复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第一讲 线性方程组与矩阵——从线性方程组谈起（倪卫明）

线性方程组与矩阵

线性方程组与矩阵 倪卫明 第一讲 从线性方程组谈起

从线性方程组谈起 从方程组的解谈起, 例1:如方程组 -x1+3x2 方程组有唯一解(x1=3,x2=2)

从线性方程组谈起 从方程组的解谈起, 例 1: 如方程组: x1 − 2x2 = −1 −x1 + 3x2 = 3 x1 x2 −x1 + 3x2 = 3 x1 − 2x2 = −1 方程组有唯一解(x1 = 3, x2 = 2). 倪卫明 第一讲 从线性方程组谈起

从线性方程组谈起 例2: 例3 2r2 1 2x 1 x1+2x2= x1+2x2 方程组无解 方程组有无穷多解 从例21、2.2和2.3的线性方程组解的情况,会有怎样的结论?

从线性方程组谈起 例 2: x1 − 2x2 = −1 −x1 + 2x2 = 3 x1 x2 −x1 + 3x2 = 3 x1 − 2x2 = −1 方程组无解. 例 3: x1 − 2x2 = −1 −x1 + 2x2 = 1 x1 x2 方程组有无穷多解. 从例2.1、2.2和2.3的线性方程组解的情况, 会有怎样的结论? 倪卫明 第一讲 从线性方程组谈起

从线性方程组谈起 线性方程组的求解.依据下列基本事实 (1)等式两端同乘以或除以一个非零数常数后,还保持相等 (2)两个等式相加或相减后,得到的还是等式 (3)一个等式乘以某个常数后,与另一个等式相加或相减,得到 的还是等式 例4 2x2+x3 8,(2) 4x1+5x2+9x3 “4[方程(1)”得:4x1-8x2+4r3=0,(4) “[方程(4)+[方程(3)得:-3x2+13x3=-9,(5) “[方程(2)+[方程(5)得:x3=3,(6) 将得到的x3的解(6),回代到(2)得x2=16,在将它们回代到(1),得x1=

从线性方程组谈起 线性方程组的求解. 依据下列基本事实: (1) 等式两端同乘以或除以一个非零数常数后, 还保持相等. (2) 两个等式相加或相减后, 得到的还是等式. (3) 一个等式乘以某个常数后, 与另一个等式相加或相减, 得到 的还是等式. 例 4: x1 − 2x2 + x3 = 0, (1) 2x2 − 8x3 = 8, (2) −4x1 + 5x2 + 9x3 = −9, (3) “4·[方程(1)]” 得: 4x1 − 8x2 + 4x3 = 0, (4) “[方程(4)]+[方程(3)]” 得: −3x2 + 13x3 = −9, (5) “ 3 2 ·[方程(2)]+[方程(5)]”得: x3 = 3, (6). 将得到的x3的解(6), 回代到(2) 得 x2 = 16, 在将它们回代到(1), 得x1 = 29. 倪卫明 第一讲 从线性方程组谈起

从线性方程组谈起 方程组的另一种方式 例5: + a 3 令 1b a 112313 通过向量加法的平行四边形(或三角 形)原则确定变量x1,x2的解

从线性方程组谈起 方程组的另一种方式: 例 5: x1  1 −1  + x2  −2 3  =  −1 3  令 a =  1 −1  b =  −2 3  c =  −1 3  x1 x2 a x2a b x1b c 通过向量加法的平行四边形(或三角 形)原则确定变量x1, x2的解. 倪卫明 第一讲 从线性方程组谈起

从线性方程组谈起 例 ia+2b= c l11 b (2) 无穷多解 无解 (x1=2t+1,m2=t,t∈R) 由例24和25方程组解的情况,又会得出些什么结论?

从线性方程组谈起 例 6: x1a + x2b = c (1) a = " 1 −1 # , b = " −2 2 # c = " −1 3 # x1 x2 无解. (2) a = " 1 −1 # , b = " −2 2 # c = " −1 1 # x1 x2 a b c 无穷多解 (x1 = 2t + 1, x2 = t, t ∈ R). 由例2.4和2.5方程组解的情况, 又会得出些什么结论? 倪卫明 第一讲 从线性方程组谈起

矩阵 引入矩阵概念 定义21: 数域F中的m×n个数,排成m行n列的矩形数表 a11a12 amI (m2 称为数域F上的m行n列的矩阵,简称mxn矩阵,其中a(i=1,2,……,m; j=1,2,…,n)称为矩阵的第i行第j列的元素 本课程中无特殊说明,F取实数域R.常用Rm×n表示所有m×n矩阵的集合 如A∈Rmxn表示A是m×n实矩阵.有时,也用[ad]mxn表示mxn矩阵 其中a表示矩阵中的元素

矩阵 引入矩阵概念: 定义 2.1: 数域F中的m × n个数, 排成m行n列的矩形数表        a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 · · · amn        称为数域F上的m行n列的矩阵, 简称m × n矩阵, 其中 aij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) 称为矩阵的第i行第j列的元素. 本课程中无特殊说明, F取实数域R. 常用R m×n 表示所有 m × n 矩阵的集合. 如 A ∈ R m×n 表示 A是m × n实矩阵. 有时, 也用 [aij ]m×n 表示m × n矩阵, 其中 aij 表示矩阵中的元素. 倪卫明 第一讲 从线性方程组谈起

矩阵 °当m=1(或n=1)时,称为行(列)向量 当m=n=1时矩阵退化为R中的一个数 当m=n时,称为方阵,这时称n为矩阵的阶数 设A=]为n阶方阵,则元素an(=1,2,,m)称为对角 元,元素a(-1)(=2,3.…,n)或a (=1,2,,n-1)称为次对角元 若n阶方阵D除对角元外的所有元素均为零,则称D为对角 阵,可表示为D=diag(d1,d2,…,dn)

矩阵 当 m = 1(或 n = 1) 时, 称为行(列)向量. 当 m = n = 1 时矩阵退化为R中的一个数. 当 m = n 时, 称为方阵, 这时称n为矩阵的阶数. 设A = [aij ]为n阶方阵, 则元素aii(i = 1, 2, . . . , n)称为对角 元, 元素ai(i−1) (i = 2, 3, . . . , n) 或 ai(i+1) (i = 1, 2, . . . , n − 1) 称为次对角元. 若n阶方阵D 除对角元外的所有元素均为零, 则称D为对角 阵, 可表示为 D = diag (d1, d2, . . . , dn). 倪卫明 第一讲 从线性方程组谈起

矩阵 简单介绍运算、代数系统、域等概念 定义22 设F为给定的集合,F上的二元运算(用符号。表示)定义为 o:F×F+F 其中F×F为集合F的笛卡尔积,这个定义可以推广到n元运 算.若运算的结果还是F中的元素,则称运算是封闭的 运算性质的定义 可结合:Vx,y,z∈F有(xoy)oz=xo(yox) 可交换:Vx,y∈F有xoy=yox

矩阵 简单介绍运算、代数系统、域等概念. 定义 2.2: 设 F 为给定的集合, F 上的二元运算(用符号 ◦ 表示)定义为: ◦ : F × F 7→ F 其中 F × F 为集合 F 的笛卡尔积, 这个定义可以推广到 n元运 算. 若运算的结果还是 F 中的元素, 则称运算是封闭的. 运算性质的定义: 1 可结合: ∀x, y, z ∈ F 有 (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z). 2 可交换: ∀x, y ∈ F 有 x ◦ y = y ◦ x. 倪卫明 第一讲 从线性方程组谈起

矩阵 设。为集合F上的二元运算,关于运算o定义下列特殊元素 「定义23 Q若存在元素et∈F,使得任意的x∈F,有etox=x,则 称el为运算o的左单位元.类似地,若存在元素er∈F,使得任 意的x∈F,有xoer=x,则称er为运算o的右单位元 Q对元素x∈F,若存在∈F使得yox=et,则称y为x关 于运算o的左逆元类似地,若存在元素y使得xo孙=er,则 称y为x关于运算o的右逆元 性质 (1)若集合F上的二元运算。既存在左单位元e又存在右单位 元er则必有e=er=e,称e为运算o的单位元( identity) (2)若对某个元素x∈F,它既存在左逆元又存在右逆元y,则 必有=y=y,称y为x关于运算o的逆元( Inverse) 第一讲从线性方程组谈起

矩阵 设◦为集合F上的二元运算, 关于运算◦定义下列特殊元素: 定义 2.3: 1 若存在元素el ∈ F, 使得任意的x ∈ F, 有 el ◦ x = x, 则 称el为运算◦的左单位元. 类似地, 若存在元素er ∈ F, 使得任 意的x ∈ F, 有x ◦ er = x, 则称er为运算◦的右单位元. 2 对元素x ∈ F, 若存在yl ∈ F 使得 yl ◦ x = el , 则称yl为x 关 于运算◦的左逆元. 类似地, 若存在元素yr使得x ◦ yr = er, 则 称yr为x关于运算◦的右逆元. 性质: (1) 若集合F上的二元运算◦ 既存在左单位元el又存在右单位 元er, 则必有el = er = e, 称e为运算◦ 的单位元(identity). (2) 若对某个元素x ∈ F, 它既存在左逆元yl又存在右逆元yr, 则 必有yl = yr = y, 称y为x 关于运算◦的逆元(inverse). 倪卫明 第一讲 从线性方程组谈起