《数学教学论》课程教学资源（初等几何研究讲义）第三讲 关于不等量的证法、共线点的证法

第三讲 §1.12关于不等量的证法 三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 三角形中，大边的对角较大，大角的对边较大 ·外角定理 ·垂线与斜线，斜线与斜线的比较定理 ·两个三角形中，若有两组边对应相等而夹角不等，则夹角大的第三边也大，反之 三边大的夹角也大 ·同圆或等圆中两弦或两弧的比较定理 例1证明三角形中，大边上的中线较小 例2三角形中，大边上的高较小. 例3三角形中，大边上的平分角线较小 系：三角形中若有两条平分角线 相等，则必为等腰三角形 例4三角形中，大边与其上的高之和不小于小边与其上的高之和. §1.15共线点的证法 ·要证明三点XYZ共线，通常这样来办： ·适当地选一条通过X的直线PXQ,并连接XY与XZ,(1)当Y、Z两点在PQ 的异侧时，则证∠PX =∠QXY或 PXY+∠PXZ=180(2)当YZ 两点在PQ的同侧时，则证明∠PXY=∠PXZ ·证明XY与XZ平行于同一条直线 ·证明X、Y、Z同在一定直线上 ·证明XZ和某定直线的交点就是Y 西摩松定理 例1三角形外接圆周上任意一点，在三边（所在直线）上的射影共线， 例2证明三角形一顶点在其它两角内外平分线上的射影是共线的四点。 §1.15.1梅涅劳定理 ·定理：设△ABC的三边（所在直线）BC,CA,AB被一直线分别截于点X, Y,Z则有 ··升1R BX CY AZ 梅涅劳定理的应用定理 ·定理1：设△ABC的角∠A的外角平分线与边BC的延长线交于P,∠B的平分 线与边CA交于Q,∠C的平分线与边AB交于R,则P,Q,R三点位于同一条 直线上 定理2：过任意△ABC的三个顶点A,B,C作它的外接圆的切线，分别与BC, CA,AB的延长线交于P,Q,R,则P,Q,R三点位于同一直线上 牛顿定理： ·牛顿定理：设四边形ABCD两双对边相交于E,F,则AC,BD,EF的中点 共线

第三讲 §1.12 关于不等量的证法 • 三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 • 三角形中，大边的对角较大，大角的对边较大 • 外角定理 • 垂线与斜线，斜线与斜线的比较定理 • 两个三角形中，若有两组边对应相等而夹角不等，则夹角大的第三边也大，反之， 第三边大的夹角也大 • 同圆或等圆中两弦或两弧的比较定理 例１ 证明三角形中，大边上的中线较小 例２ 三角形中，大边上的高较小． 例３ 三角形中，大边上的平分角线较小 系：三角形中若有两条平分角线 相等，则必为等腰三角形． 例４ 三角形中，大边与其上的高之和不小于小边与其上的高之和． §1.15 共线点的证法 • 要证明三点ＸＹＺ共线，通常这样来办： • 适当地选一条通过Ｘ的直线ＰＸＱ，并连接ＸＹ与ＸＺ，（１）当Ｙ、Ｚ两点在ＰＱ 的异侧时，则证∠ＰＸＺ＝∠ＱＸＹ或∠ＰＸＹ＋∠ＰＸＺ＝１８０（２）当ＹＺ 两点在ＰＱ的同侧时，则证明∠ＰＸＹ＝∠ＰＸＺ • 证明ＸＹ与ＸＺ平行于同一条直线 • 证明Ｘ、Ｙ、Ｚ同在一定直线上 • 证明ＸＺ和某定直线的交点就是Ｙ 西摩松定理 例１ 三角形外接圆周上任意一点，在三边（所在直线）上的射影共线。 例２ 证明 三角形一顶点在其它两角内外平分线上的射影是共线的四点． §1.15.1 梅涅劳定理 • 定理：设△ＡＢＣ的三边（所在直线）ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ被一直线分别截于点Ｘ， Ｙ，Ｚ则有 梅涅劳定理的应用定理 • 定理１：设△ＡＢＣ的角∠Ａ的外角平分线与边ＢＣ的延长线交于Ｐ，∠Ｂ的平分 线与边ＣＡ交于Ｑ，∠Ｃ的平分线与边ＡＢ交于Ｒ，则Ｐ，Ｑ，Ｒ三点位于同一条 直线上． • 定理２：过任意△ＡＢＣ的三个顶点Ａ，Ｂ，Ｃ作它的外接圆的切线，分别与ＢＣ， ＣＡ，ＡＢ的延长线交于Ｐ，Ｑ，Ｒ，则Ｐ，Ｑ，Ｒ三点位于同一直线上． 牛顿定理： • 牛顿定理：设四边形ＡＢＣＤ两双对边相交于Ｅ，Ｆ，则ＡＣ，ＢＤ，ＥＦ的中点 共线 1, 1 XB YC ZA OR XC YA ZB BX CY AZ XC YA ZB • • = • • = −

德萨格定理 ·德萨格定理：设两个三角形与彼此对应，使得对应顶点的连线共点，那么对应边的 交点共线 ·系：设两个三角形ABC与A‘B'C彼此对应，使得对应边（所在直线）BC与B C的交点L,CA与C'A‘的交点M,AB与A'B的交点N共线，则对应顶点的 连线AA',BB,CC'必共点或平行 8116共点线的证法 切线与高线AD共点. 锡瓦定理 ·定理：△ABC的顶点与一点0所连的直线，依次交对边（所在直线）于点X,Y, z,则 XC YA ZB 锡瓦定理的应用定理 ·定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB,AC的交点分别为D,E,又设BE 和CD的交点为S,则AS通过BC的中点M

德萨格定理 • 德萨格定理：设两个三角形与彼此对应，使得对应顶点的连线共点，那么对应边的 交点共线 • 系：设两个三角形ＡＢＣ与Ａ‘Ｂ’Ｃ‘彼此对应，使得对应边（所在直线）ＢＣ与Ｂ’ Ｃ‘的交点Ｌ，ＣＡ与Ｃ’Ａ‘的交点Ｍ，ＡＢ与Ａ’Ｂ‘的交点Ｎ共线，则对应顶点的 连线ＡＡ’，ＢＢ‘，ＣＣ’ 必共点或平行 §1.16 共点线的证法 • 例：三圆两两相交，则三公弦（所在直线）共点或互相平行．如图： • 例：在△ＡＢＣ中以ＢＣ为直径的圆交ＡＢ，ＡＣ于Ｆ，Ｅ，求证：圆在Ｅ，Ｆ的 切线与高线ＡＤ共点． 锡瓦定理 • 定理： △ＡＢＣ的顶点与一点Ｏ所连的直线，依次交对边（所在直线）于点Ｘ，Ｙ， Ｚ，则 锡瓦定理的应用定理 • 定理：设平行于△ＡＢＣ的边 BC 的直线与两边 AB,AC 的交点分别为 D,E，又设 BE 和 CD 的交点为 S，则 AS 通过 BC 的中点 M. 1 1 XB YC ZA BX CY AZ XC YA ZB XC YA ZB   = −   = 或