复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第一章 行列式 1.5 克莱姆法则

线性代数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程糸 光华楼东主楼1109Te:65100226 liu@fudan.edu.cn

线 性 代 数 Linear Algebra Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn

§1.5克莱姆法则 ●主要应用:n元线性方程组的求解 aux,+a2x2+.+a,nx=b 对于n元线性方程组 a21x1+a2x2+.+a2mxn=b, ax, taxt.ta x=b 由其系数组成的n阶行列式称为方程组的系数行列式 瑞士数学家克莱姆(G. Cramer,1750) ,在其著作《线性代数分析导引》 中阐述:

§ 1.5 克莱姆法则 z 主要应用： n 元线性方程组的求解 对于 n 元线性方程组 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b L L L L L L L L L 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 由其系数组成的 n 阶行列式称为方程组的 阶行列式称为方程组的系数行列式 n n nn n n a a a a a a a a a A L L L L L L L 1 2 21 22 2 11 12 1 = 瑞士数学家克莱姆 瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer G.Cramer, 1750) , 1750) ，在其著作《线性代数分析导引 线性代数分析导引》 中阐述：

定理1.5:(克莱姆法则)若n阶线性方程组的系数行列 式|A|≠0,则它有惟一解 DX 其中|A(j=1,2,…,n)是将|A|中的第j列换成 常数列b1,b2,…,bn所得到的n阶行列式 12 表述-简洁自然 2 行列式与方程组解 的关系:存在性、唯 11 1,j+1 性 nl·a n,j-1

定理1.5: (克莱姆法则) 若 n 阶线性方程组的系数行列 式|A|≠0，则它有惟一解 ，则它有惟一解 , 1 1 A A x = , 2 2 A A x = . A A x n n = L , 其 中 |Aj|(j=1,2,…,n) 是 将 |A| 中的第 j 列换成 常数列 b1 , b2 ,…, bn 所得到的 n 阶行列式. n n j n n j nn j j n j a a b a a a a b a a A L L LLLLLLLLLLL L L 1 , 1 , 1 11 1, 1 1 1, 1 1 − + − + = n n n j nn j n b a a a b a a a A L L LLLLLLLLL L L 2 , 1 12 1, 1 1 = ¾ 表述-简洁自然 ¾ 行列式与方程组解 行列式与方程组解 的关系：存在性、唯 的关系：存在性、唯 一性

证明:先证x 是方程组的解 左边 a a 第i个方程 将A|按第j列展开为元素b1,b2,…,bn与其对应的 代数余子式的乘积之和 A1|=b1A1+b2421+…+bnA1n=∑ k=1 A2|=bA12+b242+…+bnA12=∑bAk2 原式 a, b,A+a>b,a k4k2+…+0i

证明: 先证 是方程组的解 ∑= = n j ij j a x i 第 个方程 1 左边 A A a A A a A A a n = i + i + L + in 2 2 1 1 , 1 1 A A x = , 2 2 A A x = A A x n L, n = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ + ∑ + + ∑ = = = n k in k kn n k i k k n k ai b k A k a b A a b A A 1 1 2 2 1 1 1 1 原式 L ¾ 将|A j|按 第 j列展开为元素 b1 , b 2 ,…, b n 与其对应的 代数余子式的乘积之和 代数余子式的乘积之和. ∑= = + + + = n k A b A b A b n A n b k A k 1 1 1 11 2 21 L 1 1 M L ∑= = + + + = n k A b A b A b n A n b k A k 1 2 1 12 2 22 2 2

a A,+∴+a.A 24k2 k n a, Ak+anAk2++ain Akm =A8, k 当k=i 0,当k≠ 左边 ∑bk|46k 故x1,x2…,xn是方程组的解

ik n k bk A A ∑ δ = = 1 1 左边 = bi ¾ 故 x1 , x2 ,…, xn 是方程组的解。 ⎩⎨⎧ ≠= + + + = = k i A k i ai Ak ai Ak ain Ak n A i k 当当 0 ,, 1 1 2 2 L δ ∑ ( ) = = + + + n k bk ai Ak ai Ak ain Ak n A 1 1 1 2 2 1 L

再证:方程组的解必为x1 x2 思路:将代数余子式看作具体数,利用定理13消元 (一列元素与不同列对应元素的代数余子式乘积之和为零) 用第一列元素的代数余子式依次乘以方程组的 n个方程,得: 14x1+a2A1x2+…+a1n41xn=bA1 21421+{a2A2x2+…+a2n141n=b2 HamAmi,=b,a, 再把n个方程依次相加,由定理13,仅x1的系数不为零,故 an141+a121+…+anAx=A1+b4+…+bn4n即:Ax=14 同理可证x2=21, 故当|A|≠0时,方程组 有且只有唯一解

⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ + + + = + + + = + + + = 1 1 1 2 1 2 1 1 21 21 1 22 21 2 2 21 2 21 11 11 1 12 11 2 1 11 1 11 n n n n nn n n n n n n n n a A x a A x a A x b A a A x a A x a A x b A a A x a A x a A x b A L LLLLLLLLLLLL L L 再把 n 个方程依次相加，由定理1.3，仅 x1 的系数不为零，故 再证：方程组的解必为 , 1 1 AA x = , 2 2 AA x = AA x n L, n = ¾ 思路：将代数余子式看作具体数，利用定理1.3 消元 (一列元素与不同列对应元素的代数余子式乘积之和为零) 11 11 1 21 21 1 n1 n1 1 b1A11 b2A21 bnAn1 a A x + a A x +L+ a A x = + +L+ A 1 A1 即： x = ¾ 同理可证 , 2 2 AA x = AA x n L, n = ¾ 故当|A|≠0时，方程组 有且只有唯一解. ¾ 用第一列元素的代数余子式依次乘以方程组的 n个方程，得：

X 例:用克菜姆法则2x-5x28 求解方程组 +2x,+2x1=-5 x1-7x2+4x3+6x4=0 解:首先计算系数行列式 27≠0 0-122 1-746 81A2 27 0-746 046 由克莱姆法则x

例：用克莱姆法则 求解方程组 解:首先计算系数行列式 27 0 1 7 4 6 0 1 2 2 2 5 1 1 1 0 3 6 = ≠ − − − − − A = 81 0 7 4 6 5 1 2 2 8 5 1 1 9 0 3 6 1 = − − − − − − A = ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ − + + = − + + = − − + + = − − = 7 4 6 0. 2 2 5 2 5 8 3 6 9 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 27, L 1 0 4 6 0 5 2 2 2 8 1 1 1 9 3 6 2 = − − − − A = ¾ 由克莱姆法则 3, 1 1 = = AA x 1, 2 2 = = − AA x 1. 4 4 = = AA x L

例:求通过四点(1,3)、(2,4)、(3,3)、(4,-3) 的曲线y=a0+a1x+a2x2+ax3 Matlab解 解:这是一个曲线拟合问题,由题意 +a1+a2+a2=3 ao+2a1+4a2+8a3=4 a+3a1+9a2+27a3=3 an+4a1+16a2+64a2=-3 41664 系数行列式为 (4-3)(4-2)4-1)(3-2)(3-1)(2-1) 12≠0 A|=364=-184|=244|=-6 ∴a0=3a1=-3/2a2=2a3=-12

例：求通过四点(1, 3)、 (2, 4)、 (3, 3)、 (4, -3) 的曲线 y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 解：这是一个曲线拟合问题，由题意 解：这是一个曲线拟合问题，由题意 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ + + + = − + + + = + + + = + + + = 4 16 64 3 3 9 27 3 2 4 8 4 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 a a a a a a a a a a a a a a a a 系数行列式为 11 1 1 12 4 8 1 3 9 27 1 4 16 64 A = = (4 3)(4 2)(4 1)(3 2)(3 1)(2 1) − − −− −− =12 ≠ 0 A1 = 36 A2 = −18 A3 = 24 A4 = −6 ∴a0 = 3 3/ 2 a1 = − 2 a2 = a3 = −1/ 2 Matlab 解

例用克莱姆法则解方程组 2x1+x2-5x3+x4=8 3x2-6x4=9, 2x2-x3+2x4=-5 x1+4x2-7x3+6x4=0 解 07 30-6 2 72 4-76

例 用克莱姆法则解方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1 − − − − − A = 1 2 2 r − r 4 2 r − r 0 7 7 12 0 2 1 2 1 3 0 6 0 7 5 13 − − − − −

7-513 +2c 2-12 33 27 +2C 7-712 7-7 7 2x1+x2-5x3+x4=8 81-51 x1-3x2-6x4= 2x2-x3+2x4=-5 81 x1+4x2-7x2+6x4=0 52-12 28-5 A1=-27 108 A=27 0-76 81 108 3,x2 27 27 x3

7 7 12 2 1 2 7 5 13 − − − = − 1 2 2 c + c 3 2 2 c + c 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − − − − − 7 2 3 3 − − − = = 27, 81 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1 = − − − − − − A = 108 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2 = − − − − − − A = A 3 = −27 A 4 = 27 3, 27 1 81 ∴ 1 = = = A A x 4, 27 2 108 2 = − − = = A A x 1, 1. x3 = − x4 = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x