问题 局部切断误差 选择系数 不收敛法 稳定并连续则收敛 下一章讨论大时间步问题 两个时间刻度实例的绝对稳定性 震荡器

概要 多步法的小时间步问题 局部切断误差 选择系数 不收敛法 稳定并连续则收敛 下一章讨论大时间步问题 两个时间刻度实例的绝对稳定性 震荡器

基本方程式 多步法 通用符号 非线性差分方程 (=x(0.a k步法 -1 xx多步法系数 k 离散点的解 时间离散化 k

() () () ( ) , d xt f xt ut dt = 多步法 基本方程式 通用符号 非线性差分方程 k步法： ( ) ( ) 0 0 ˆ ˆ , k k lj lj j j lj j j ax t f x ut β − − − = = ∑ ∑ = ∆ 离散点的解 时间离散化 多步法系数

基本方程式 多步法 通用算法 多步法方程:∑0=△∑B(a( 前欧拉近似法:x()=2x()△0f(x().2() 前欧拉离散方程:一=△0(2,(4) 多步法系数:k=1,a12=1,a1=-1,A,=0.B=1 后欧拉法离散方程:-=△(, 多步法系数:=1a1=1.(1=-1B=1A=0 抽捉法高散方程:=((2(0(2(0 多步法系数:1=1.1=-1,B=,B 22

( ( )) 1 1 1 ˆˆ ˆ , ll l l x x tf x u t − − − =∆ − ( ( )) 1 ˆˆ ˆ , ll l l xx tf x ut − − =∆ 多步法 基本方程式 通用算法 多步法方程： ( ) ( ) 0 0 ˆ ˆ , k k lj lj j j lj j j ax t f x u t β − − − = = ∑ ∑ = ∆ 前欧拉近似法： x t x t tf x t u t ( ll ll ) ≈ ∆ ( − −− 1 11 ) ( ( ), ( )) 前欧拉离散方程： 多步法系数： 01 01 k =1, 1, 1, 0, 1 α = =− = = α ββ 后欧拉法离散方程： 多步法系数： 0 1 01 k =1, 1, 1, 1, 0 α = =− = = α ββ 捕捉法离散方程： ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) 1 1 1 ˆˆ ˆ ˆ ,, , 2 ll l l l l t x x f x ut f x ut − − − ∆ − = 多步法系数： 01 0 1 1 1 1, 1, 1, , 2 2 k = αα β β = =− = =

基本方程式 多步法 定义及考察 多步法方程:∑=△∑Bf(2“(=) 1)若B≠0则多步法是绝对的 2)k步法在x's和∫S之前用到k 3)需要范数化,都有a 4)k步法有2k+1个自由系数 需要高的精度时如何选择合适的系数?

多步法 基本方程式 定义及考察 多步法方程： ( ) ( ) 0 0 ˆ ˆ , k k lj lj j j lj j j ax t f x u t β − − − = = ∑ ∑ = ∆ 1）若 β ≠ 0 则多步法是绝对的 2）k步法在 xs f s ' ' 和 之前用到k 3）需要范数化，都有 0 α ＝1 4）k步法有2k＋1个自由系数 需要高的精度时如何选择合适的系数？

多步法 简化问题分析 标量ODE:-10=00=2C 为什么会出现这样的简单测试问题? ●非线性分析有很多微妙的现象没有揭示 ●对于多步法标量等同于矢量 x(1)=4()多步法离散化=∑a=△∑B 令E()=x()=∑ay=△∑ B,E AEy 离散方程=∑ay=△∑B

() () 0 0 ˆ ˆ k k lj lj j j j j d x t Ax t a x t x dt β − − = = = ⇒ =∆ 多步法离散化 ∑ ∑ () () 1 0 0 ˆ ˆ k k lj lj j j j j Ey t x t a y t E AEy β − − − = = 令 = ⇒ =∆ ∑ ∑ 多步法 简化问题分析 标量ODE： () () ( ) 0 , 0 C d vt vt v v dt =λ λ = ∈ 为什么会出现这样的简单测试问题？ z非线性分析有很多微妙的现象没有揭示 z对于多步法标量等同于矢量 1 0 0 ˆ ˆ k k lj lj j j j j n ay t y λ β λ − − = = ⎡ ⎤ ⇒ =∆ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 离散方程 ∑ ∑ %

多步法 简单问题分析 标量ODE:-(=(0)0=nA∈C 多步法标量公式:∑a的=△∑BA 对于所有λ∈C都必须考虑λ的值 Im(n Re(a) Sootonnalzcss

多步法 简单问题分析 标量ODE： () () ( ) 0 , 0 C d vt vt v v dt =λ λ = ∈ 多步法标量公式： 0 0 ˆ ˆ k k l j l j j j j j av t v β λ − − = = ∑ ∑ = ∆ 对于所有 λ ∈C 都必须考虑λ的值

收敛分析 多步法 收敛定义 定义:对于给定的任何初始条件,用多步法求解0,T上的初值问题是收敛的。 当△t→>0时max v{(△t→>0 computed with△t △t computed Wi ith

多步法 收敛分析 收敛定义 定义：对于给定的任何初始条件，用多步法求解[0,T]上的初值问题是收敛的。 ( ) 0, 0 max 0 ˆl T l t t v vl t ⎡ ⎤ ∈⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∆ 当 时 ∆ → − ∆→

收敛分析 多步法 P阶收敛 定义:对于任一给定的A和任何初始条件,用多步法求解0T上的初 值问题是P阶收敛的 对于所有小于给定的的M max v(△CN≤C(△x)2 △t 前欧拉法和后欧拉法都是1阶收敛的,梯形法则是2阶收敛的

多步法 收敛分析 P阶收敛 定义：对于任一给定的λ和任何初始条件，用多步法求解[0,T]上的初 值问题是P阶收敛的。 对于所有 0 小于给定的 的∆t t ∆ ( ) ( ) 0, max ˆ p l T l t v vl t C t ⎡ ⎤ ∈⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∆ − ∆≤ ∆ 前欧拉法和后欧拉法都是1阶收敛的，梯形法则是2阶收敛的

收敛分析 多步法 实例反应方程 M10°后欧拉法 axError I10 梯形法 前欧拉法 10时间步 前欧拉法和后欧拉法,误差∞△t 后欧拉法,误差∞(△t)2

多步法 收敛分析 实例反应方程 前欧拉法和后欧拉法，误差∞Δt 后欧拉法，误差∞（Δt）²