复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第四章 线性空间 4.1 线性空间的概念

(後只人季 41线性空间的概念

4.1 线性空间的概念

(後只人季 、线性空间定义 定义4.1设V是一个非空集合,P是一个数域,如果以 下三个条件被满足,则称非空集合V为数域P上的 个线性空间 (I)在V的元素之间给出一个对应法则,称为加法, 使V中任意两个元素a与β在V中都有唯一确定的一个 元素y与它们对应,称为a与B的和,记为a+β=y (Ⅱ)在P与V的元素之间给出一个对应法则,称为乘 法,使数域P中任一数k与V中任一元素a,在V中都有 唯一确定的一个元素δ与它们对应,称为k与a的数量 乘积,记为δ=ka (Ⅲ)对于给定的加法与数量乘法两种运算满足以下运 算规律:

一、线性空间定义

(後只人季 定义4.1 (1)加法交换律a+β=β+a; (2)加法结合律(a+B)+y=a+(B+y (3)在V中存在零元,记为0,它对于V中任意一个元 素a,都有a+0=a (4)对于V中每一个元素a,在V中存在相应的负元, 记为(-a),使得a+(-a)=0; (5)k(a+β)=ka+k6; (6(k+Da=ka+la (7)k(la)=(kD)a; (8)1·a=a. 其中a,B,y等为V中的任意元素,k,l为数域P中的任意 数

(後只人季 例1数域P上的全部n元向量所组成的集合 按n元向量的加法与数量乘法构成数域P上 的一个线性空间,记为P,称为n元向量空 特别地,当P是实数域R时,R3就是几何空间

(後只人季 例2数域P上m×n矩阵的全体所组成的集 合,按矩阵的加法与数量乘法构成数域P上 的一个线性空间,记为Pmxn。 当P=R时,得Rmx

(後只人季 例3实(复)数域R(C)按本身的加法和乘法构 成自身上的一个线性空间

(後只人季 例4数域P上一元多项式的全体(包括零多 项式)所组成的集合,按通常的多项式加 法与多项式乘法,构成数域P上的线性空间 记为P[x] 同样,数域P上次数不大于n的一元多项式 的全体(包括零多项式)所组成的集合, 亦构成数域P上的线性空间,记为P[x]n

(後只人季 °例5定义在区间[a,b上的一切连续实函数 的全体所组成的集合按函数的加法和实数 与函数的数量乘法构成实数域上的线性空 间,记为C[a,b]

(後只人季 线性空间的性质: (1)在线性空间中,零元是唯一的; (2)在线性空间中,每一个元素a的负元是 唯一的 (3)在线性空间中,以下等式成立: 0c=0 k0=0 (-k)a=k(-a)=-(ka) (4)若ka=0,则k=0或a=0

(後只人季 ·线性空间与n元向量空间有许多本质上相同 的性质。 ·因此,常把线性空间也称为向量空间