北京大学：《核物理与粒子物理导论》精品课程教学资源（课件讲稿）第一章 核与粒子的基本性质（1.4-1.7）§1.4 原子核的电四极矩 §1.5 原子核的宇称 §1.6 原子核的统计性质 §1.7 原子核的同位旋

§14原子核的电四极矩 在原子核的对称轴z上z点的电势小 p=4e f Ar,y'2 dr dt R 式中是真空中的介电常数;p(xwz)是核内P(x尔)点周围体d的 电荷密度,假设核内电荷为常数,可将它提到积分号外,积分限是原子核体 积V 由于 R f r-P(cose √=3+r2-2=r'cosO Pcos是勒让德多项式: R Po(cos0=1 dr PG,y,z) PI(cos 6=cos 2cos=1(3cos20-1) 图1-5原子核产生的电势

§1.4 原子核的电四极矩 在原子核的对称轴 z 上 z0点的电势φ: ∫ = ∫ = ′′′ V V R ρ R ρ zyx τ πε τ πε φ d 4 d 1 ),,( 4 1 0 0 式中ε0是真空中的介电常数；ρ(x′,y′,z′）是核内 P(x′,y′,z′）点周围体 dτ中的 电荷密度，假设核内电荷ρ为常数，可将它提到积分号外，积分限是原子核体 积 V。 由于 )(cos 0 2 cos2 1 1 1 0 0 220 θ θ l l P l zr R rzrz ∑∞= ′ = + ′ − ′ = + Pl(cosθ)是勒让德多项式： P0(cosθ)＝1 P1(cosθ)＝cosθ P2(cosθ)＝12 (3cos2θ-1) ……

4T8 ∑-p!「r"P(osxr dt+ 4 2 PJ)/"coser+ 2=50(3cos0-l)dr+ 1|Ze1 dt+ Ddt 4 式中第一项是单电荷的电势,即核的总电荷集中于核中心时所产生的电势,或 者说电荷为球对称分布时所产生的电势;第二项是偶极子的电势;第三项是四 极子的电势;以后各项可以忽略。 由于宇称守恒,原子核的奇数阶电多极矩为0。 定义!(为电偶极矩。原子核的电偶极矩为0 定义 Q=-,(3 Ddt Q(,M)=甲G32-rywG 为核的电四极矩,它有面积的量纲

则 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ = + ′ + ′ +− = ′ ∫∫ ∫ ∑ ∫ ∞ = + L V V V V l l l l r z r z z Pr z ρτθρτρ τθ πε ρ τθ πε φ (3cos 1)d 21 dcos 1 d 1 4 1 d)(cos 1 4 1 2 2 3 0 2 00 0 0 1 0 0 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ = + ′ + ′ − ′ + ∫∫ L V V rz z z z z Ze ρτρ τ πε d)(3 21 d 1 4 1 22 30 2 00 0 式中第一项是单电荷的电势，即核的总电荷集中于核中心时所产生的电势，或 者说电荷为球对称分布时所产生的电势；第二项是偶极子的电势；第三项是四 极子的电势；以后各项可以忽略。 由于宇称守恒，原子核的奇数阶电多极矩为 0。 定义∫ ′ Vρz dτ 为电偶极矩。原子核的电偶极矩为 0。 定义 ∫ = ′ − ′ V rz e Q ρ d)3( τ 1 22 为核的电四极矩，它有面积的量纲。 * 22 ( , ) ( )(3 ' ' ) ( ) M M QIM r z r rd I I =Ψ − Ψ τ ∫ r r

注,对不在对称轴上的点的电势,上述分析也成立。 四极子电势与电荷分布的形状密切相关,电四极矩成为原子核的重要特性 之 设椭球对称轴的半轴为c,另外两个半轴为a,则 2 2 Z C V)=Z(c2-a2) 当c=a时,Q=0,即球形核的电四极矩为零。 c>a时,Q>0,即长椭球形原子核具有正的电四极矩。 c0 (a)球形 b)长椭球形 Octupole Y3 图1-6电四极矩与核形状的关系 Octupole Y

注：对不在对称轴上的点的电势，上述分析也成立。 四极子电势与电荷分布的形状密切相关，电四极矩成为原子核的重要特 性 之一。 设椭球对称轴的半轴为 c，另外两个半轴为 a，则 τ τ ρ 2(d)3( d) 22 222 yxz V Z rz e Q V V = ′ − ′ = ′ − ′ − ′ ∫ ∫ )( 5 2 ) 5 2 5 2 ( 2 2 22 acZVaVc V Z = −=− 当 c ＝ a 时， Q ＝ 0，即球形核的电四极矩为零。 c ＞ a 时， Q ＞ 0，即长椭球形原子核具有正的电四极矩。 c ＜ a 时， Q ＜ 0，即扁椭球形原子核具有负的电四极矩

△R 令E为原子核偏离球形程度的形变参量,定义6=R,R为与椭球同体积的 球的半径,AR为椭球对称轴半径c与R之差,则 R(1+e) 由于 R R 有 √1+ε 6 所以 ZR2 实验测得Q值后,就可算出E 对大多数原子核,的绝对值为百分之几。这说明大多数原子核是非球形 的,但偏离球形的程度都不大。 测量电四极矩:原子光谱超精细结构 电四极矩共振吸收 [ Heyde,P.20-25] 原子核本身能级间的跃迁

令 ε 为原子核偏离球形程度的形变参量，定义 ε≡ ΔR R ，R 为与椭球同体积的 球的半径，ΔR 为椭球对称轴半径 c 与 R 之差，则 = Rc 1( +ε) 由于 4 3 4 3 3 2 π π R ac = 有 1+ε = R a 所以 ε 56 ε 56 32 20 2 ≈≈ AZrZRQ 实验测得 Q 值后，就可算出ε。 对大多数原子核，ε的绝对值为百分之几。这说明大多数原子核是非球形 的，但偏离球形的程度都不大。 测量电四极矩：原子光谱超精细结构 电四极矩共振吸收 原子核本身能级间的跃迁 [Heyde, P.20-25]

§1.5原子核的宇称 对称性 经典系统的对称性:" a thing is symmetrical if there is something that you can do to it so that after you have finished doing it it looks the same as it did before."(德国数学家 H Weyl,1885-1955) 经典物理规律的对称性:规律的表达式在某种变换下保持不变 量子系统的对称性:假定W是运动方程的解(一种可能的状态),如 果经过变换之后的波函数=Q(Q是变换算符)也必然是运动方程的 解,则体系对于变换Q是对称的。 量子运动规律的对称性: [H, 0]=HO-OH=0, E H()O=H(F)=H()

§1.5 原子核的宇称 对称性 经典系统的对称性：”A thing is symmetrical if there is something that you can do to it so that after you have finished doing it it looks the same as it did before.” （德国数学家 H.Weyl, 1885-1955） 经典物理规律的对称性：规律的表达式在某种变换下保持不变。 量子系统的对称性：假定Ψ是运动方程的解（一种可能的状态），如 果经过变换之后的波函数 QQ 是变换算符） ) ) ( ' Ψ=Ψ 也必然是运动方程的 解，则体系对于变换 Q 是对称的。 量子运动规律的对称性： ],[ )()()(,0 1 HQQHQH rHrHQrHQ ) ) ) ) ) ) ) ) r ) ) r ) r =−= =−= 或 −

宇称是描写微观体系状态波函数的一种空间反演性质 Py(x=v(x) 算符P称为宇称算符。对某些波函数,存在着以下关系 y(x=Ky(x) 这表明波函数y(x)是宇称算符P的本征态,K是本征值 显然 (x=ky(x) 由于P2v(x)=Pv(-x)=v(x),因而且K2=1,则K=±1。所以,宇称算符的本 征值只有±1两个值。对于K=+1的情形,即 V(-x)=v(x) 我们称这波函数具有正的(或说偶的)宇称,也就是该体系的宇称为正。对 于K=-1的情形,即 y(x)=-v(x) 则称这波函数具有负的(或说奇的)宇称,也就是该体系的宇称为负。我们 称这两种波函数都是具有确定宇称的。例如波函数v= Acosh具有偶宇称, v= sink具有奇宇称。而有些波函数,例如=ce没有确定的宇称,它不 是宇称算符的本征函数,但可以分解成宇称本征函数的线性迭加

宇称是描写微观体系状态波函数的一种空间反演性质 )()( ˆ ψψ −= xxP 算符 Pˆ 称为宇称算符。对某些波函数，存在着以下关系 )()( ˆ = ψψ xKxP 这表明波函数ψ （ x）是宇称算符 Pˆ 的本征态， K 是本征值。 显然 )()( ˆ 2 2 = ψψ xKxP 由于 ( ) ( ) =−= ψψψ (xxPxP ) ˆˆ 2 ，因而且 K2 ＝ 1，则 K ＝ ± 1。所以，宇称算符的 本 征值只有 ± 1 两个值。对于 K ＝+1 的情形，即 ψ − = ψ xx )()( 我们称这波函数具有正的（或说偶的）宇称，也就是该体系的宇称为正。 对 于 K＝- 1 的情形，即 ψ − = −ψ xx )()( 则称这波函数具有负的（或说奇的）宇称，也就是该体系的宇称为负。我们 称这两种波函数都是具有确定宇称的。例如波函数ψ1＝ Acoskx 具有偶宇称， ψ2 ＝ Asinkx 具有奇宇称。而有些波函数，例如 φ＝ c eikx没有确定的宇称，它 不 是宇称算符的本征函数，但可以分解成宇称本征函数的线性迭加

如果微观体系的规律在左右手坐标系中相同,即其哈密顿算符在空间反 演下保持不变: (x)=B(x) 则H与P可以对易。事实上,对于任何波函数y(x),我们有 PH(xy(x)=h(x)Py(x)=h(x)Py(x) 所以 PH= HP 这表明宇称是守恒量,它的本征值K是好量子数(P的平均值和概率分布 不值不随时间改变)。 所有原子核都有确定的宇称,这是有强相互作用的性质决定的。 基本粒子有的没有确定的宇称

如果微观体系的规律在左右手坐标系中相同，即其哈密顿算符 Hˆ 在空间 反 演下保持不变： ( ) () =− ˆˆ xHxH 则 Hˆ 与 Pˆ 可以对易。事实上，对于任何波函数ψ （ x ），我们有 ( )ψ ( ) ( ) ψ ( ) ( ) ψ (xPxHxPxHxxHP ) ˆˆ −= = ˆˆˆˆ 所以 PH = HP ˆˆˆˆ 这表明宇称是守恒量，它的本征值 K 是好量子数(P 的平均值和概率分 布 不值不随时间改变 )。 所有原子核都有确定的宇称，这是有强相互作用的性质决定的。 基本粒子有的没有确定的宇称

PG,v, z) 在有心场中的本征态 V(r, 0,0)=NR(r)pm(cos 0)emg 其中N是归一化常数,R(r)是径向波函数, 只与r的大小有关;P"(c0s是缔合勒让德 多项式,其微分形式为 1+m P"(5)=n1n(1-52) P(a 其中=c0s,l为轨道角动量量子数, 图1-7球坐标的空间反演 m为磁量子数。 空间反演是r,0→日,小升pR(r)在反演后不变,5)与,则(2-1 在反演下不变号,但它每微商一次变一号,所以在反演下 P"(2)→(-1)mP"(2)。另外,在反演下eem顿=(-1m,则r在 空间反演后成为(-1)H(r, l为奇数时(rB具有奇宇称,l为偶数时则为偶宇称

在有心场中的本征态： φ ψ φθ θ m im l r = )(cos)(),,( ePrNR 其中 N 是归一化常数，R（r）是径向波函数， 只与 r 的大小有关； Plm (cosθ)是缔合勒让德 多项式，其微分形式为 l ml ml l m l m l P )1( dd )1(!21 )( 2 2 2 −= − ++ ξ ξ ξ ξ 其中ξ＝cosθ，l 为轨道角动量量子数， m 为磁量子数。 空间反演是 r→r，θ→π−θ，φ→π+φ。R（r）在反演后不变，ξ→-ξ，则（ξ2-1） l 在反演下不变号，但它每微商一次变一号，所以在反演 下 Plm (ξ)→(-1)l+m Plm (ξ)。另外，在反演下 eimφ→eim(π+φ)m =(-1)m eimφ，则Ψ(r,θ,φ) 在 空间反演后成为(-1)lΨ(r,θ,φ) 。 l 为奇数时Ψ(r,θ,φ) 具有奇宇称，l 为偶数时则为偶宇称

独立粒子模型:原子核波函数可近似地考虑作诸核子波函数的乘积 由于核子的内秉宇称为+1,因此,原子核的宇称可看作诸核子的轨道宇称 之积 由量子力学知道,有心场中轨道量子数l是好量子数,一定的原子核状态具 有确定的宇称。 表示法:自旋J 例:基态的自旋为4,宇称为负,则表示为4; He基态的自旋为零,宇称为正,则表示为0t

独立粒子模型：原子核波函数可近似地考虑作诸核子波函数的乘积。 由于核子的内秉宇称为+1，因此，原子核的宇称 πN可看作诸核子的轨道宇 称 之积： ∏= −= A i li 1 N π )1( 由量子力学知道，有心场中轨道量子数 l 是好量子数，一定的原子核状态 具 有确定的宇称。 表示法： 自旋宇称=JP 例: 40K 基态的自旋为 4，宇称为负，则表示为 4-； 4He 基态的自旋为零，宇称为正，则表示为 0 ＋

§1.6原子核的统计性质 由自旋为半整数的粒子组成的两个或两个以上的全同粒子系统,遵从费米 一狄拉克( Fermi- Dirac)统计律。所以,自旋为半整数的粒子也叫费米子。 由自旋为整数的粒子组成的两个或两个以上的全同粒子系统,则遵从玻色 一爱因斯坦(Bose- Einstein)统计律。自旋为整数的粒子也叫玻色子。 费米子在每一量子状态中只能有一个,玻色子在每一量子状态中则可以有 两个或两个以上。 由两个或两个以上全同费米子组成的系统,它的波函数是交换反对称的 即 v(r1,…,r;…;r;,…,r)=-v( 此式表示将第i个粒子和第j个粒子互换后,描写系统的波函数差一符号

§1.6 原子核的统计性质 由自旋为半整数的粒子组成的两个或两个以上的全同粒子系统，遵从费米 一狄拉克（Fermi 一 Dirac）统计律。所以，自旋为半整数的粒子也叫费米子。 由自旋为整数的粒子组成的两个或两个以上的全同粒子系统，则遵从玻色 一爱因斯坦（Bose 一 Einstein）统计律。自旋为整数的粒子也叫玻色子。 费米子在每一量子状态中只能有一个，玻色子在每一量子状态中则可以有 两个或两个以上。 由两个或两个以上全同费米子组成的系统，它的波函数是交换反对称的， 即 ψ(r1,…,rj,…ri,…,rn)= - ψ(r1,…,ri,…rj,…,rn) 此式表示将第 i 个粒子和第 j 个粒子互换后，描写系统的波函数差一符号