《数学教学论》课程教学资源（初等几何研究讲义）第八讲 三角形中一些线段的计算、两个常用定理

第八讲 §1.28三角形中一些线段的计算 1 已知三边求中线 ·定理：三角形中锐角或纯角对边的平方，等于其他两边的平方和减去或加上这两边 中一边与另一边在它上面的射影之积的两倍 6+c2=号d2+2m, c2+d=b+2m, d2+6=)c2+2m 已知三边求高和面积 ·若已知三角形ABC,则BC边上的高和面积分别为： 6-子风p-p-Np-g S=h,=n风p-ap-bp-可 已知三边求外接圆半径 ·设AH是三角形ABC的高，AM是外接圆直径，则 R=鉴p-p-司 abc 已知三边求角平分线 ·己知AV是三角形ABC的角平分线，那么 AΨ= ic(p-a) §1.30两个常用定理 ·定理1：两个正数之和为常数，则其乘积当两变数相等时为最大 ·几何意义：等周矩形中，以正方形的面积最大。 ·定理2： 两个正数的积为常数 则其和当两变数相等时为最小 ·几何意义：等积矩形中，以正方形周长最小 例1：在半径为r的圆内求有最大周长的的内接矩形. 例2：墙上挂着一副画，高为AB,问一个观察者站在离培多远的地方，AB所张的视角B 品木 例3：圆的外切等腰梯形中，面积最小的要满足什么条件？ 例4：设一类四边形中两双对边中点所连两线段之和为定长21，求其中面积达到最大值以 及该时的几何特征

第八讲 §1.28 三角形中一些线段的计算 • １ 已知三边求中线 • 定理：三角形中锐角或钝角对边的平方，等于其他两边的平方和减去或加上这两边 中一边与另一边在它上面的射影之积的两倍 已知三边求高和面积 • 若已知三角形ＡＢＣ，则ＢＣ边上的高和面积分别为： 已知三边求外接圆半径 • 设ＡＨ是三角形ＡＢＣ的高，ＡＭ是外接圆直径，则 已知三边求角平分线 • 已知ＡＶ是三角形ＡＢＣ的角平分线， 那么 §1.30 两个常用定理 • 定理１；两个正数之和为常数，则其乘积当两变数相等时为最大 • 几何意义：等周矩形中，以正方形的面积最大． • 定理２；两个正数的积为常数，则其和当两变数相等时为最小． • 几何意义：等积矩形中，以正方形周长最小． 例１：在半径为 r 的圆内求有最大周长的的内接矩形． 例２：墙上挂着一副画，高为ＡＢ，问一个观察者站在离墙多远的地方，ＡＢ所张的视角θ 最大． 例３：圆的外切等腰梯形中，面积最小的要满足什么条件？ 例４：设一类四边形中两双对边中点所连两线段之和为定长２l，求其中面积达到最大值以 及该时的几何特征． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 a b c b c a m c a b m a b c m + = + + = + + = + 2 ( )( )( ) 1 ( )( )( ) 2 a a h p p a p b p c a S ah p p a p b p c = − − − = = − − − 4 4 ( )( )( ) abc abc R s p p a p b p c = = − − − 2 AV bcp p a ( ) b c = − +