麻省理工学院：《数值模拟导论》第三讲 求解线性系统的基本方法

数值模拟导论-第三讲 求解线性系统的基本方法 雅克比怀特 感谢 Deepak Ramaswamy, Michal Rewienski Karen Very and Jacob White

数值模拟导论 -第三讲 求解线性系统的基本方法 雅克比·怀特 感谢Deepak Ramaswamy, Michal Rewienski,Karen Veroy and Jacob White

摘要 解的存在和唯一性 高斯消元法 LU分解 对角元和等比级数 逐步逼近法 适应条件

解的存在和唯一性 高斯消元法 LU分解 对角元和等比级数 逐步逼近法 适应条件 摘要

应用范围 GV= M x b 无电源或刚性支承 对角和严格对角占优矩阵 nXn方阵 SMA-HPC C2003 MIT

应用范围 SMA-HPC ©2003 MIT ·无电源或刚性支承 ·对角和严格对角占优矩阵 ·n×n方阵

线性方程 x「b N x1M1+x2M2+…+xM=b 要求加权变量x,使得矩阵M各列的加权和等于右边的b SMA-HPC C2003 MIT

线性方程 SMA-HPC ©2003 MIT 要求加权变量x，使得矩阵M各列的加权和等于右边的b

线性方程 疑问解答 给定MX=b 这个方程是否有解? 解是否唯-? 看是否有解? 存在一组变量x1,,使得: x1M1+x2M2+…+xM=b 由此看出:只有当b在由M各列组成 的向量空间内,解才存在 SMA-HPC C2003 MIT

线性方程 SMA-HPC ©2003 MIT 疑问解答 ·给定 Mx=b －这个方程是否有解？ －解是否唯一？ ·看是否有解? 存在一组变量x1,…..xn，使得： 由此看出：只有当b在由M各列组成 的向量空间内，解才存在。 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N xM xM x M b + ++ = GG G

线性方程 疑问解答续 解是否唯-? 假设存在非零的变量片…yn使得 y1M1+y2M2+…+yMN=b 又如果,则M(x+y)=b。 由此可见:当且仅当矩阵M的各列向 量线性无关,方程解唯一。 SMA-HPC C2003 MIT

线性方程 SMA-HPC ©2003 MIT 疑问解答续 ·解是否唯一？ 假设存在非零的变量 ，使得 又如果，则 M(x+y)=b。 由此可见：当且仅当矩阵M的各列向 量线性无关，方程解唯一。 11 2 2 ... N N yM yM y M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N yM yM y M b + ++ = GG G 1, , n y y …

线性方程 疑问解答续 方阵 给定,其中M为NN方阵 如果对任意给定的b,方程均有解,那么对每 个b所对应的解都是唯一的。 因为对任意的b都有解,那么矩阵M列向量所组成的 向量空间必定是N维向量空间。又因为矩阵M有N 列,所以矩阵M的列向量必定线性无关。 各列向量相互线性不相关的方阵称之为非奇 异阵。 SMA-HPC C2003 MIT

线性方程 SMA-HPC ©2003 MIT 疑问解答续 方阵 ·给定，其中M为N*N方阵 －如果对任意给定的b，方程均有解，那么对每一 个b所对应的解都是唯一的。 因为对任意的b都有解，那么矩阵M列向量所组成的 向量空间必定是N维向量空间。又因为矩阵M有N 列，所以矩阵M的列向量必定线性无关。 各列向量相互线性不相关的方阵称之为非奇 异阵

高斯消元基础 重要工具 用高斯消元法解线性方程Mx=b 种“直接”的方法 有限步求准确解(不计 舍入误差 求解增广矩阵的精确解 计算所消耗的机时。 SMA-HPC C2003 MIT

高斯消元基础 SMA-HPC ©2003 MIT 重要工具 用高斯消元法解线性方程 Mx b = ·一种“直接”的方法 有限步求准确解（不计 舍入误差）。 ·求解增广矩阵的精确解 ·计算所消耗的机时

高斯消元法基础 举例说明 33方阵 Mu Mn mulx M,M、M 333 1x1+M2x2+M13x3=b Mx+Mx+M 22 3 M3M+M3x2+M3x3- b3 SMA-HPC C2003 MIT

高斯消元法基础 SMA-HPC ©2003 MIT 举例说明 3*3方阵

高斯消元法基础 举例说明 解题思路 用矩阵的第一行消去第二和第三行的x M1+M12x2+M1x3=1 22 =2 M2{2+M-1M{=4- SMA-HPC C2003 MIT

高斯消元法基础 SMA-HPC ©2003 MIT 举例说明 解题思路 用矩阵的第一行消去第二和第三行的 x 1 1 x