复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第四章 线性空间与欧氏空间 §4.2 基、维数和坐标 §4.3 欧几里德（Euclid）空间

线性代数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程条 光华楼东主楼1109Te:65100226 liu@fudan.edu.cn

线 性 代 数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn

第四章线性空间与欧氏空间 、线性空间的定义 区设V是一个非空集合,如果它的任意元素: (1)对加法与数量乘法两种运算封闭; (2)满足以下8种运算规律(公理) (1)a+B=B+a(2)(+B)+y=a+(B+y) (3)a+0=a (4)a+(-a)=0 ()k(a+B)=ka+ kB (6)(k+l) a=ka+ la (7(kla=k(la) (8)I·a=a

第四章 线性空间与欧氏空间 一、线性空间的定义  设 V 是一个非空集合，如果它的任意元素： (1) 对加法与数量乘法两种运算封闭； (2) 满足以下 8 种 运算规律(公理) (1)  +  ＝  +  (2) ( +  ) +  ＝  + (  +  ) (3)  + 0 ＝  (4)  + (－ ) ＝ 0 (5) k ( +  ) ＝ k + k (6) ( k + l )  = k + l (7) ( k l )  = k ( l ) (8) 1· = 

1.凡满足以上八条运算规律的加法及数乘运算, 称为线性运算 2.判别线性空间的方法:一个集合,它如果 对于加法及数乘运算不封闭(不满足闭包性) 或者,不满足八条运算性质的任一条 则不能构成线性空间. 人们经常把线性空间称为向量空间 把线性空间中的元素称为向量

2 ．判别线性空间的方法：一个集合，它如果 1． 凡满足以上八条运算规律的加法及数乘运算， 称为线性运算． ➢ 对于加法及数乘运算不封闭(不满足闭包性)； ➢ 或者，不满足八条运算性质的任一条； 则不能构成线性空间． ➢ 人们经常把线性空间称为向量空间 ➢ 把线性空间中的元素称为向量

子空间的概念(线性空间局部与整体的关系) 区_定义4,2:设W是数域P上线性空间V的 一个子集,若满足条件: (1)W是非空的; (2)如果a,β∈W,则a+β∈W; (3)如果a∈W,λ∈P则a∈W; 那么W是V的一个子空间

二、子空间的概念 (线性空间局部与整体的关系)  定义 4.2: 设 W 是数域 P 上线性空间 V 的 一个子集，若满足条件： (1) W 是非空的； (2) 如果α，β∈ W， 则α+β∈ W； (3) 如果α∈ W， λ∈ P 则 λα∈ W； 那么 W 是 V 的一个子空间

●生成元(子空间自成体系) >设a,a2.n是数域P上线性空间V中的一组向量, 考虑这组向量所有可能的线性组合所组成的集合 >是V的一个子空间,称它为部a2-n生的 1+2a2+…+a1(x∈P,i=1,2, 张成的子空间( generated/ spanned by…),记为: L(C1,a2…1)={∑a|4∈P 或 Span(a1a2…a1)=∑1∈P 向量组a1a2,an称为此子空间的生成元( generator

⚫ 生成元 (子空间自成体系) ➢ 设α1, α2, ..., αn 是数域 P 上线性空间 V 中的一组向量， 考虑这组向量所有可能的线性组合所组成的集合 ( , 1,2, , ) 1 1 2 2 P i l  +   ++ l l i  =  ➢ 是V的一个子空间，称它为由α1, α2, ..., αn 生成/ 张成的子空间 (generated/spanned by …) ，记为：       =   = L i P l i   l i i  1 1 2 ( , ,, ) ➢ 向量组α1, α2, ..., αn 称为此子空间的生成元 (generator).       =   = i P l i   l i i  1 1 2 或 Span( , ,, )

§4.2基、维数和坐标 区定义4.3:线性空间V中向量组:1,2,…,En 如果它满足条件: (1)s12,…,n线性无关; (2)线性空间V中任一向量a都可经e E2,…,n线性表示 则称此向量组是线性空间V的一个基( basis) 定义4,4:如果线性空间V的一个基所含向量 个数为n,则称V为n维空间,记为dimV=n

§4.2 基、维数和坐标  定义 4.3: 线性空间 V 中向量组 ε1 , ε2 , ..., εn ， 如果它满足条件： (1) ε1 , ε2 , ..., εn线性无关； (2) 线性空间 V 中任一向量α都可经ε1 , ε2 , ..., εn线性表示. 则称此向量组是线性空间 V 的一个基 (basis).  定义 4.4: 如果线性空间 V 的一个基所含向量 个数为 n,则称 V 为 n 维空间， 记为 dim V = n

定理4,2:设a1a2a1是n维线性空间V中 l个向量,在V中取定一个基ε1,e2,,en 如果a;在此基下的坐标为 ](j=1,2,…,D 则向量组ap,a2,∴,ar线性相关的充分必 要条件是矩阵「a1a12 1l 21 的秩rA<1 2 线性无关的充要条件是r=l.→稍后用到 由向量组坐标矩阵的秩→判定其线性相关性

定理 4.2: 设α1, α2, ..., αl 是 n 维线性空间 V 中 l 个向量，在 V 中取定一个基ε1,ε2,...,εn ， 如果 αj 在此基下的坐标为 [ , , , ] ( 1,2, , ) 1 2 j l T  j  j  n j =  则向量组 α1，α2 ，...,αl 线性相关的充分必 要条件是矩阵             = n n nl l l A                 1 2 21 22 2 11 12 1 的秩 rA< l . 线性无关的充要条件是 rA= l.  稍后用到 ➢ 由向量组坐标矩阵的秩  判定其线性相关性

向量的坐标 区定义4.5:设向量组e1,e2,,en是n维 线性空间V的一个基,a是V中任意一个向量, 则有 =x1E1+x2E2+…+xn2En 称数组x,x2…,xn为向量a在基 e1,e2,3,en下的坐标( coordinates), 记为[x,x2,…,xn]T 任意一个向量a在一个确定的基下的坐标 是唯一的

二、向量的坐标  定义 4.5: 设向量组 ε1,ε2,...,εn 是 n 维 线性空间 V 的一个基，α是 V 中任意一个向量， 则有 n n  = x  + x  ++ x  1 1 2 2 称数组 x1 , x2 ,…, xn 为向量 α 在基 ε1,ε2,...,εn下的坐标(coordinates) ， 记为 [x1 , x2 ,…, xn ] T ➢ 任意一个向量 α在一个确定的基下的坐标 是唯一的

区行空间和列空间的概念(补充) 矩阵Am×n可以看作由行向量列向量构成 定义:由A的行向量张成的子空间为A的行空间 ( row space);由A的列向量张成的子空间为A的 列空间( column space A的行空间为如下形式 例设A 010 a,0,0)+B0,1,0=(a,B,0 C A的列空间为 0 A的行列空间的维数为矩阵的秩 A的行空间维数=列空间维数

 行空间和列空间的概念(补充) ➢ 矩阵Am×n 可以看作由行向量/列向量构成. 定义: 由A的行向量张成的子空间为A的行空间 (row space)；由A的列向量张成的子空间为A 的 列空间(column space). 例 设       = 0 1 0 1 0 0 A ➢ A 的行空间为如下形式 （1，0，0）+ （0，1，0）=（，，0） ➢ A 的列空间为       =      +      +           0 0 1 0 0 1 ➢ A 的行/列空间的维数为矩阵的秩. ➢ A 的行空间维数= 列空间维数

区用行/列空间的概念研究线性方程组 R(4mxn)={x|x∈R"≤Rm 系数矩阵A的列空间 >方程组AX=b可以写作 11 12 21 22 +X2:+…+n b m2 定理:(线性方程组相容)AX=b相容的充要条件 是b在A的列空间中,或A的列空间包含b

 用行/列空间的概念研究线性方程组 ➢ 方程组 A X = b 可以写作             =             + +             +             m n m n n n m m b b b a a a a a a a a a      2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 x1 x x 定理: (线性方程组相容) A X = b 相容的充要条件 是 b 在 A 的列空间中，或A的列空间包含 b . ➢ R(Amn ) = {Ax | x  Rn }  Rm —— 系数矩阵 A 的 列空间