复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第四章 线性空间 4.2 基、维数和坐标

(後只人季 42基、维数和坐标

4.2 基、维数和坐标

(後只人季 、基与维数 定义43线性空间V中向量组E1,E2,…,En,如 果它满足条件: (1)E1,E2,…,En线性无关; (2)线性空间V中任一向量a都可经 E1,E2,En线性表示 则称此向量组E1,E2,…,E1是线性空间V的 个基. 线性空间的基不是唯一的,但每个基所含向 量的个数是唯一的

一、基与维数

(後只人季 定义44如果线性空间V的一个基中所含向 量的个数为n,则称V为n维线性空间。n为 线性空间V的维数,记为dmV=n

(後只人季 例1在R中,向量组 0 0 0 0 000:0 0 显然e1,e2,…,n是线性无关的,且R中任一个向 量a=[a1,a2,…,.an]都可以表示为 C=c1e1+c2e2+…+an 故e1,e2,…,en是R的一个基,此基通常称为常用 基。并且 dim rnt=n

(後只人季 例2在R2×2中,向量组 01 11 E 00 12 00 27÷/0 00 E 10 22 01 是R2×2的一个基,故dmR2×2=4

(後只人季 例3在P[x2中,向量组 E1=1,E2=x,E3=x 是Px]2的一个基,故dmP[x2=3

(後只人季 定义4.5设向量组e1,e2,…,En是n维线性空 间V的一个基,a是V中任意一个向量,则有 =x1E1+x2E2+…+xnEn 称数组x1,x2…,xn为向量a在基 E1,E2,…,En2下的坐标,记为[x1,x2,…,xn

(後只人季 任意一个向量a在一个确定的基下的坐标是唯一的 若向量a在基E1,E2,…,t2n下有两个不同的坐标即有 C=x1E1+x2E2+…+xnEn 和 C=y1E1+y2E2+…+ynEn 上下两式相减得 (x1-y1)E1+(x2-y2)E2+…+(xn-yn)En=0 由于基e1,E2,…,En是线性无关的,故必须有 x1=y1,x2=y2,…,xn=y 因此坐标是唯一的

(後只人季 二、向量的坐标 例4在线性空间R3中设向量a=[1,-17],求a在 下面基下的坐标 E1=[10,0],e2=[1,10]r,e3=[1,1,1r 解:设a在基E1,E2,E3下的坐标为[x1,x2,x3],即有 a=x1E1 t x2E2 +x3 E3 于是,有线性方程组 >八/+x2 1 2 3 x?+x 3 解得 x 1 2,x 2 8,x3=7 3 所以,a在基E1,E2,E3下的坐标为2,-87]

二、向量的坐标

(後只人季 二、向量的坐标 定理42设a1,a2,…,a1是m维线性空间V中l 个向量,在V中取定一个基ε1,E2,…,En,如 果a;在此基下的坐标为 a1,a2y…,an/(=1,2,…,D 则向量组α1,ax2,…,1线性相关的充分必要 条件是矩阵 11…a1L 的秩TA<L

二、向量的坐标