复旦大学：《数学分析》讲稿_Euclid空间上微积分（高维微分学）_向量值映照微分学——隐映照定理应用（约束上最值问题）

高维微分学——隐映照定理的应用(约束上最值问题) 复旦力学谢锡麟 16年3月15日 知识要素 .1隐映照定理 定理1.1(隐映照定理).设有映照∫(x,y (,y):R" xR Dr×Dy3{a,y→f(x,y)∈ 满足 f(, y) f(x,y)=0∈Rn 2.彐 使得 D(0m)∈x(R;I)可逆, 则有 彐B(∞o)cD=,B1(3o)cDy,有c∈Bx(xo),3!yr∈B(yo)满足∫(x,y-)=0∈ 由此可作(x):B(x0)3x+(a)∈R",满足!s()∈B1(vo) f(x,∈(x)=0∈Rn (x)∈61(Bx(x0);R). 12约束上最值问题 考虑R中约束 ∑ ∈Rm|f(x) (c)=0∈R 对此,如有 ∑,其中,0∈Rr,∈Rm-r,满足

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——隐映照定理的应用（约束上最值问题） 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 隐映照定理 定理 1.1 (隐映照定理). 设有映照 f(x, y) f(x, y) : R m × R n ⊃ Dx × Dy ∋ {x, y} 7→ f(x, y) ∈ R n 满足: 1. f(x, y) ∈ C 1 (Dx × Dy; R n ); 2. ∃ (x0, y0 ) ∈ Dx × Dy 使得    f(x, y) = 0 ∈ R n , Dyf(x0, y0 ) ∈ L (R n ; R n )可逆, 则有 1. ∃ Bλ(x0) ⊂ Dx, Bµ(y0 ) ⊂ Dy, 有 ∀ x ∈ Bλ(x0), ∃ !yx ∈ Bµ(y0 ) 满足 f(x, yx ) = 0 ∈ R n , 由此可作 ξ(x) : Bλ(x0) ∋ x 7→ ξ(x) ∈ R n , 满足    ξ(x) ∈ Bµ(y0 ), f(x, ξ(x)) = 0 ∈ R n ; 2. ξ(x) ∈ C 1 (Bλ(x0); R n ). 1.2 约束上最值问题 考虑 R m 中约束 Σ =    x ∈ R m         f(x) =   f 1 . . . f r   (x) = 0 ∈ R r    , 对此, 如有 x0 = ( x˜0 xˆ0 ) ∈ Σ, 其中 x˜0 ∈ R r , xˆ0 ∈ R m−r , 满足 Dxˆf(x˜0, xˆ0) , D(f 1 , · · · , fr ) D(ˆx 1, · · · , xˆ r) (x˜0, xˆ0) = D(f 1 , · · · , fr ) D(xm−r+1, · · · , xm) (x˜0, xˆ0) ∈ R r×r 1

高维微分学——隐映照定理的应用(约束上最值问题) 谢锡麟 Bx(元0)×B(io) [BA(x0)×Bn(o)∩ (o) Ba(Eo) 图1:一般m-r维曲面的隐映照图像 非奇异,则彐B(0)cRm-r,B1(x0)CR,满足 v∈Bx(0),3!=()∈B4(xo),满足约束∫(,φ()=0∈R 隐映照定理结论的几何刻画,如图1所示.在局部柱体B(0)×B(o)CRm中,∑为隐映 照的图像 Ⅴ∈Bx(x0)}cRm φ() Rm空间上带有约束的最值问题,数学提法如下:对于目标函数(x)∈R,有约束 ∑={x∈Rmnf(x)= (c)=0∈R 现求x*∈∑,满足 0(x,)=sup(x)或者(a,)=infb(x) 按隐映照定理,在局部柱体BA(xo)×B2(xo)Rm中,Σ为隐映照的图像 v∈B(xo)}cRm φ() 由此,定义在约束∑上的目标函数θ(x)在局部等价于 (i)6(,o(),V,∈B(0)

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理的应用（约束上最值问题） 谢锡麟 X1 Xr Xr+1 , · · · , Xm O ( x˜0 ϕ(x˜0) ) ( x˜ ϕ(x˜) ) x˜ x˜0 Bλ(x˜0) Bλ(x˜0) × Bµ(xˆ0) [Bλ(x˜0) × Bµ(xˆ0)] ∩ Σ 图 1: 一般 m − r 维曲面的隐映照图像 非奇异, 则 ∃ Bλ(x˜0) ⊂ R m−r , Bµ(xˆ0) ⊂ R r , 满足 ∀ x˜ ∈ Bλ(x˜0), ∃ ! xˆ = ϕ(x˜) ∈ Bµ(xˆ0), 满足约束f(x˜, ϕ(x˜)) = 0 ∈ R r . 隐映照定理结论的几何刻画, 如图1所示. 在局部柱体 Bλ(x˜0) × Bµ(xˆ0) ⊂ R m 中, Σ 为隐映 照的图像 {( x˜ ϕ(x˜) )     ∀ x˜ ∈ Bλ(x˜0) } ⊂ R m. R m 空间上带有约束的最值问题, 数学提法如下: 对于目标函数 θ(x) ∈ R, 有约束 Σ =    x ∈ R m         f(x) =   f 1 . . . f r   (x) = 0 ∈ R r    , 现求 x∗ ∈ Σ, 满足 θ(x∗) = sup Σ θ(x) 或者 θ(x∗) = inf Σ θ(x). 按隐映照定理, 在局部柱体 Bλ(x˜0) × Bµ(xˆ0) ⊂ R m 中, Σ 为隐映照的图像 {( x˜ ϕ(x˜) )     ∀ x˜ ∈ Bλ(x˜0) } ⊂ R m. 由此, 定义在约束 Σ 上的目标函数 θ(x) 在局部等价于 ˜θ(x˜) , θ(x˜, ϕ(x˜)), ∀ x˜ ∈ Bλ(x˜0). 2

高维微分学——隐映照定理的应用(约束上最值问题) 谢锡麟 基于链式求导法则,其临界点方程为 DB(,)=D2O(,(,)+D(,(,)D(,) D(,d(,)+D(,以(,)[-(Daf)-1D月(近,以()=0 13 Lagrange乘子法 一般处理带有约束的最值问题,常采用 Lagrange乘子法,其系统化做法如下: 1.引入 Lagrange函数 L(,,A)会(,)+Af(正,)∈R 其中,A∈R为 Lagrange乘子; 2.确定 Lagrange函数的临界点,即DL(,,A,)=0∈R1x(m一r++,具体为 DL(,A)=D1(,,)+AD∫(,,)=0∈Rm-r, D2L(,A,)=D2B(,分,)+ADf(,,)=0∈Rr DxL(定*,,λ)=∫(,)=0∈R 上述第三组方程即为约束方程;结合第一组和第二组方程消去λ即得上述基于隐映照定理所得 的临界点方程 2应用事例 2.1约束最值问题 22利用约束最值获得不等式 3建立路径

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理的应用（约束上最值问题） 谢锡麟 基于链式求导法则, 其临界点方程为 D˜θ(x˜∗) = Dx˜θ(x˜∗, ϕ(x˜∗)) + Dxˆ(x˜∗, ϕ(x˜∗))Dϕ(x˜∗) = Dx˜θ(x˜∗, ϕ(x˜∗)) + Dxˆ(x˜∗, ϕ(x˜∗)) [ −(Dxˆf) −1Dx˜f ] (x˜∗, ϕ(x˜∗)) = 0. 1.3 Lagrange 乘子法 一般处理带有约束的最值问题, 常采用 Lagrange 乘子法, 其系统化做法如下: 1. 引入 Lagrange 函数 L(x˜, xˆ, λ) , θ(x˜, xˆ) + λ Tf(x˜, xˆ) ∈ R, 其中, λ ∈ R r 为 Lagrange 乘子; 2. 确定 Lagrange 函数的临界点, 即 DL(x˜∗, xˆ∗, λ∗) = 0 ∈ R 1×(m−r+r+r) , 具体为    Dx˜L(x˜∗, xˆ∗, λ∗) = Dx˜θ(x˜∗, xˆ∗) + λ T ∗ Dx˜f(x˜∗, xˆ∗) = 0 ∈ R m−r , DxˆL(x˜∗, xˆ∗, λ∗) = Dxˆθ(x˜∗, xˆ∗) + λ T ∗ Dxˆf(x˜∗, xˆ∗) = 0 ∈ R r , DλL(x˜∗, xˆ∗,λ∗) = f(x˜, xˆ) = 0 ∈ R r . 上述第三组方程即为约束方程; 结合第一组和第二组方程消去 λ 即得上述基于隐映照定理所得 的临界点方程. 2 应用事例 2.1 约束最值问题 2.2 利用约束最值获得不等式 3 建立路径 3