复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第四章 线性空间 4.1 线性空间的定义 4.2 维数、基、坐标

线性代数 第四章线性空间 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-4-11

线性代数 第四章 线性空间 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-4-11

一、线性空间的定义 线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是 个抽象的概念,它是苘量空间概念的摧广 线性空间是为了解决实际问题而引入的,它是 某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题 看作向量空间,进而通过研究向量空间来解决实际 问题

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的 ，它是 一、线性空间的定义 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题．

定义1设V是一个非空集合,R为实数域.如果 对于任意两个元素a,B∈V,总有唯一的一个元 素y∈Ⅳ与之对应,称为a与B的和,记作 r=a+B 若对于任一数∈R与任一元素∈V,总有唯 的一个元素δ∈V与之对应,称为几与0的积, 记作 6=a

γ = α + β 定义１ 设 是一个非空集合， 为实数域．如果 对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元 素 与之对应，称为 与 的和，记作 α,β ∈V γ ∈V α β V R 若对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作 λ ∈ R α ∈V δ ∈V λ α δ = λα

如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那 么就称为数域R上的向量空间(或线性空间) 设a,B,y∈V;,p∈R (1)a+B=B+c;加法交换律 (2)(a+B)+y=a+(B+y);加法结合律 (3)在中存在零元素0,对任何a∈V,都有 c+0=0;

设α,β,γ ∈V;λ,µ ∈ R (1)α + β = β +α; 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 就称为数 V 域 上的向量空间 域 R上的向量空间（或线性空间）． 加法交换律 0 ; (3) 0, , α α α + = 在V中存在零元素 对任何 ∈V 都有 (1)α + β = β +α; (2) (α + β )+ γ =α + (β + γ ); 加法结合律

(4)对任何a∈,都有a的负元素β∈V,使 a+B=0; (5)1a=a; (6)4(ax)=()ar; (7)(+)a=a+10; (8)(a+6)=Aa+4B

(5) 1α =α; (6) λ(µα ) = (λµ)α; ;0 (4) , , + = ∈ ∈ α β 对任何α V 都有α的负元素β V 使 (6) λ(µα ) = (λµ)α; (8)λ(α + β ) = λα + λβ . (7)(λ + µ)α = λα + µα;

说明 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算,称为 线性运算 2.向量空间中的向量不一定是有序数组 3.判别线性空间的方法:一个集合,对于定 义的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八条 性质的任一条,则此集合就不能构成线性空间

2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组． 说明 1． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为 线性运算． 2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组． 3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．

线性空间的判定方法 (1)一个集合,如果定义的加法和乘数沄 算是通常的实数间的加乘沄算,则只需检验对运 算的封闭性. 例1实数域上的全体mXn矩阵,对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间,记作Rm +B…=C ZA mxn mxn mxn Rm×"是一个线性空间

（１）一个集合，如果定 义的加法和乘数运 算是通常的 实 数 间的加乘运算， 则只需检验对 运 算的封 闭性． 例 １ 实数域上的全体 m × n 矩 阵，对 矩 阵的加法 线性空间的判定方法 例 １ 实数域上的全体 矩 阵，对 矩 阵的加法 和数乘运算构成 实数域上的 线性空 间，记作 ． m × n m n R × , Q A m× n + B m× n = Cm× n , λA m× n = D m× n 是一个线性空间 . m n R × ∴

例2次数不超过n的多项式的全体,记作Pxn即 PIxn={p=anx"+…+a1x+a0an,…,a1,a0∈R}, 对于通常的多项式加法,数乘多项式的乘法构成向 量空间 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律 (anx"+…+anx+ao)+(bnx"+…+b1x+b0) (an+bn)x+…+(a1+b1)x+(a+bo)∈Pxln (anx"+…+a1x+ao) (巩an)x"+…+(a1)x+(a0)∈P[xln P[xl对运算封闭

. , [ ] { , , , }, , [ ] , 1 0 1 0 量空间 对于通常的多项式加法 数乘多项式的乘法构成向 次数不超过 的多项式的全体 记作 即 P x p a x a x a a a a R n P x n n n n n = = +L+ + L ∈ 例2 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． ( ) ( ) a x a1 x a0 b x b1 x b0 n n n n +L+ + + +L+ + ( ) ( ) ( ) a b x a1 b1 x a0 b0 n = n + n +L+ + + + P[x] ∈ n ( ) a x a1 x a0 n λ n +L+ + ( ) ( ) ( ) a x a1 x a0 n = λ n +L+ λ + λ P[x] ∈ n P[x] 对运算封闭. n

例3n次多项式的全体 Q|xln={P=anx"+…+m1x+a0an;…,a1 a0∈R,且an≠0} 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空 0p=0x"+…+0x+0gQ[xl Q|xl对运算不封闭

. , }0 [ ] { , , , 0 1 0 1 间 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空 且 次多项式的全体 ∈ ≠ = = + + + a R a Q x p a x a x a a a n n n n n n L L 例3 间. 0 p = 0 x + + 0x + 0 n L Q[x] ∉ n Q[x] 对运算不封闭. n

例4 sx]=is=Asin(x+B)A, BE R 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 旧 S,+S2=A sin(x+B1)+A2 sin(x+B2) (a, cosx+b, sinx)+(a2 cos x+b2 sin x) (a,+a2)cosx+(b,+b2)sin x =Asin(x+B)∈SIxl

例４ 正弦函数的集合 S[x] = {s = Asin(x + B)A,B ∈ R}. 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间． ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 Q s + s = A sin(x + B ) + A sin(x + B ) 1 + 2 = 1 + 1 + 2 + 2 (a cos x b sin x) (a cos x b sin x) = 1 + 1 + 2 + 2 = (a1 + a2 )cos x + (b1 + b2 )sin x = Asin(x + B) ∈ S[ x]