《数学教学论》课程教学资源（初等几何研究讲义）第四讲 共圆点的证法

第四讲 §1.17共圆点的证法 ·在同一圆周上的点称为共圆点，不共线的三点必定共圆。要证明A,B,C,D四 点共圆，通常用下列方法： ·()证诸点距一定点等远 ·(2)证明ABCD是圆内接四边形（或证对角互补，或证某两点视另两点连线段的视 角相等，当然这两点要在这线段的同侧) (3)若两直线AB和CD相交于一点O,就有向线段的乘积而言，证明关系0A:0B =0C.0D ·如果发现其中某两点的连线段为直径，便设法证明其余的点对这线段的视角均为直 角。 例1，设A是弧BAC的中点，过A任做两弦AD及AE,并设这两直线交BC于F和G, 求证D,E,P,G四点共圆 例2：三角形三边中点，三垂足，垂心与三顶点连线段的中点，这九点共圆，称为这三角形 的九点圆. 九点圆的性质 ·三角形的九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半： ·三角形的九点圆的圆心在“欧拉线”上： 三角形的外心 重心，九点圆圆心，垂心分别为0，G,K,H,则0G:GK: KH=1:2:3 §1.18共点圆的证法 ·例1.通过圆内接四边形一项点和邻接二边中点作圆，证明这四圆共点 例2.四直线相交成四个直角，证明这四个三角形的外接圆共点。 补充 1 密克定理：在△ABC三边BC,CA,AB所在直线上分别取X,Y,Z 三点，则⊙AYZ,⊙BZX,⊙CXY三个圆共点. 2,陪位线，陪位重心，莱莫恩圆 ·(1)过三角形的每个项点可作三角形内的一条直线，使它和顶角的一边的夹角与 过此顶点的中线和顶角的另一边所成夹角相等，这条直线叫做三角形的陪位中线： 三条陪代 中线的交点叫做陪位重心 （2)过三角形的陪位重心所做三边的平行线与周界的六个交点所在的圆称为菜莫 恩圆 塔克圆 二角形的一种六占圆，若K是△ABC的陪位重心.A·BC·分别是A,BK,CK三线 上的点， A'B AB. A'C∥AC,则BC∥BC而且△A'BC与△ABC的非对 边所在直线的六个交点共圆，这个圆叫做△ABC的塔克圆.当A‘,B',C按照以上条件 变化时，所得一系列圆称为△ABC的塔克圆系.“莱莫恩圆就是塔克圆系中的圆. 三角形的泰勒圆 三角形每边上的高线的垂足在另两边上的射影共计六个点，这六个点所在的圆称为 三角形的泰勒圆。三角形的泰勒圆也属于塔克圆系

第四讲 §１.１７共圆点的证法 • 在同一圆周上的点称为共圆点，不共线的三点必定共圆．要证明Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四 点共圆，通常用下列方法： • ⑴证诸点距一定点等远 • ⑵证明ＡＢＣＤ是圆内接四边形（或证对角互补，或证某两点视另两点连线段的视 角相等，当然这两点要在这线段的同侧） • ⑶若两直线ＡＢ和ＣＤ相交于一点Ｏ，就有向线段的乘积而言，证明关系ＯＡ·ＯＢ ＝ＯＣ·ＯＤ • 如果发现其中某两点的连线段为直径，便设法证明其余的点对这线段的视角均为直 角． 例１．设Ａ是弧ＢＡＣ的中点，过Ａ任做两弦ＡＤ及ＡＥ，并设这两直线交ＢＣ于Ｆ和Ｇ， 求证Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ四点共圆 例２：三角形三边中点，三垂足，垂心与三顶点连线段的中点，这九点共圆，称为这三角形 的九点圆． 九点圆的性质 • 三角形的九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半； • 三角形的九点圆的圆心在“欧拉线”上； • 三角形的外心，重心，九点圆圆心，垂心分别为Ｏ，Ｇ，Ｋ，Ｈ，则ＯＧ︰ＧＫ︰ ＫＨ＝１ ︰ ２ ︰ ３ §１.１８共点圆的证法 • 例１．通过圆内接四边形一顶点和邻接二边中点作圆，证明这四圆共点． • 例２．四直线相交成四个直角，证明这四个三角形的外接圆共点． 补充 • １． 密克定理：在△ＡＢＣ三边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ所在直线上分别取Ｘ，Ｙ，Ｚ 三点，则⊙ＡＹＺ，⊙ＢＺＸ，⊙ＣＸＹ三个圆共点． ２．陪位线，陪位重心，莱莫恩圆 • （１）过三角形的每个顶点可作三角形内的一条直线，使它和顶角的一边的夹角与 过此顶点的中线和顶角的另一边所成夹角相等，这条直线叫做三角形的陪位中线； 三条陪位中线的交点叫做陪位重心． • （２）过三角形的陪位重心所做三边的平行线与周界的六个交点所在的圆称为莱莫 恩圆． 塔克圆 三角形的一种六点圆，若Ｋ是△ＡＢＣ的陪位重心，Ａ‘Ｂ’Ｃ‘分别是ＡＫ，ＢＫ，ＣＫ三线 上的点，Ａ’Ｂ‘∥ＡＢ，Ａ’Ｃ‘∥ＡＣ，则Ｂ’Ｃ‘∥ＢＣ而且△Ａ’Ｂ‘Ｃ’与△ＡＢＣ的非对应 边所在直线的六个交点共圆，这个圆叫做△ＡＢＣ的塔克圆．当Ａ‘，Ｂ’，Ｃ‘按照以上条件 变化时，所得一系列圆称为△ＡＢＣ的塔克圆系．“莱莫恩圆”就是塔克圆系中的圆． 三角形的泰勒圆 • 三角形每边上的高线的垂足在另两边上的射影共计六个点，这六个点所在的圆称为 三角形的泰勒圆．三角形的泰勒圆也属于塔克圆系．