复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）欧式空间

线性代数 欧式空间 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-5-9

线性代数 欧式空间 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-5-9

向量的内积 定义:设有n维向量x=2 :/,≤ 令 x以=x1五+x2巧 则称(x,y为向量x和y的内积 说明 内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数 内积可用矩阵乘法表示:当x和y都是列向量时, (x, y 十 X

向量的内积 定义：设有n 维向量 令 (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn ， 1 1 2 2 , , n n x y x y x y x y             = =             M M 1 1 2 2 n n 则称 (x, y) 为向量 x 和 y 的内积． 说明： • 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． • 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y ．

向量的内积 定义:设有n维向量x=2 :/,≤ 令 y1+x2,y2+… x y 则称(x,y为向量x和y的内积

定义：设有 n 维向量 令 1 1 2 2 [ , ] n n x y = + + + x y x y x y L 向量的内积 1 1 2 2 , , n n x y x y x y x y             = =             M M 则称 (x, y) 为向量 x 和 y 的内积． 1 1 2 2 n n ( ) 1 2 1 2 , , , n n y y x x x y       =       L M T = x y

(x,=x1+x巧+… 内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,λ为实数) 对称性:(x,功=(,x 线性性质:(x,y=A(x, (x+y,动=(x,+(y,团 当ⅹ=0(零向量)时,(x,x)=0 当X≠0(零向量)时,(x,x>0 Cauchy- Schwarz不等式

(x, y) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，λ 为实数）：
对称性： (x, y) = (y, x)．
线性性质： (λ x, y) = λ(x, y)． (x + y, z) = (x, z) + (y, z)
当 x = 0（零向量） 时， (x, x) = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， (x, x) > 0．
Cauchy-Schwarz不等式 (x, y)2 ≤ (x, x) (y, y)．

(x,=x1+x巧+… 内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,λ为实数): ●对称性:(x,球=(y,x Ix,y=x,y,+x2y2+.+xn,y

1 1 2 2 1 1 2 2 [ , ] n n n n x y x y x y x y y x y x y x = + + + = + + + L L (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，λ 为实数）：
对称性： (x, y) = (y, x)． 1 1 2 2 [ , ] n n y x y x y x y x = + + + = L

(x,=x1+x巧+… 内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,λ为实数): 对称性:(x,功=(,x 线性性质:(x,y=A(x, (x+y,动=(x,+(y,团 礼x,y x+y,列

(x, y) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，λ 为实数）：
对称性： (x, y) = (y, x)．
线性性质： (λ x, y) = λ(x, y)． (x + y, z) = (x, z) + (y, z) [ , ] ( ) ( ) [ , ] T T T λ λ λ λ λ x y x y x y x y x y = ⋅ = ⋅ = = [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] [ , ] T T T T T x y z x y z x y z x z y z x z y z + = + ⋅ = + ⋅ = + = +

(x,=x1+x巧+… 内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,λ为实数) 对称性:(x,功=(,x 线性性质:(x,y=A(x, (x+y,动=(x,+(y,团 当ⅹ=0(零向量)时,(x,x)=0 当X≠0(零向量)时,(x,x>0 (x,x)=x12+x2+

(x, y) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，λ 为实数）：
对称性： (x, y) = (y, x)．
线性性质： (λ x, y) = λ(x, y)． (x + y, z) = (x, z) + (y, z)
当 x = 0（零向量） 时， (x, x) = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， (x, x) > 0． (x, x) = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0

x,ⅵ=x1y+巧2+…+xnyn=Ⅺy 内积具有下列性质(其中x,yz为n维向量,λ为实数): ●对称性:(x,功=(V,x ●线性性质:(λx,=A(x,y (x+y,动=(x,动+(,团 ●当X=0(零向量)时,(x,x=0; 当ⅹ≠0(零向量)时,(x,x>0

(x, y) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，λ 为实数）：
对称性： (x, y) = (y, x)．
线性性质： (λ x, y) = λ(x, y)． (x + y, z) = (x, z) + (y, z)
当 x = 0（零向量） 时， (x, x) = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， (x, x) > 0．

定义了内积的线性空间称为欧几里得空间( Euclidean space)). 严格来讲,(x,=x1巧1+巧巧+…+xny并不是内积的唯一 定义,而是常用定义。对于向量空间中的内积计算成立 比如,在一个多项式空间中,就可以定义定积分作为内积。 ,交换性:(,g)=g=1=(g, (6f,g)=.gt gdx =k(f, g) 2,线性 (g+b)=/(g+=/g+/h=(,g)+(, 3,非负性 f,)=f·fd20 (f,f)=0f≡0

• 定义了内积的线性空间称为欧几里得空间(Euclidean space). • 严格来讲， (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn 并不是内积的唯一 定义，而是常用定义。对于向量空间中的内积计算成立。 • 比如，在一个多项式空间中，就可以定义定积分作为内积。 • 1，交换性： ( f , g) f gdx g f dx (g, f ) b a b a = ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ • 2，线性 • 3，非负性 9 ( f , g) f gdx g f dx (g, f ) a a = ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ (kf , g) kf gdx k f gdx k( f , g) b a b a = ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ ( f , g h) f (g h)dx f gdx f hdx ( f , g) ( f ,h) b a b a b a + = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = + ∫ ∫ ∫ ( , ) = ⋅ ≥ 0 ∫ f f f f dx ba ( f , f ) = 0 ⇔ f ≡ 0

●对于向量空间, Cauchy- Schwarz不等式 X ≤(x, 证明 x=0或y=0时显然成立。 x≠O且y≠O时,由于(x+,x+ty)=(x,x)+2t(x,y)+t!y,y)≥0 取t=-(xy)/y2y),则有 (xx)-(xy)2/(y,y)≥0 (xx)(yy)-(xy)2≥0 故不等式成立

对于向量空间，
Cauchy-Schwarz不等式 (x, y)2 ≤ (x, x) (y, y)． • 证明 • x=0 或y=0时显然成立。 • x≠0且y≠0时，由于(x+ty,x+ty)=（x,x）+2t(x, y)+t2(y,y)≥0 • 取t=-(x,y)/(y,y)，则有 • （x,x）-(x,y)2/(y,y) ≥0 • （x,x）(y,y) -(x,y)2≥0 • 故不等式成立 10