北京大学：《核物理与粒子物理导论》精品课程教学资源（课件讲稿）第二章 放射性和稳定性（2.6-2.9）§2.6 原子核的结合能 §2.7 原子核稳定性的经验规律 §2.8 原子核的液滴模型 §2.9 原子核结合能的半经验公式

§26原子核的结合能 能量和质量的一般关系 质能关系式 E nc 对于静止和运动粒子均成立。对于孤立体系,总能量守恒,也必然地有总质量 守恒。 以速度数值为U运动的粒子的质量 mx/1-(u/c) 其中m是粒子的静止质量。当粒子的速度u增大时,它的质量m也随之增大。 引进以速度u运动的粒子的动量数值 p=mb 可以得到 p + moc 粒子的动能E Ek=E-moc

§2.6 原子核的结合能 1. 能量和质量的一般关系 质能关系式 2 = mcE 对于静止和运动粒子均成立。对于孤立体系，总能量守恒，也必然地有总质量 守恒。 以速度数值为υ运动的粒子的质量 2 0 mm −= υ c)/(1/ 其中 m0是粒子的静止质量。当粒子的速度υ增大时，它的质量 m 也随之增大。 引进以速度υ运动的粒子的动量数值 p = mυ 可以得到 4242 0 222 =+= cmcmpcE 粒子的动能 Ek 2 k 0 −= cmEE

对于运动速度远小于光速(uc)的经典粒子,有c2p2《mc,可以得到 m1c(1 和经典力学的结论相同。 对于光子,m=0,有 E=E 光子的总能量就是它的动能。应当注意,虽然光子的静止质量为零,但是光 子的质量m=Ec2并不为零,而由光子的能量E所确定。 对于高速电子,Dc,它的能量很高,E>mc2,有 E,≈E≈ lg质量的能量 E=mc2=103kg×12.99792458×10ms2 898755179×103 从能量尺度看起来,这是个很大的量。 原子核的质量通常以原子质量单位u为单位。质量为1u的能量 E=m2-1.6605402×1021kg×299792458×10°ms2 =1.492419×100J

对于运动速度远小于光速（ υ« c）的经典粒子，有 c 2 p 2 « m 0 2 c 4，可以得到 ]1)1[( 2/1 42 0 22 2 0 2 k 0 +=−= − cm pc cmcmEE 0 2 2 m p ≈ 和经典力学的结论相同。 对于光子， m 0=0，有 k = = cpEE 光子的总能量就是它的动能。应当注意，虽然光子的静止质量为零，但是 光 子的质量 m =E/ c 2并不为零，而由光子的能量 E 所确定。 对于高速电子， υ～ c，它的能量很高， E » m 0 c 2，有 k ≈ ≈ cpEE 1g 质量的能量 E =mc 2=10-3kg ×[2.99792458 ×10 8 m⋅s -1 ] 2 =8.98755179 ×1013 J 从能量尺度看起来，这是个很大的量。 原子核的质量通常以原子质量单位 u 为单位。质量为 1u 的能量 E =mc 2=1.6605402 ×10-27kg ×[2.99792458 ×10 8 m⋅s -1 ] 2 =1.492419 ×10-10 J

原子核物理学中,常用电子伏特(eV)作为能量单位。1eV 是一个电子在真空中通过1V电位差所获得的动能。 1eV=160217733×10-19J lkev=10ev. 1Mev=10ev, 1 gev=10ev 1u=931.4943MeV/c2 对于电子,它的静止质量 m=54858×10u=051100MeVl2 m2c2=511.00kev 表22一些粒子的质量和能量 粒子 静止质量m0 能量m0c2/MeV 电子e 0.00054858 0.51100 质子p 1.007276 938.272 中子n 1.008665 939.565 氘核d 2.013553 1875.613 氚核t 3.015501 2808.921 氦核 4.001506 3727.379

原子核物理学中，常用电子伏特（eV）作为能量单位。1e V 是一个电子在真空中通过 1V 电位差所获得的动能。 1 eV=1.60217733 ×10 -19 J 1keV ＝10 3eV, 1MeV ＝10 6eV , 1GeV ＝10 9eV 1u ＝931.4943 MeV/ c 2 对于电子，它的静止质量 m e=5.4858 ×10 - 4u=0.51100 MeV/ c 2 m e c 2=511.00 keV

2.质量亏损 组成某一原子核的核子质量和与该原子核质量之差称为原子核的质量 亏损 △m(A=Zmn+(A-2m-m(ZA Mass deficit 实验发现,原子核的质量总是小于组成它的核子的质量和(这里指静止 质量)△m0。例 Am(He)=(2m,+2m)-m("He) 在具体计算中所涉及的质量总是用核素原子的质量,我们用大写字母M (Z,A)表示原子质量, M(Z, A)=m(Z, A)+Me -Be(2)/ 其中B2(Z)是电荷数为Z的元素的电子结合能。由托马斯一费米( Tomas 一 Fermi)原子模型 B(Z)=15.73zeV B2(Z)/2比起核的质量来是很小的;又由于在计算△m时是算的质量差, 相应地也有电子结合能的差。这样,含有B的项对于计算结果的影响就更 小了。在实际计算中,总是略去了电子结合能这一项。于是 △m(He)=△M(He) 2MCH)+2m. -MCHe) =2(1007825+1.008665)-4002603 0.030377u

2. 质量亏损 组成某一原子核的核子质量和与该原子核质量之差称为原子核的质量 亏损: Δm(Z,A)=Zmp+(A-Z)mn-m(Z,A) 实验发现，原子核的质量总是小于组成它的核子的质量和（这里指静止 质量）Δm>0。例 Δ )He()22()He( 4 np 4 m −+= mmm 在具体计算中所涉及的质量总是用核素原子的质量，我们用大写字母 M （Z，A）表示原子质量， 2 ee ),(),( −+= /)( cZBZmAZmAZM 其中 Be（Z）是电荷数为 Z 的元素的电子结合能。由托马斯一费米（Tomas 一 Fermi）原子模型 eV73.15)( 3/7 e = ZZB Be（Z）/c2比起核的质量来是很小的；又由于在计算Δm 时是算的质量差， 相应地也有电子结合能的差。这样，含有 Be的项对于计算结果的影响就更 小了。在实际计算中，总是略去了电子结合能这一项。于是 002603.4)008665.1007825.1(2 )He(2)H(2 Δ )He( Δ )He( 4 n 1 4 4 = + − −+= = MmM m M = u030377.0 Mass deficit

对应的能量差是 △E(He)=△M(He)c=28.30MeV 因此,质量亏损也可用原子质量表示, AM(Z, A=ZMCH)+(A-Z)m-M(z 显然对于稳定原子核 △M(Z,A)>0 “广义质量亏损”:体系变化前后静止质量之差 △M=∑M-∑ 式中右边第一项是体系在变化前的静止质量,第二项是体系发生变化后的静止 质量。△M>0表示体系变化以后静止质量减少了。相应地,体系动能的变化 △E>0,即有能量释放。这种变化称为放能变化。△E是变化后体系动能与变 化前体系动能之差 △E=∑E-∑ 其中∑E是体系变化后的动能,∑E是体系变化前的动能

对应的能量差是 Δ )He( Δ MeV30.28)He( 4 24 E = cM = 因此，质量亏损也可用原子质量表示， Δ ),()()H(),( n 1 ZMAZM −−+= AZMmZA 显然对于稳定原子核 Δ AZM > 0),( “广义质量亏损”：体系变化前后静止质量之差 Δ ∑ i −= ∑ MMM f 式中右边第一项是体系在变化前的静止质量，第二项是体系发生变化后的静止 质量。ΔM＞0 表示体系变化以后静止质量减少了。相应地，体系动能的变化 ΔE＞0，即有能量释放。这种变化称为放能变化。ΔE 是变化后体系动能与变 化前体系动能之差， ∑ −= ∑ i i f Δ f EEE 其中∑ f Ef 是体系变化后的动能，∑ i Ei 是体系变化前的动能

事实上,由于孤立体系的总能量是守恒的,即 ∑Me2+∑E=∑M1c2+∑ 则有关系 △E=△MC 对于ΔM<0的情形,体系变化以后静止质量增大,相应地有△E<0,即要对 体系提供能量,这种变化称为吸能变化。 (M′A),称为核素的质量过剩。M是核素的原子质量,以u为单位,A 是核素的核子数。(M-4)c2,是质量过剩所对应的能量,通常用符号△表示。 即 A(Z,A)≡[M(Z,A)-c2 Mass excess 这样列表,应用起来较为方便,用质量差计算能量变化时,就省去了单位之 间的换算

事实上，由于孤立体系的总能量是守恒的，即 ∑ ∑ ∑ +=+ ∑ f f f 2 f i i i 2 i EcMEcM 则有关系 ΔΔ 2 = McE 对于 ΔM ＜ 0 的情形，体系变化以后静止质量增大，相应地有 ΔE ＜ 0，即要 对 体系提供能量，这种变化称为吸能变化。 （ M-A ），称为核素的质量过剩。M 是核素的原子质量，以 u 为单位， A 是核素的核子数。 (M-A ) c 2，是质量过剩所对应的能量，通常用符号 Δ表示。 即 2 Δ ≡ − ]),([),( cAAZMAZ 这样列表，应用起来较为方便，用质量差计算能量变化时，就省去了单位 之 间的换算。 Mass excess

表23一些核素的原子质量 元素符2A △ev 号nH 0 1008665 1007825 7289 1233467 2014102 13.136 3016049 14950 30l6030 14931 euBCNOA 2233 4002603 2425 6015123 14087 7016004 14908 9012183 11348 612 12000000 614 14003242 3020 71414003074 2863 81615994915 4.737 1327 26981542 -17.194 Fe 55934940 -60.604 U 92235 35043925 40916 92238238050786 47307

表2-3 一 些 核 素 的 原 子 质 量 元 素 符 号 ZA M/u Δ/MeV n 0 1 1.008665 8.071 H 1 1 1.007825 7.289 1 2 2.014102 13.136 1 3 3.016049 14.950 He 2 3 3.016030 14.931 2 4 4.002603 2.425 Li 3 6 6.015123 14.087 3 7 7.016004 14.908 Be 4 9 9.012183 11.348 C 6 12 12.000000 0 6 14 14.003242 3.020 N 7 14 14.003074 2.863 O 8 16 15.994915 -4.737 Al 13 27 26.981542 -17.194 Fe 26 56 55.934940 -60.604 U 92 235 235.043925 40.916 92 238 238.050786 47.307

3.原子核的结合能 自由核子组成原子核所释放的能量称为原子核的结合能。它是原子核整 体稳定性的度量 核素的结合能用B(Z,A)表示。相据相对论质能关系,它与核素的质 量亏损△M(Z,A)的关系是 B(Z,A)=△M(Z,A)c2 对于lHe BCHe)=amc)c= 28.30MeV 两个质子、两个中子结合成一个氦核,要放出28.30MeV的能量。将lHe 核拆成自由的核子,为了克服核子之间的作用力,要用2830MeV的能量对 体系作功。 可以由核素的原子质量来计算原子核的结合能。 B(Z, A=[ZM(H)+(A-Z)m,-M(Z, A)Jc 也可以写成 B(Z, A)=ZAH)+(A-Z)A(n)-AZ, A) 般地说,核子数A大的原子核结合能B也大 原子核平均每个核子的结合能又称为比结合能,用E表示。 8=B/A 比结合能表示,若把原子核拆成自由核子,平均对于每个核子所要做的 功。比结合能的大小可用以标志原子核结合得松紧的程度

3. 原子核的结合能 自由核子组成原子核所释放的能量称为原子核的结合能。 它是原子核整 体稳定性的度量. 核素的结合能用 B（Z，A）表示。相据相对论质能关系，它与核素的质 量亏损ΔM（Z，A）的关系是 2 ),( = Δ ),( cAZMAZB 对于 4He )He( Δ MeV30.28)He( 4 24 B = cM = 两个质子、两个中子结合成一个氦核，要放出 28.30MeV 的能量。将 4He 核拆成自由的核子，为了克服核子之间的作用力，要用 28.30MeV 的能量对 体系作功。 可以由核素的原子质量来计算原子核的结合能。 2 n 1 = MZAZB −−+ )],()()H([),( cAZMmZA 也可以写成 ),( Δ )()H( Δ )n( Δ ),( 1 ZAZB ZA −−+= AZ 一般地说，核子数 A 大的原子核结合能 B 也大。 原子核平均每个核子的结合能又称为比结合能，用 ε 表示。 ε = / AB 比结合能表示，若把原子核拆成自由核子，平均对于每个核子所要做的 功。比结合能 ε 的大小可用以标志原子核结合得松紧的程度

表24一些核素的结合能和比结合能 核 结合能比结合能Mev B/Mev H 2.224 1.112 SHe 7.718 e 28.30 707 6Li 31.99 5.33 TLi 39.24 561 92.16 768 10466 748 11549 7.70 746 12761 798 131.76 7.75 F 128 754 1°F 14780 778 40Ca 342.05 8.55 8.79 Ag 915.2 8.55 129 e 10876 843 e 1103.5 8.42 11124 843 208Pb 16364 7.87 17838 759 418016 757

表 2-4 一些核素的结合能和比结合能 核 素 结 合 能 B/MeV 比结合能 ε/MeV 2H 2.224 1.112 3He 7.718 2.573 4He 28.30 7.07 6Li 31.99 5.33 7Li 39.24 5.61 12C 92.16 7.68 14N 104.66 7.48 15N 115.49 7.70 15O 111.95 7.46 16O 127.61 7.98 17O 131.76 7.75 17F 128.22 7.54 19F 147.80 7.78 40Ca 342.05 8.55 56Fe 492.3 8.79 107Ag 915.2 8.55 129Xe 1087.6 8.43 131Xe 1103.5 8.42 132Xe 1112.4 8.43 208Pb 1636.4 7.87 235U 1783.8 7.59 238U 1801.6 7.57

比结合能曲线 对于稳定的核素X,以为纵坐标,A为横坐标作图,可以联成一条曲线,称为比 结合能曲线。 (1)当A30时,B8MeV。即BoA。 (3)曲线的形状是中间高,两端低:(a)重核的裂变;(b)轻核的聚变, 7.0 核作用的 Li 5.0 饱和性 4.0 3. He 2.0 H 图210比结合能曲线

4. 比结合能曲线 对于稳定的核素X，以ε为纵坐标，A为横坐标作图，可以联成一条曲线，称为比 结合能曲线。 （1）当A30时，ε≈8MeV。即B∝A。 （3）曲线的形状是中间高，两端低：(a)重核的裂变；(b) 轻核的聚变， 核作用的 饱和性