复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第一章 行列式 1.4 行列式按行（列）展开定理

线性代数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程糸 光华楼东主楼1109Te:65100226 liu@fudan.edu.cn

线 性 代 数 Linear Algebra Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn

§1.4行列式按行(列)展开定理 》如何简化行列式计算,将高阶行列式转换为低阶? 余子式与代数余子式 12 例如 421a2223 C1L2al2+a122a31+a122132 1a2342-4122143-1322 31 32 (a2a3-a23a2)+a2(a23a1-a1a23)+a1( 23 23 2 12 a 13 =a141+a12A1,+a1 A 13413 ueddndn00dnnndd000e0d00e000dnnn0d00d00I

§ 1.4 行列式按行(列)展开定理 如何简化行列式计算，将高阶行列式转换为低阶？ 如何简化行列式计算，将高阶行列式转换为低阶？ 一、余子式与代数余子式 一、余子式与代数余子式 11 23 32 12 21 33 13 22 31 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 例如 ( ) = a11 a22a33 − a23a32 ( ) + a12 a23a31 − a21a33 ( ) + a13 a21a32 − a22a31 31 32 21 22 13 31 33 21 23 12 32 33 22 23 11 a a a a a a a a a a a a a a = a − + 11 11 12 12 13A13 = a A + a A + a

也可以按列展开为: 12 12 2 22 32 33 32 23 32 ?可否用递归的方法,将n阶行列式展开为 12 1k41k 或

? 可否用递归的方法 可否用递归的方法, 将 n 阶行列式展开为 阶行列式展开为 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 21 22 2 11 12 1 ∑ ∑ = = = = n k k k n k k k n n nn n n a A a A a a a a a a a a a 或 L L L L L L L 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 22 23 12 13 31 32 33 12 13 21 32 33 22 23 11 a a a a a a a a a a a a a a = a − + = a11A11 + a21A21 + a31A31 也可以按列展开为： 也可以按列展开为：

定义15:在n阶行列式|A中,任意取定k行和k 列,位于这些行列交叉处的元素,按原位置所构成的k 阶行列式称为行列式|A的一个k阶子式,记为M。 口在|A中划去M所在的k行和k列,余下元素 按原位置所构成一个n-k阶行列式,称为k阶子式 M的余子式( algebraic cofactor),记为N。 例:|A的第1、3行 与第2、3列构成的二 rr…1 r4…15 阶子式为 q22 23 24 32 33° 3 43 52 53 M余子式为 41

定义1.5: 在 n 阶行列式|A|中，任意取定 k 行 和 k 列，位于这些行列交叉处的元素，按原位置所构成的 列，位于这些行列交叉处的元素，按原位置所构成的 k 阶行列式称为行列式 阶行列式称为行列式 |A|的一个 k 阶子式，记为 M 。 51 52 53 54 55 41 42 43 44 45 31 32 33 34 35 21 22 23 24 25 11 12 13 14 15 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A = 例: |A|的 第1、3行 与第 2、3 列构成的二 阶子式为 32 33 12 13 a a a a M = ‡ 在 |A|中划去 M 所在的 k 行 和 k 列，余下元素 按原位置所构成一个 按原位置所构成一个 n-k 阶行列式，称为 阶行列式，称为 k 阶子式 M 的余子式 (algebraic cofactor algebraic cofactor)，记为 N 。 51 54 55 41 44 45 21 24 25 a a a a a a a a a M 余子式为 N =

口设k阶子式M位于行列式的第i行,第i 行,…,第i行,与第i列,第j2列,…,第j 列,则称 +l2+…+lk+h1+/2+…J N 为k阶子式M的代数余子式 II 3 M.Q、、0 31…32…a 334 a an a as as as as a 53 例如M的代数余子式为(-1)+2+3N=-N

51 52 53 54 55 41 42 43 44 45 31 32 33 34 35 21 22 23 24 25 11 12 13 14 15 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A = 为 k 阶子式 M 的代数余子式 32 33 12 13 a a a a M = ‡ 设 k 阶子式 M 位于行列式的第 位于行列式的第 i1 行，第 i2 行，…，第 ik 行， 与 第 j1 列，第 j2 列，…，第 jk 列，则称 − N = −N 1+3+2+3 例如 M 的代数余子式为 的代数余子式为 ( 1) k k N i +i +L+i + j + j +Lj − 1 2 1 2 ( 1)

口在n阶行列式|A中,把元素an所在的行列划去 后,所得的n-1阶行列式(余子式),记作M,称 为元素a的代数余子式,记作A 11 例如:a23的余子式为 5;… 23 32 33 34a a 14 15 41 42 43a 44a C 42 44 524 5;4a5 a23的代数余子式为A23=(-1)2M23=-M23

51 52 53 54 55 41 42 43 44 45 31 32 33 34 35 21 22 23 24 25 11 12 13 14 15 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A = 为元素 aij 的代数余子式， 记作 Aij ‡ 在 n 阶行列式|A|中，把元素 aij 所在的行列划去 所在的行列划去 后，所得的 n-1 阶行列式(余子式)，记作 Mij ，称 例如: a23 的余子式为 i j i j M+ (−1) 51 52 54 55 41 42 44 45 31 32 34 35 11 12 14 15 23 a a a a a a a a a a a a a a a a M = a23 的代数余子式为 23 23 2 3 23 A = (−1) M = −M +

13 21 23 D 22 23E 31 349 32 34 41…(2…43…14 12 12 12 11 12 13 22 235 4=(-1)+M4=M4 31 32 行列式的每个元素分别对应着 一个余子式和一个代数余子

, 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = , 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 12 A 1 M+ = − . = −M12 , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( ) 1 . 44 44 4 4 A44 = − M = M + ¾ 行列式的每个元素分别对应着 行列式的每个元素分别对应着 一个余子式 和 一个代数余子。 一个代数余子

口一个n阶行列式|A|,如果其中第i行元素除 a外都为零,那末这行列式等于ag与它的代数 余子式的乘积,即 11 12 13 例如4 00 0 42a 43a4 (-)3a3a21a2a2

41 42 43 44 33 21 22 23 24 11 12 13 14 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a A = ( ) 1 . 41 42 44 21 22 24 11 12 14 33 3 3 a a a a a a a a a a + = − 例如 ‡ 一个 n 阶行列式|A|，如果其中第 i 行元素除 aij 外都为零，那末这行列式等于 外都为零，那末这行列式等于 aij 与它的代数 余子式的乘积，即 ij Aij A = a

证明:当a位于第一行第一列时 12 a 0 22 ∑(-1)k“”a 展开式每项都含有第一行的元素,第一行除 外均为零,故有 A=∑( ∑(-1) srLssuausBEsn 即有 a 又 11 ∑(-1) a, a 从而

n n nn n a a a a a a a A L L L L L L L 1 2 21 22 2 11 0 0 = 即有 . 11M11 A = a 又 ( ) 11 1 1 11 A 1 M+ = − , = M 11 从而 A = a11A11 证明：当 aij 位于第一行第一列时 位于第一行第一列时 = ∑ − = ∑ − n n n n n n j j j n j j j j j j n j j j A a a a a a a L L L L L L 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 11 1 11 2 (1 ) ( 1) ( 1) τ τ = ∑ − n n n j j j j j n j j j j n n nn n n a a a a a a a a a a a a L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1)τ ¾ 展开式每项都含有第一行的元素，第一行除 展开式每项都含有第一行的元素，第一行除 aij 外均为零，故有 外均为零，故有 = ∑ − = n n n j j j j j n j j j j n n nn n n a a a a a a a a a a a a M L L L L L L L L L L 2 3 2 3 2 3 2 3 ( ) 2 3 32 33 3 22 23 2 11 ( 1)τ

再证明an位于任意位置的情况,假设 把第i行依次与第il、第i2、….第行对换,得 0 0 LA=()-)a-1

把第 i 行依次与第 i-1 、第 i-2、… 第1 行对换，得 再证明 aij 位于任意位置的情况，假设 位于任意位置的情况，假设 n nj nn ij j n a a a a a a a A L L L L L L L L L L L L L L L L 1 11 1 1 = 0 0 ( ) n nj nn i i j i n ij i a a a a a a a A L L L L L L L L L L L L L L L L 1 1,1 1, 1, 1 0 0 1 − − − − = −