复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第四章 线性空间 4.4 子空间的交、和、直和及正交

(後只人季 44子空间的交、和、直和及正交

4.4 子空间的交、和、直和及正交

(後只人季 、子空间的交与和 °定义413设W1,W2是线性空间v的两个子 空间,则W1与W2的交是 1∩W2={a|c∈W1,a∈W2 W1与W2的和是 1+W2={a+Ba∈W1,B∈W2

一、子空间的交与和

(後只人季 定理49如果W1,W2是线性空间V的子空间则 W1∩W2,W1+W2都是V的子空间. 证明:(1)W1∩W2是V的子空间: 因为0∈W1,0∈W2,得0∈W1∩W2故W1∩W2是非 空的; 设a,B∈W1∩W2,则a,B∈W1且a,B∈W2 故a+β∈W1且a+B∈W2,于是有 a+B∈W1∩W2 W1∩W2对加法封闭; 对任意λ∈P,Aa∈W1且λa∈W2,于是有 λa∈W1∩W 1 2 W1∩W2对乘法封闭 综上,根据定理41知W1∩W2是v的子空间

(後只人季 (2)W1+W2是V的子空间: 因为0∈W1,0∈W2,得0∈W1+W2故W1+W2是非空 的 设a,B∈W1+W2,则有 c=a1+a2,a1∈W1,a2∈W2 β=B1+B2,B1∈W1,B2∈W2 由于W1,W2是v的子空间,从而 1+1∈W1,a2+2∈W2 于是 a+β=(a1+a2)+(B1+B2)=(a1+B1)+(a2+B2) 所以 a+β∈W1+W2 W1+W2对加法封闭;

(後只人季 对于任意λ∈P有 λc1∈W1,λa2∈W2 于是 λa=A(a1+a2)=λc1+Ac2∈W1+W2 W1+W2对乘法封闭 综上,根据定理4.1知W1+W2是V的子空间 证毕

(後只人季 例1在线性空间R3中,若用 Rxy表示向量[x,y0]的全体; Ry2表示向量0,y,z]的全体 R2表示向量[0,0,z的全体 则易知R,Rv2,R2都是R3的子空间,并且 Rxy nyz=O,y,O Ri Ryt ru= r R 3 xy t r R R∩R={0 Rw∩R y2 R

(後只人季 例2设a1,a2,…,a1与β1,B2,…,B是线性空间V的两 个向量组,则有 L(a1,a2,…,a1+L(B1,f2,…,月s)= L(a1,a2,…,C,B1,B2,…,Bs) ·证明: 设L(a1,a2,…,1)=W1sv L(β1,B2,…,Bs)=W2sv L(a1,a2,…,a,B1,B2,…,Bs)=W3sv 因为对于W1+W2中任一向量η=a+β,我中 a∈W1,B∈W2,所以a,β都属于W3,即 =a+B∈W3 故W1+W2sW3

(後只人季 另一方面,W3中的任一向量 η=λ1a1+λ2a2+…+λat+1B1+p2B2+…+pss 其中∈P,(=12,…Lj=1,2,s) 记 101 +λ 2u2 +…+a1cn∈W β=1B1+p262+…+{53Bs 2 即有 η=a+B∈W1+W2 故W3W1+W2 于是就证明了 (a1,a2…,a1)+L(B1,B2,…,Bs) L(a1,a2,…,aL,B1,B2,…,Bs) 证毕

(後只人季 子空间交与和的性质 设W1,W2,W3是V的子空间则满足一下运 算规律 (1)交换律 V1∩W,=W,∩W 1 2 2 W1+W2=W2+W1 (2)结合律 (W1nW2)∩W3=W1n(W2∩W3) (W1+W2)+W3=W1+(W2+W3)

(後只人季 定理410(维数公式)设W1,W2是线性空间V的子空 间,则 dimWit dimW2 dim(w1+w2)+dim (win w2) 证明: 设dimW1=m1,dimW2=n2,dimW1∩W2)=m 取W1∩W2的一个基y1,y2,…,ym 因为W1∩W2sW1故可扩充成W1的一个基 y1,y2,…,ym,1,C2,…,cn1-m 同理可由它扩充到W2的一个基 y1,y2,…ym,B1,B62,…,61 n2-m