麻省理工学院：《数值模拟导论》第二十讲 边界值问题的有限差分法

数值模拟导论一讲座20 边界值问题的有限差分法 Jacob White 感谢 Jaime peraire

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大纲 非正规有限差分法 热传导杆 有限差分法的更多正规分析 热方程 致性十稳定性产生收敛性

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沉 维实例 离散表示 1)将杆切割成短的截面 每一切片分配一温度 (1) N-N

1) 将杆切割成短的截面 将杆切割成短的截面 2) 给每一切片分配一温度 给每一切片分配一温度 热流 一维实例 离散表示

沉 维实例 方程的形成 输入热量 Incoming Heat (h,) +1.i heat flow=K h1-h h.△ Heat in Heat out Incoming from left from right heat pe unit length 左边输入的热量右边输出的热量单位长度输入的热量 当截面足够小取极限 limwsoh(x) 0h(x)007(x) K ax ax ax

热流 一维实例 方程的形成 输入热量 热流 左边输入的热量 右边输出的热量 单位长度输入的热量 当截面足够小取极限

沉 维实例 正则化一维方程 正则方程 0.7(x) K =-h→ 2(x =f(x) oX oX uX)= f(r)

正则方程 热流 一维实例 正则化一维方程 正则化一维方程

数值解 右阴差 离散化 将区间(0,1)分为n+1个相子同区间 △ 7+1 C0 1 m in+ 3=j△,≈=(c) for0≤j≤7+1

将区间（0，1）分为n＋1个相子同区间 数值解 有限差分 离散化

数值解 右阴差 近似 Numerical Finite Differences Solution Approximation 例如.. For example 0()≈ (v(x1+12)-0(x3-12) △a 0yj+1 △a +1-201+ △a for△ r small

数值解 有限差分 近似 例如…

数值解 有限差 方程 Numerical Finite differences Solution Equations f suggests 01+1-20+ △a f(a)1≤j≤n 0 +1=0 Ai=f

数值解 有限差分 方程…

数值解 有限差 方程 Numerical Finite Differences Solution Equations 2-10…0 12-1 f(∞2) A △m f( 0…0-12 (Symmetric) A∈B,f∈B

数值解 有限差分 方程…

数值解 有限差 解 A非单值?对于任何 Finite Differences Numerical Solution Solution Is A non-singular For any v={v1,2,…,n 2A2△a21+2(v2-2v-x)2+2 Hence vTAv>0, for any v#0(A is SPD) Ai=f: i exists and is unique 因此存在且唯

A非单值？对于任何 非单值？对于任何 数值解 有限差分 解 因此 存在且唯一