复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第四章 线性空间与欧氏空间 § 4.4 子空间的交、和、直和及正交

线性代数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程糸 光华楼东主楼1109Tel:65100226 liu@fudan.edu.cn

线 性 代 数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn

布置习题P186: 20. 22. 24 26. 28. 30*,31*34*,36*

❖ 布置习题 P 186: 20. 22. 24. 26. 28. 30*. 31*. 34*. 36*

、内积的坐标表示 设V是一个n维欧氏空间,在V中任意取定 个基pb2,…,n,对V中任意两个向量 a,B有 a=∑x6B=∑y6 >a,B的内积用矩阵可表示为 (a,B)=XAY(38) A=[a, Inxn a;;=(Ei,E,) >矩阵A称为基p2,…,1n的度量矩阵 (metric matrix)

三、内积的坐标表示 ➢ 设 V 是一个 n 维欧氏空间，在 V 中任意取定 一个基 ε1 , ε2 , ...,εn ，对 V 中任意两个向量  ， 有 = = n i i i x 1   = = n j j j y 1   ( , ) X AY (3.8) T   = ➢  ， 的内积用矩阵可表示为 i j n n A a =  [ ] a ( , ) (i, j 1,2, ,n) i j =  i  j =  ➢ 矩阵 A 称为基 ε1 , ε2 , ...,εn 的 度量矩阵 (metric matrix)

四、标准正交基 定义4.11在欧氏空间V中,一组非零向量,如果 它们两两正交( mutually orthogona),就称它为 正交向量组。 定理4,6设a1,2…,m(m≤n)是n维欧氏空间 V中的正交向量组,则a1,02…,n线性无关

四、标准正交基 定义 4.11 在欧氏空间 V 中，一组非零向量，如果 它们两两正交(mutually orthogonal) ，就称它为 正交向量组。 定理 4.6 设α1 ,α2 ,…,αm (m≤n) 是 n 维欧氏空间 V 中的正交向量组，则α1 ,α2 ,…,αm 线性无关

定义4,12在n维欧氏空间V中,由n个 两两正交的非零向量所构成的正交向量组称为 正交基; 由单位向量构成的正交基称为标准正交基 定理4,7任一m维欧氏空间(n≥1)都必有 正交基( orthogonal basis)) 构造正交基—施密特正交化过程

定义 4.12 在 n 维欧氏空间 V 中，由 n 个 两两正交的非零向量所构成的正交向量组称为 正交基； • 由单位向量构成的正交基称为标准正交基。 定理 4.7 任一 n 维欧氏空间(n≥1) 都必有 正交基(orthogonal basis) 。 • 构造正交基 — 施密特正交化过程

定义(投影)若a与β是n维内积空间中的 向量,则B到a的标量投影( scalar projection)为 则B到a的向量投影 vector projection)n为 C a=pro a C a, a) B-n⊥a

定义(投影) 若  与  是 n 维内积空间中的 向量，则  到  的标量投影(scalar projection)为  (,) 则  到  的向量投影(vector projection) η为              =  = = proj ( , ) ( , ) ( , ) ➢  - η ⊥ 

例:令矩阵20 400 试求:A的列空间的一组标准正交基; 解:显然A的3个列向量线性无关,它们构成R4 的3维子空间的一组基,可以使用施密特正交化过程 >正交化、标准化同时进行,令n1=1=5, 224 q1 F12=(q1202) q 2 91> 84168 2-2q1 55

例：令矩阵 试求：A 的列空间的一组标准正交基；             − − − = 4 0 0 2 4 2 2 0 1 1 2 1 A 解: 显然 A 的3个列向量线性无关，它们构成 R 4 的3 维子空间的一组基，可以使用施密特正交化过程 ➢ 正交化、标准化同时进行，令 5, r11 = α1 = T r       = = , 5 4 , 5 2 , 5 2 , 5 1 11 1 1 α q ➢ 令 ( , ) 2, r12 = q1 α2 = − 2 , 12 q1 = − q1 r , , 5 8 , 5 16 , 5 4 , 5 8 12 T r       α2 − q1 = − −

4 q1 五i1 5”3”35 A 84 168 2-r2q1 40 55 22 iaq 55 令 i3=(q1 23 al=q 8442 T. 0L 2=q112+q2/22 0,-B 4q2 5555)a3=q13+q223+q33 73=|03-13q1-F2392 A 1,夏2,夏L i 12 3-hi3q1-n23q2 =1,q2,q 72212 q3 3 733 5555 >向量组q1,q2,q3就是A的列空间的一组标准正交基

, , 5 8 , 5 16 , 5 4 , 5 8 12 T r       α2 − q1 = − − 4, r2 2 = α2 − r12 q1 = T r r       = − − − = 5 2 , 5 4 , 5 1 , 5 2 2 2 12 2 α2 q1 q ➢ 令 ( , ) 1, r13 = q1 α3 =             − − − = 4 0 0 2 4 2 2 0 1 1 2 1 A T r       = = , 5 4 , 5 2 , 5 2 , 5 1 11 1 1 α q ( , ) 1, r2 3 = q2 α3 = − , 5 2 , 5 4 , 5 4 , 5 8 3 13 2 3 2 T r r       α − q1 − q = − − 2, r3 3 = α3 − r13 q1 − r2 3 q2 = T r r r       = − − − − = 5 1 , 5 2 , 5 2 , 5 4 3 3 3 13 2 3 2 3 α q q q 1 ➢ 向量组 q1，q2 ，q3 就是 A 的列空间的一组标准正交基. 11 r α1 = q1 12 2 2 2 α q r q r 2 = 1 + 3 13 2 2 3 3 3 3 α q r q r q r = 1 + +               =  = 3 3 2 2 2 3 11 1 2 13 2 3 1 2 3 , , , , r r r r r r A q q q α α α 1

定理(QR分解若A是一秩为n的mxn阶矩阵,则A可以 分解为乘积QR,其中Q为列正交的mxn阶矩阵, R为对角线元素均为正的nXn阶上三角阵。 例中的QR分解为 24 1-2 「5-21 24 400 54-5

定理(QR分解) 若 A 是一秩为 n 的 m×n 阶矩阵，则A 可以 分解为乘积QR, 其中 Q 为列正交的m×n 阶矩阵， R 为对角线元素均为正的n×n 阶上三角阵。 ➢ 例中的 QR 分解为           − −                     − − − − =             − − − 2 4 1 5 2 1 5 1 5 2 5 4 5 2 5 4 5 2 5 2 5 1 5 2 5 4 5 2 5 1 4 0 0 2 4 2 2 0 1 1 2 1

超定方程组的最小二乘解给定一个mxn阶方程组AX=b, 其中m>n,这类方程组通常是不相容的。 只能期望找到一个近似解X,使得AX尽可能接近b 二者的残余误差 (residual最小r(X)=b-AX >即向量b和向量AX最接近,距离最小 Ir(X)=b-Ar=min 使得这个距离最小化的X”称为方程组的最小二乘解 令p=AX,p就是A的列空间中最接近b的向量 >如何寻找X?要用到子空间的直和、正交等概念 >结论:AX=b的最小二乘解是X=R1QTb

超定方程组的最小二乘解 给定一个 m×n 阶方程组AX=b， 其中 m> n，这类方程组通常是不相容的。 ➢ 只能期望找到一个近似解 X’，使得AX’ 尽可能接近b ➢ 二者的残余误差 (residual)最小 r(X') = b − AX' ➢ 即向量 b 和向量AX’ 最接近，距离最小 r(X') = b − AX' = min ➢ 使得这个距离最小化的X’ 称为方程组的最小二乘解. ➢ 令 p= AX’ ， p 就是 A 的列空间中最接近b 的向量. ➢ 如何寻找X’？要用到子空间的直和、正交等概念 ➢ 结论：AX=b 的最小二乘解是X’=R-1 QT b