复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第四章 线性空间 4.3 欧几里得空间

(後只人季 43欧几里得空间

4.3 欧几里得空间

()後大手 欧氏空间的定义及其基本性质 欧氏空间上的内积的定义 定义4.7设V是实数域R上的一个线性空间,如果对 于V中任意两个向量a与β都有一个唯一的确定的实 数(用(a,B来表示)与它对应,且具有下列性质 (1)(a,B)=(,a); (2)(La,B)=λ(,B); (3)(a+β,y)=(a,y)+(,y) (4)(a,a)≥0,当且仅当a=0时(a,a)=0 这里a,B,y∈v,λ∈R,则称(a,B)为a与B的内积, 引入内积后的线性空间V称为欧几里得( Euclid)空间, 简称欧氏空间

一、欧氏空间的定义及其基本性质

(後只人季 例1在几何空间中规定内积为 (a,B)=a‖β‖cos a,β为几何空间向量 la‖,‖β‖表示向量长度 0为它们的夹角 这样规定的内积满足定义中的四个条件, 因此几何空间是一个欧氏空间

(後只人季 例2在线性空间Rn中,对于向量 1u2 n],B=[b1,b2,…,bn]1 常用如下的内积定义: (a,B)=a1b1+a2b2+…+anbn=aβ ·显然,这样规定的内积也满足定义47中的 四个条件,因而R构成一个欧氏空间

(後只人季 例3在线性空间C[ab]中,对于任意的两个 实函数f(x),g(x)∈C[a,b],定义内积 (,g= f(x)g(x)dx 则Ca,b]能够成一个欧氏空间

(後只人季 f,g)是一个实数,且有 f, g)=Sof(x)g(x)dx=o g(x)f(xdx=(g,f) (af, g)=af(x)g(xdx=af f(x)g(xdx ao, g f+g, h)=ff(x)+g(x)]h(x)dx o f(xh(xdx+f g(x)h(x)dx=(, h)+(g, h) 当f(x)≠0时,有(f=Jf(x)]2dx>0,当且仅当 ∫(x)=0时,有(,∫)=0. 其中f(x),g(x),h(x)∈Ca,b],λ∈R,故C[a,b] 对于定义的内积构成欧式空间

(後只人季 欢氏空间均为实线性空间 与向量的线性相关性、基、维数、坐标和子空间 等基本概念均适用于欧氏空间。 欧氏空间的一些基本性质 (0,a)=0 (a, kB)=(kB, a)=k(,a)=k(a, B (a,B+y)=(β+y,a)=(B,a)+(y,a) (a,B)+(a,y) 1lB1)=1E1k1(an月

(後只人季 二、向量的长度与夹角 定义4.8设a是欧氏空间V的一个向量,则非 负实数√a,a)称为向量a的长度,记为 al‖ 当且仅当=0时,有‖al-=0

二、向量的长度与夹角

(後只人季 类似于几何空间中向量的长度 lλa|=√Ac,a)=||a,a∈ V,∈R 长度为1的向量称为单位向量 若a≠0,则a称为把向量a单位化(或标 lall 准化)

(後只人季 向量的夹角 预备知识: 定理4.5柯西许瓦兹 Cauchy-Schwaz不等 式:对于欧氏空间V中任意两个向量a,β恒 有 a,B≤aⅢβ 当且仅当a,β线性相关时等式成立