麻省理工学院：《数值模拟导论》第五讲 QR分解

数值模拟导论-第五讲 QR分解 雅克布怀特 感谢 Deepak ramaswamy, Michal Rewienski, Karen Very and Karen Veroy

数值模拟导论 -第五讲 QR分解 雅克布 怀特 感谢Deepak Ramaswamy, Michal Rewienski,Karen Veroy and Karen Veroy

奇异矩阵例子 QR分解 LU分解的不足之处 拉杆 节点 负载力 虽然上面图形的节点矩阵是一个奇异矩阵,但是仍旧存在一种解法! SMA-HPC C2003 MIT

QR分解 SMA-HPC ©2003 MIT 奇异矩阵例子 LU分解的不足之处 拉杆 节点 负载力 虽然上面图形的节点矩阵是一个奇异矩阵，但是仍旧存在一种解法！

奇异矩阵例子 QR分解 LU分解的不足之处 v2 V 虽然上面图形的节点矩阵是一个奇异矩阵,但是存在一种解法! SMA-HPC C2003 MIT

QR分解 SMA-HPC ©2003 MIT 奇异矩阵例子 LU分解的不足之处 虽然上面图形的节点矩阵是一个奇异矩阵，但是存在一种解法！

奇异矩阵例子 QR分解 回顾矩阵各列的加权和,并观察下面的等式。 M1+x,M,+…+xM, N 虽然矩阵M是奇异矩阵但是向量B在矩阵M的列向量组成的向量空间内。 SMA-HPC C2003 MIT

QR分解 SMA-HPC ©2003 MIT 奇异矩阵例子 回顾矩阵各列的加权和，并观察下面的等式。 11 2 2 ... N N xM xM x M b + ++ = G G G 虽然矩阵M是奇异矩阵但是向量B在矩阵M的列向量组成的向量空间内

正交化 QR分解 如果M有正交列向量 如果两向量正交则: M.●M.=0i≠ 用第列乘以加权列向量得: M(xM1+x2M2+…+xM)=M·b 利用正交向量将方程简化为: M.●b M)=M,·b→x SMA-HPC C2003 MIT

QR分解 SMA-HPC ©2003 MIT 正交化 如果M有正交列向量 如果两向量正交则： 0 Mi j • M ij = ≠ G G 用第i列乘以加权列向量得： 11 2 2 ( ... ) Mi NN i • xM xM x M M b + ++ = • G GG GG 利用正交向量将方程简化为： ( ) ( ) i ii i i i i i M b xM M M b x M M• • = •⇒ = • G G G G G G

正交化 QR分解 矩阵M正交的几何意义 如果MM2=01≠/且M·M=1则矩阵M正交 维向量的几何意义 M M 非正交 正交 SMA-HPC C2003 MIT

QR分解 SMA-HPC ©2003 MIT 正交化 矩阵M正交的几何意义 如果 0 Mi j • M ij = ≠ G G 且 1 M M j j • = G G 二维向量的几何意义 则矩阵M正交 非正交 正交

正交化 QR分解 QR法的基本思想 VI 个个…↑ M 原始矩阵 带有正交列向量的矩阵 Qy=b→y=Qb 怎么来完成这一步变换? SMA-HPC C2003 MIT

QR分解 SMA-HPC ©2003 MIT 正交化 QR法的基本思想 原始矩阵 带有正交列向量的矩阵 T Qy b y Q b =⇒ = 怎么来完成这一步变换？

正交化 QR分解 推导公式 给出M,M2,求Q2=M2-2M满足 M,·O,=M1 M)=0 ● 即必有 M M SMA-HPC C2003 MIT

QR分解 SMA-HPC ©2003 MIT 正交化 推导公式 给出 1 2 M , M G G ，求Q M rM 2 2 12 1 = − G G 满足 M Q M M rM 1 2 1 2 12 1 • =• − = ( ) 0 G GG G G 即必有 1 2 12 1 1 M M r M M • = • G G G G

正交化 QR分解 标准化 如果我们将向量标准化,公式将会变得简单,因此我们先来将向量Q1标准化: M1=-M1→Q·Q=1 现在要求Q2=M2-121以便满足Q2·Q=0 得:F12 最后求得:Q SMA-HPC C2003 MIT

QR分解 SMA-HPC ©2003 MIT 正交化 标准化 如果我们将向量标准化，公式将会变得简单，因此我们先来将向量Q1标准化： 1 1 1 11 11 1 1 1 1 Q M M QQ 1 M M r = = ⇒•= • G GG G G G G 现在要求 Q M rQ 2 2 12 1 = − G G G  以便满足 2 1 Q Q• = 0 G G  得： 12 1 2 r QM = • G G 最后求得： 2 22 22 2 2 1 1 Q QQ r Q Q = = • G GG   G G  

正交化 QR分解 2*2矩阵的变化过程 既然Mx等于Qy,那么我们可以找到x与y之间得关系。 =xM1+x2M2=22=yg+y2 x2 M1=n1QM2=2Q2+29 nxv x2[y2 SMA-HPC C2003 MIT

QR分解 SMA-HPC ©2003 MIT 正交化 2*2矩阵的变化过程 既然Mx等于Qy，那么我们可以找到x与y之间得关系