《数学教学论》课程教学资源（初等几何研究讲义）第二讲 等线段的证法、等角的证法、和差倍分的证法和定值问题

第二讲 §1.8等线段的证法 >证明线段相等的一般方法 (1)合同三角形的应用 (2)等腰三角形的应用 >（3)平行四边形的应用 (4)煤介线的应用 B和AC向外做正方形ABEF和ACGH,则BC边上的高线 AD平分FH. 图1.16 ◆△ABC中以AB和AC边向外作等边三角形ABD和ACE证明：CD=BE 例2：点C是弦AB的中点，通过C引弦PQ并在此弦两端做圆的切线PX,PY他们交 直线AB于X和Y, 证明：PX=QY,AX=BY 图1.17 例3：AB是圆的直径，从圆上一点C作CD上AB于D,圆在A,C两点的切线相交于E 证明：BE平分CD. 例4：圆的二弦AB与CD相交于圆外一点E,如图，由E引AD的平行线与直线BC相交 于F,作切线FG,G为切点，证明：EF=FG

第二讲 §１.８等线段的证法 ➢ 证明线段相等的一般方法： ➢ （１）合同三角形的应用 ➢ （２）等腰三角形的应用 ➢ （３）平行四边形的应用 ➢ （４）媒介线的应用 ➢ （５）圆内等量的应用 例１：在△ＡＢＣ的两边ＡＢ和ＡＣ向外做正方形ＡＢＥＦ和ＡＣＧＨ，则ＢＣ边上的高线 ＡＤ平分ＦＨ． △ＡＢＣ中以ＡＢ和ＡＣ边向外作等边三角形ＡＢＤ和ＡＣＥ证明：ＣＤ＝ＢＥ 例２：点Ｃ是弦ＡＢ的中点，通过Ｃ引弦ＰＱ并在此弦两端做圆的切线ＰＸ，ＰＹ他们交 直线ＡＢ于Ｘ和Ｙ， 证明：ＰＸ＝ＱＹ，ＡＸ＝ＢＹ 例３：ＡＢ是圆的直径，从圆上一点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，圆在Ａ，Ｃ两点的切线相交于Ｅ， 证明：ＢＥ平分ＣＤ． 例４：圆的二弦ＡＢ与ＣＤ相交于圆外一点Ｅ，如图，由Ｅ引ＡＤ的平行线与直线ＢＣ相交 于Ｆ，作切线ＦＧ，Ｇ为切点，证明：ＥＦ＝ＦＧ．

§1.9等角的证法 ,证明角相等，主要有以下途径 (1）合回 三角形的应用 (2)等腰三角形的应用： >(3)平行线的应用： >(4)媒介角的应用： >(5)三角形中内角与外角的关系： (6)圆心角 角，弦切角的关系 (7)相似形的应用. 例1：设AD,BE,CF是△ABC的三条高线，则△DEF称为△ABC的垂足三角形.证 明这些高线平分垂足三角形的内角或外角， 图1.21 图1.22 例2：从圆O外一点P引切线PC,PD,通过弦CD的中点M任作一弦AB求证：PO 平分∠APB 例3：二圆外切于P,一圆在其上一点C的切线交另一圆于A,B求证：PC是∠APB 的外角平分线。 例4：从圆心O向已知直线I作垂线OM,通过垂足M任作两条直线AB和CD,交圆于A, B,C,D.求证：AD,BC交直线I之点P,Q与M等距. 蝴蝶定理来由 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《里十日记》上 由于其几何图形形象奇特、貌似蝴螺 ,便以此命名。蝴蝶定理出现过许多优美奇特的解法 其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中 一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法。 ·至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提 出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在 河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题， 载文向国内介绍蝴蝶定理 从此蝴螺定理在神州大地到处传开 §1.10和差倍分的证法和定值问题 >证明和差倍分问题的常用定理： >（1)三角形两边中点的连线等于第三边的一半：

§１.９等角的证法 ➢ 证明角相等，主要有以下途径： ➢ （１）合同三角形的应用； ➢ （２）等腰三角形的应用； ➢ （３）平行线的应用； ➢ （４）媒介角的应用； ➢ （５）三角形中内角与外角的关系； ➢ （６）圆心角，圆周角，弦切角的关系； ➢ （７）相似形的应用． 例１：设ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ是△ＡＢＣ的三条高线，则△ＤＥＦ称为△ＡＢＣ的垂足三角形．证 明这些高线平分垂足三角形的内角或外角． 例２：从圆Ｏ外一点Ｐ引切线ＰＣ，ＰＤ．通过弦ＣＤ的中点Ｍ任作一弦ＡＢ 求证：ＰＯ 平分∠ＡＰＢ． 例３：二圆外切于Ｐ，一圆在其上一点Ｃ的切线交另一圆于Ａ，Ｂ 求证：ＰＣ是∠ＡＰＢ 的外角平分线． 例４：从圆心Ｏ向已知直线 l 作垂线 OM，通过垂足 M 任作两条直线 AB 和 CD，交圆于 A， B，C，D．求证：AD，BC 交直线 l 之点 P，Q 与 M 等距． 蝴蝶定理来由 : 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于 1815 年的一份通俗杂志《男士日记》上。 由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。蝴蝶定理出现过许多优美奇特的解法， 其中最早的，应首推霍纳在 1815 年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中， 一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法。 • 至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提 出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985 年，在 河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题， 载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。 §1.10 和差倍分的证法和定值问题 ➢ 证明和差倍分问题的常用定理： ➢ （１）三角形两边中点的连线等于第三边的一半；

》(2)梯形两腰中点的连线等于两底和的一半： >(3)平行四边形的对角线互相平分，菱形的角被对角线平分 (4)直角 三角形中若有 一个锐角头 130 则斜边是30°角对边的2倍 (5)直角三角形斜边中点距三顶点等远 (6)三角形一外角等于不相邻二内角之和等等 例1：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和 例2：三角形任一顶点到垂心的距离，二倍于外心到对边的距离. 例3：设E为正方形ABCD中CD边的中点， F是CE的中点，则∠DAE=∠BF 证明几何问题方法可灵活机动 ·运用几何方法证明代数问题 ·例1： 设00,b>0,a+b=1求证 5<a+与+b+5s2 例3：证明直角三角形中，弦的立方大于勾股的立方和. 例4：在△ABC的高线AD上任取一点P,设有两条直线BP与AC相交于M,两直线C P与AB相交于N,证明AD平分∠MDN或其外角】 例5：设P为△ABC外接圆周上任一点，则PA2+PB2+PC2=2AE

➢ （２）梯形两腰中点的连线等于两底和的一半； ➢ （３）平行四边形的对角线互相平分，菱形的角被对角线平分； ➢ （４）直角三角形中若有一个锐角为 30°，则斜边是 30°角对边的２倍； ➢ （５）直角三角形斜边中点距三顶点等远； ➢ （６）三角形一外角等于不相邻二内角之和等等 例１：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和 例２：三角形任一顶点到垂心的距离，二倍于外心到对边的距离． 例３：设Ｅ为正方形ＡＢＣＤ中ＣＤ边的中点， Ｆ是ＣＥ的中点，则∠ＤＡＥ＝ 证明几何问题方法可灵活机动 • 运用几何方法证明代数问题 • 例１： 例２： 例３：证明直角三角形中，弦的立方大于勾股的立方和． 例４：在△ＡＢＣ的高线ＡＤ上任取一点Ｐ，设有两条直线ＢＰ与ＡＣ相交于Ｍ，两直线Ｃ Ｐ与ＡＢ相交于Ｎ，证明ＡＤ平分∠ＭＤＮ或其外角． 例５：设Ｐ为△ＡＢＣ外接圆周上任一点，则ＰＡ2+ＰＢ2+ＰＣ2＝２ＡＢ 1 2 BAF 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ,0 , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a l b l a b l a b a l b l a l b l     + + − + + + − + − + −  设 求证下面不等式 0, 0, 1. 1 1 2 2 2 2 a b a b a b   + =  + + +  已知 求证