《数学教学论》课程教学资源（初等代数研究讲义）第五章 不等式

初等代数研究 第五章不等式 一、不等式的橱念 不等式—两个解析式A(x,以，.，)，B(x,y,.,)用不等号连接起来的式子称为不等式： A(x,y,.,)≤B(xy,.,) 不等式可以分为两类：绝对不等式和条件不等式 当不定元取一切有意义的数值时，不等式恒成立，称之为恒不等式，也称之为绝对不等式。 当一个不等式，只当不定元取某些特殊的数值时才成立，我们称之为条件不等式。 二、不等式基本性质 不等式具有如下的基本性质 定理1（传递性）若a>b,b>c,则a>c. 定理2（三歧性）若a>b,a=b,ab,则a+c>b+c 推论1可以把不等式中任何一项变为相反的符号后，从一边移到另一边。 推论2若a>b,c>d,则a+c>b+d。 推论3若a≥b,cb-d. 定理4若a>b,则当c>0时，ac>bc:当cb>0,c>d>0,则ac>bd。 推论2者a26>00行 推论3若a>b>0,整数n>1,则a”>b。 推论4若a>b>0,整数n>1,则a>6。 定理5设a>0,则a的充要条件是x>a或x<-a。 定理6a+≤4+以，其中等号当且仅当b≥0时成立。 推论1a+b≥d- 推论2a±a±.±an≤a+a+.+a 三、绝对不等式的证明 。用放缩法证明不等式 利用放缩法证明不等式的关健是寻找中间变量C,使A<C<B成立，C在量A与B之间架 起一座桥梁，通过桥梁C的过渡，使A与B之间间接地建立起不等关系

初等代数研究 1 第五章 不等式 一、不等式的概念 不等式——两个解析式 A(x, y,  ,z), B(x, y,  ,z) 用不等号连接起来的式子称为不等式： A(x, y,  ,z)  B(x, y,  ,z) 不等式可以分为两类：绝对不等式和条件不等式。 当不定元取一切有意义的数值时，不等式恒成立，称之为恒不等式，也称之为绝对不等式。 当一个不等式，只当不定元取某些特殊的数值时才成立，我们称之为条件不等式。 二、不等式基本性质 不等式具有如下的基本性质 定理 1（传递性） 若 a  b,b  c ，则 a  c。 定理 2（三歧性） 若 a  b,a = b,a  b 中有且只有一个成立。 定理 3 若 a  b ，则 a + c  b + c 推论 1 可以把不等式中任何一项变为相反的符号后，从一边移到另一边。 推论 2 若 a  b,c  d ，则 a + c  b + d 。 推论 3 若 a  b,c  d ，则 a −c  b − d 。 定理 4 若 a  b ，则当 c  0 时， ac  bc ；当 c  0 时， ac  bc。 推论 1 若 a  b  0,c  d  0, 则 ac  bd 。 推论 2 若 a  b  0,0  c  d, 则 d b c a  。 推论 3 若 a  b  0 ，整数 n 1 ，则 n n a  b 。 推论 4 若 a  b  0 ，整数 n 1 ，则 n n a  b 。 定理 5 设 a  0 ，则 x  a 的充要条件是 −a  x  a ； x  a 的充要条件是 x  a 或 x  −a 。 定理 6 a + b  a + b ，其中等号当且仅当 ab  0 时成立。 推论 1 a + b  a − b 推论 2 a1  a2  an  a1 + a2 ++ an 三、绝对不等式的证明 ⚫ 用放缩法证明不等式 利用放缩法证明不等式的关键是寻找中间变量 C ，使 A  C  B 成立， C 在量 A 与 B 之间架 起一座桥梁，通过桥梁 C 的过渡，使 A 与 B 之间间接地建立起不等关系

初等代数研究 例已知n为正整数，试证： 身》 2 分析 -+}+× 由不等式>+mb>a,a6.mER,得 aa+m 名0骨知 将这个同向不等式相乘得 2n-22n 名2 2n2n+1 -2m+>2m+1 3 4 》西华 2 ·构造函数证明不等式 某些不等式从结构上接近某一函数，把某一字母看成自变量构造恰当的函数，利用函数的某些 性质来证明不等式。利用构造函数证明不等式关键是构造恰当的不等式。 例已知a,b∈R,求证： la+bl bl lal 1+a+°1+a1+ 分析 从不等式的结构来看，易构造函数)=中之0)，易证/代在R上是增函数。 因为a+≤al+以，所以fa+帥≤f(d+的。从而有 la+b la+b 1+la+b1+a+ “1+网+闪*1++闪

初等代数研究 2 例 已知 n 为正整数，试证： 2 2 1 2 1 1 1 5 1 1 3 1 1 +        −  +       +      + n n  分析 2 1 2 5 6 3 4 2 1 1 1 5 1 1 3 1 1 −  =         −  +       +      = + n n n 令A   由不等式 ( , , , ) +   + +  b a a b m R a m b m a b ，得 n n n n n n n n 2 2 1 2 1 2 , 2 2 2 1 2 3 2 2 , , 6 7 5 6 , 4 5 3 4 +  − − −  − −    将这个同向不等式相乘得 4 2 1 3 2 1 2 2 1 2 1 2 6 7 5 6 4 5 3 4 2 2 1 2 2 2 1 6 7 4 5 2 +  + = +  −       +  − −     n n n n n n A n n n n A   故 2 2 1 2 1 1 1 5 1 1 3 1 1 +        −  +       +      + n n  ，证毕。 ⚫ 构造函数证明不等式 某些不等式从结构上接近某一函数，把某一字母看成自变量构造恰当的函数，利用函数的某些 性质来证明不等式。利用构造函数证明不等式关键是构造恰当的不等式。 例 已知 a,b  R ，求证： b a a b a b a b + + +  + + + 1 1 1 分析 从不等式的结构来看，易构造函数 ( ) ( 0) 1  + = x x x f x ，易证 f (x) 在 + R 上是增函数。 因为 a + b  a + b ，所以 f ( a + b )  f ( a + b) 。从而有 b a a b a b a a b b a b a b a b a b + + +  + + + + + = + + +  + + + 1 1 1 1 1 1

初等代数研究 ·构造几何图形证明不等式 如果说不等式中的抽象的数量关系能用图形表示，利用图形的几何性质即可证明不等式。 例设a∈(0，)，b∈(0，求证： √a2+b2+V0-a+b2+N1-a}+1-b+a2+1-b}≥2√2 分析 从左式四个表达式特征可以看出，它们表示两点间的距离。 故可构造点A1,0),B(1,I),C(0,1),D0,0)四边形ABCD为正方形，令P点坐标为(a,b),则 PD=Ja2+6,AP=v1-a)+b2 PB=/(1-a)+(1-6).|PCl=Va+(1-b) BD=4C= 由三角形的性质得 IDPl+|BP≥|BD.AP+CP\≥MC 所以，IDP+BP+Ar+lCr≥lBD+AC 即Va2+b2+0-aj}+b2+-a}+1-b}+Va2+1-b}≥25. ●反证法在不等式证明中的应用 反证法是解决数学问题的一种重要方法，在不等式的证明中也有广泛的应用。用反证法证明不 等式，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、 定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的。 例己知f)=x2+x+q,求证：/①/2/6)中至少有一个不小于 分析 此题从正面解决比较困座，可用反证法，假设结论不成立，即//伦/6都小于方，则 l+p+< 1+p+g< 4+2p+< <4+2p+9<2 3<2 l9+3p+4<2 2 <9+3p+9<2 3 1 <p+g<-2 ① 9 2p+g<-② 19 由于0@得-号<2p+< 9

初等代数研究 3 ⚫ 构造几何图形证明不等式 如果说不等式中的抽象的数量关系能用图形表示，利用图形的几何性质即可证明不等式。 例 设 a  (0,1),b  (0,1) ，求证： (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b + − a + b + − a + −b + a + −b  分析 从左式四个表达式特征可以看出，它们表示两点间的距离。 故可构造点 A(1,0), B(1,1),C(0,1), D(0,0) 四边形 ABCD 为正方形，令 P 点坐标为 (a,b) ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) 2, 2 1 1 , 1 , 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = − + − = + − = + = − + BD AC PB a b PC a b PD a b AP a b 由三角形的性质得 DP + BP  BD , AP + CP  AC 所以， DP + BP + AP + CP  BD + AC 即 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b + − a + b + − a + −b + a + −b  。 ⚫ 反证法在不等式证明中的应用 反证法是解决数学问题的一种重要方法，在不等式的证明中也有广泛的应用。用反证法证明不 等式，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、 定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的。 例 已知 f (x) = x + px + q 2 ，求证： f (1), f (2), f (3) 中至少有一个不小于 2 1 。 分析 此题从正面解决比较困难，可用反证法，假设结论不成立，即 f (1), f (2), f (3) 都小于 2 1 ，则 ( ) ( ) ( )          −  + +  −  + +  −  + +            + +  + +  + +               2 1 9 3 2 1 2 1 4 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 9 3 2 1 4 2 2 1 1 2 1 3 2 1 2 2 1 1 p q p q p q p q p q p q f f f          −  +  − −  +  − −  +  − ③ ② ① 2 17 3 2 19 2 7 2 2 9 2 1 2 3 p q p q p q 由于①③得 2 9 2 2 11 −  p + q  −

初等代数研究 此式与②矛盾，这说明假设不成立，故原命题成立。 四、条件不等式的求解 ●分类讨论 例n为自然数，a>1,解关于x的不等式： bog.4+(-2)2bg.(x) 3 分析 此不等式比较复杂，不仅含有参数a,还有自然数n。先把此不等式化简，再对参数进行讨论。 不等式化简为： 1-2yg.x>1-2ye.g-a 3 3 对n进行讨论： (1)当n为偶数时，原不等式转化为l0g。xbg.(x2-a) 下面再对a进行讨论，由于a为对数的底，故 ①当00 x2-a>0 x1时，不等式变为不等式组 「x>0 x2-a>0 x>x2-a ·用几何方法求解不等式 如果不等式的结构可以通过某种方式与图形建立起联系，则可设法构造图形，将不等式所表达 的抽象的数量关系转化为图形加以解决。 例设A={x1<x<3},B是关于x的不等式组 [x2-2x+a≤0 x2-2br+5≤0 的解集，试确定a,b的取值范围，使得AB。 分析 构造函数fx)=x2-2x+a=(c-1)2+a-1,gx)=x2-2br+5=(x-b)2+5-b

初等代数研究 4 此式与②矛盾，这说明假设不成立，故原命题成立。 四、条件不等式的求解 ⚫ 分类讨论 例 n 为自然数， a 1 ，解关于 x 的不等式： ( ) log ( ) 3 1 2 log 4log 12log ( 2) log 1 2 x 2 x 3 x n x a x a n a n a a a n − − − − + − + −   − 分析 此不等式比较复杂，不仅含有参数 a ，还有自然数 n 。先把此不等式化简，再对参数进行讨论。 不等式化简为： ( ) log ( ) 3 1 2 log 3 1 ( 2) 2 x a x a n a n − − −  − − 对 n 进行讨论： ⑴当 n 为偶数时，原不等式转化为 log log ( ) 2 a x  a x − a ⑵当 n 为奇数时，原不等式转化为 log log ( ) 2 a x  a x − a 下面再对 a 进行讨论，由于 a 为对数的底，故 ①当 0  a 1 时，不等式变为不等式组       − −   x x a x a x 2 2 0 0 ②当 a 1 时，不等式变为不等式组       − −   x x a x a x 2 2 0 0 ⚫ 用几何方法求解不等式 如果不等式的结构可以通过某种方式与图形建立起联系，则可设法构造图形，将不等式所表达 的抽象的数量关系转化为图形加以解决。 例 设 A = {x |1  x  3}， B 是关于 x 的不等式组    − +  − +  2 5 0 2 0 2 2 x bx x x a 的解集，试确定 a,b 的取值范围，使得 A  B。 分析 构造函数 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 f x = x − 2x + a = x −1 + a −1, g x = x − 2bx + 5 = (x − b) + 5 − b

初等代数研究 要使A三B,则必须使fx,g()在[，3]上的函数图像落在x轴下方，即有 [f0s0「a-1≤0 /3)s0 a+3s0→as-3 且有 「g0s0 -2b+6≤0→b23 1g6)s0P{14-66≤0 所以满足条件a,b的取值范围为a≤-3，b≥3。 几个重要不等式 (一)琴森(Jensen)不等式 定理1 设f(x)是区间[a,b]上的严格凸函数，对x,x2,xn∈[a,b] p,P2,.pn∈R*,且p+P2+.+Pn=l, 若f(x)是严格下凸函数，则有不等式 f(px+p2x3+.+Pnx)≤Pf(x)+P2f(x3)+.+Pnf(x方 若f(x)是严格上凸函数，则有不等式 f(px1+p2x2+.+Pnxn)≥Pf(x)+P2f(x2)+.+Pnf(xn) 当且仅当x=x2=.=x,时等号成立 推论 当B=p2==P=时 对Vx1,x2,.xm∈[a,b], 若f(x)是严格下凸函数，则有不等式 f(x++xn)sf(x)+f(x2)+.+f() 若f(x)是严格上凸函数，则有不等式 f(+++4)≥fx)+f(x2)++fx) n 当且仅当x=x=.三x是等号成立

初等代数研究 5 要使 A  B ，则必须使 f (x), g(x) 在 1,3 上的函数图像落在 x 轴下方，即有 ( ) ( )         − +  −     3 3 0 1 0 3 0 1 0 a a a f f 且有 ( ) ( )         −  − +     3 14 6 0 2 6 0 3 0 1 0 b b b g g 所以满足条件 a,b 的取值范围为 a  −3,b  3。 几个重要不等式 （一） 琴森（Jensen)不等式 . ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) , , 1 ( ) [ , ] , , [ , ] 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 当且仅当 时等号成立 若 是严格上凸函数，则有不等式 若 是严格下凸函数，则有不等式 ，且 ， 设 是区间 上的严格凸函数，对 ， n n n n n n n n n n n n x x x f p x p x p x p f x p f x p f x f x f p x p x p x p f x p f x p f x f x p p p R p p p f x a b x x x a b = = = + + +  + + + + + +  + + +   + + + =   +         定理1 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , [ , ] 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 当且仅当 是等号成立 若 是严格上凸函数，则有不等式 若 是严格下凸函数，则有不等式 对 ， 当 时 推论 n n n n n n n x x x n f x f x f x n x x x f f x n f x f x f x n x x x f f x x x x a b n p p p = = = + + +  + + + + + +  + + +   = = = =       

初等代数研究 (二)平均不等式 定理2若a,>0,i=l,2,.,n,n>l,k>l,n,k∈N A=a+4++g n Gn=a,a2.an n M= a+a2+.+an n a 则H,≤Gn≤A≤M 其中等号当且仅当a=,=.=a,时成立 证明： 当n=2时，由(Va,-Va)2≥0知4，≥G2 其中等号当且仅当a,=a,时成立 假定当n=时定理成立， 当n=k+时，要证A2G知 (Aka-GxXk+1) =a+a2+.+a+ak41-(k+1)yaa2.a4a ≥ka4.a+a1-(k+1aa,-aa k(k1)xy =x(x-y)-(x-y) =(x-yx+xy+.+x) =(x-y-+)+.+(x-y)]20 ∴A1≥Gk+成立 当a=42=.=a4+时等号成立 于是对n>1的一切正整数都成立 推论1 若a,>0,i=1,2,.,n, a+a,+.+an=5(定值) 则当a,=a2=.=a,时 a,a.an有最大值yms= n

初等代数研究 6 （二）平均不等式 证明： 推论 1 . 1 1 1 2 0, 1,2, , , 1, 1, , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 其中等号当且仅当 时成立 则 定理 若 n n n n k k k n k k k n n n n n n n i a a a H G A M n a a a M a a a n H G a a a n a a a A a i n n k n k N = = =    + + + = + + + = = + + + =  =           于是对 的一切正整数都成立 当 时等号成立 成立 当 时，要证 假定当 时定理成立， 其中等号当且仅当 时成立 当 时，由（ 知 令 1 ( )[ ( ) ( )] 0 ( )( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( )( 1) 1 2 ) 0 , 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 ( 1) 1 2 1 1  = = =   = − − + − + + −  = − + + + − = − − − + − +  + − + = + + + + − + − + = +  = = = −   + + + − − − − − + + = = + + + + + + + + + + = + + + n a a a A G x y x y y x y y x y x y x x y x y k y x x y k y x y k y x k x y k a a a a k a a a a a a a a k a a a a A G k n k A G n k a a n a a A G k k k k k k k k k k k k k k k k k k x a y a a a k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k         n n n n i n s a a a y a a a a a a s a i n          = = = = + + + =  = 1 2 max 1 2 1 2 0, 1,2, , , 有最大值 则当 时 （定值） 若    

初等代数研究 推论2 若a,>0,i=1,2,.,n, 且a4.an=p定值)， 则在a1=a2=.=an时 a,+a2+.+an有最小值 ymn=n收p 、求函数=r+8x+(x>0的最小值 解：设 ()数 r-8x64 ,其中m,n是待定的正整数， m nx 于是有m+2-3n=0,且m,n分别是8,64的因数， 所以m=4,n=2, 因此=++ =r+(2r+2+2x+20+是3 272r=28 例求函数y=+名c>的最小值 解：令x-1=1>0),则x=1+L,于是 =++r+2+ 4 =r* ≥4418 (花奎老师，你为何不反思？数学教学研究2007(6)) >

初等代数研究 7 推论 2 n n n n i y n p a a a a a a a a a p a i n = + + + = = =    =  = min 1 2 1 2 1 2 , ( ) 0 , 1,2, , , 有最小值 则在 时 且 定值 ， 若     例 、求函数 ( 0)的最小值 64 1 8 3 2 = + + x  x y x x 4, 2, 2 3 0, , 8 64 , , 8 64 8 64 3 2 3 2 = = + − =        = =  =              m n m n m n m n m nx x x m nx x x m n 所以 于是有 且 分别是 ， 的因数， 其中 是待定的正整数， 常数 解：设 ) 28 32 7 (2 ) ( ) 32 32 (2 2 2 2 ) ( 64 8 7 2 3 2 4 3 3 2 3 2  = = + + + + + + = + + x x x x x x x x x x x 因此 y x x ( 1) . 1 2 4 例求函数  的最小值 − = + x x y x 1 8 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 4 2 4 ( 1) ( 1) 4 1 ( 0), 1, 7 2 2 2 2 2        + = = + + + + + + + = + + = + + + − = + − =  = + t t t t t t t t t t t t t t t t t t t x y x 解：令x t t 则x t 于是 (花奎.老师，你为何不反思？数学教学研究2007（6））

初等代数研究 证明：对任意n∈N, 由定理2得 + n1++1 n+1 = (三)柯西(Cauchy)不等式 定理3设Va,b∈Ri=l,2,3.,n, 则(2ah≤ax2) 当且仅当a,=kh=1,2,.,n)时，等号成立 证明：设fx)=x2∑a2-2x∑ab+∑b 显然总有f(x)≥0， 又x的系数立a>0(不妨设a都不为零) 于是4位aA-4020s0 ahPs2a.2的 (四)伯努利(Bernoulli)不等式 定理4设x>-L,则 1D当0时，1+x)21+c 其中当且仅当x=0时等号成立 证明：1)当0<a<1时， 如果a为有理数，令a=m(m,neN,m<n) 于是1+x=0+)=0+r网 ≤m1+x)+(n-m)- =1+x=1+

初等代数研究 8 证明： （三）柯西(Cauchy)不等式 证明： （四）伯努利（Bernoulli)不等式 证明： 1 * 1 1 1 1 2. , 1 +       +   +       + n n n n 例 已知 n N 求证 对任意n N，由定理2得 n n       + 1 1 1 1 1        = + n n 1 1 ) 1 1 (1 +           + + +  n n n n 1 1 1 1 +       + + + = n n n 1 1 1 1 +       + = + n n ( 1,2, , ) . ( ) ( )( ) 3 , ( 1,2,3 , ) 1 2 1 2 1 2 当且仅当 时，等号成立 则 定理 设 ， a k b i n a b a b a b R i n i i n i i n i i n i i i i i   = =    =    = = =    = = = = − + n i i n i i i n i f x x ai x a b b 1 2 1 1 2 2 设 ( ) 2 显然总有f (x)  0, 又 的系数 不妨设 i都不为零） n i x ai 0( a 1 2 2   = 4( ) 4 0 1 2 1 2 2 1  −    = = = n i i n i i n i 于是 aibi a b  （ ）（ ） = = =   n i i n i i n i aibi a b 1 2 1 2 2 1 ( ) 0 . 2) 0 1 (1 ) 1 . 1 0 1 1 ) 1 ; 4 1, 其中当且仅当 时等号成立 当 或 时， ）当 时，（ 定理 、设 则 =   +  +   +  +  − x x x x x x        1）当0  1时， 如果为有理数， (m,n N,m n) n m 令 =    于是(1+ x) n m = (1+ x) n m n m x − = (1+ ) 1 n m(1+ x) + (n − m)1  x x n m =1+ =1+

初等代数研究 若α是小于的正无理数， 取a,4.,a 其中a,(i=1,2,都是小于的正有理数， 并使ma,=a 由以上证明结果可知 (1+x)只≤1+ax,n=l,2. 于是(1+x)P-lim(1+x)≤m(1+ax)=1+o 当且仅当1+x=1,即x=0时等号成立 2)当a>时， 不妨设1+ax>01+x≤0时结论显然成立) max{-a,lac} 这样0<-只< 根据D,有q+)“≤1-g: (五)三角不等式 定理52(a±b℉≤(2a)+(26

初等代数研究 9 （五）三角不等式 若是小于1的正无理数， a a a i a a a n n i n = = → lim ( 1,2, ) 1 , , , , 1 2 并使 其中 都是小于 的正有理数， 取    （1+ x) an 1+ an x,n =1,2, 由以上证明结果可知 an n (1+ x) = lim(1+ x) → 于是  lim (1 a x) n n  + → =1+x 当且仅当1+ x =1，即x = 0时等号成立 2)当 1时， 不妨设1+x  0(1+x  0时结论显然成立）   + x  + x =1+ x 1 1, 1 1 ) 1 1 0 1     由 根据）得（  x x  于是（1+ ) 1+ 当  0时， 取正整数n,使n  max{−,|x |} 0  − 1, n  这样， x n x n   +  − − 根据1），有（1 ) 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 5 [ ) ] ( ) ( ) = = =   + n i i n i i n i 定理 、 （ai bi a b

初等代数研究 例3.设x2+y2+z2=100, 求3x+4y+12:的最大值与最小值. 例4.设a,b,c,d,eeR,且 a+b+c+d+e=8. a2+b2+c2+d2+e2=16. 求证：0≤e≤9 例5已知a,a2,aneR,求证： (a+++aX+L++2m 例6三角形的三边分别为a,b,c,面积为s求证： a2+b2+c2≥43s 例7已知a,a4,an∈R,求证： 练习： 设圆的内接n边形的面积为s 边长为a,42,an,求证： a2+a++a,224g月

初等代数研究 10 3 4 12 . 3. 100, 2 2 2 求 的最大值与最小值 例 设 x y z x y z + + + + = . 5 16 0 16. 8, 4. , , , , , 2 2 2 2 2   + + + + = + + + + =  e a b c d e a b c d e a b c d e R 求证： 例 设 且 ) . 1 1 1 ( )( 5 , , , , 2 1 2 1 2 1 2 n a a a a a a a a a R n n n + + + + + +   +   例 已知  求证： 4 3 . 6 , , , . 2 2 2 a b c s a b c s + +  例 三角形的三边分别为 面积为 求证： . 7 , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n a a a n a n a a n n a a a a a a a a a R + + + +       + + +         例 已知  求证： 4 . , , , , , 2 2 2 2 1 1 2 n a a a stg a a a n s n n  + ++  边长为  求证： 设圆的内接 边形的面积为 练习：