复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）1.2 n阶行列式的定义

(後只人季 1.2n阶行列式的定义

1.2 n阶行列式的定义

(後只人季 、n级排列及奇偶性 二、三阶行列式展开式的规律 三、n阶行列式的定义

一、n级排列及奇偶性 二、三阶行列式展开式的规律 三、n阶行列式的定义

(後只人季 、n级排列及奇偶性 定义1.1 由数1,2,…,n组成的一个有序数组,称为一个 n级排列 由1,2,…,n所组成的所有不同的n级排列共有n! 个.12…n是唯一的一个按从小到大次序组 成的排列,称为n级标准排列 例如,3级排列共有6个不同的排列,即 123231312 132213321 其中123是3级标准排列

一、n级排列及奇偶性 定义1.1 由数1,2,…,n组成的一个有序数组，称为一个 n级排列. 由1,2,…,n所组成的所有不同的n级排列共有n! 个. 1 2 … n是唯一的一个按从小到大次序组 成的排列,称为n级标准排列. 例如,3级排列共有6个不同的排列，即 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 其中1 2 3是3级标准排列

(後只人季 定义12 在一个排列中,对任何两个数i和j,若 有i>j,而i位于j的前面时,则称i,j构 成一个逆序.一个排列中逆序的总数, 称为此排列的逆序数,n级排列 i1,i2…in的逆序数,记作τ(i1,i2…in) 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆 序数为奇数的排列称为奇排列

定义1.2 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆 序数为奇数的排列称为奇排列

(後只人季 例1在3级排列312中,3与1构成逆序,这 是因为3>1,但3在1的前面,同理3与2 构成逆序,而1与2不构成逆序,因此其 逆序数τ(321)=2,这是一个偶排列 例2(1)(3142)=2+0+1=3,所以314 2是一个奇排列. (2)r(24315)=1+2+1+0=4,所以 24315是一个偶排列 (3)r(12…n)=0,标准n级排列是偶排列

例 1 例 2

(後只人季 定义13 将一个排列中某两个数的位置互换而其 余的数不动,就得到另一个排列,这种 对排列的变换方法称为对换 例如,排列2413经过2与3兑换后,就得 到排列3412;排列32415经过2与1兑换 后,就得到排列31425 由计算逆序数可知,奇排列2413变成了 偶排列3412;而偶排列32415却变成了 奇排列31425

定义1.3 将一个排列中某两个数的位置互换而其 余的数不动，就得到另一个排列，这种 对排列的变换方法称为对换. 例如，排列2413经过2与3兑换后，就得 到排列3412；排列32415经过2与1兑换 后，就得到排列31425. 由计算逆序数可知，奇排列2413变成了 偶排列3412；而偶排列32415却变成了 奇排列31425

(後只人季 定理11任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性 证明设排列为 对换a与b a1… a ab b…bn . a, ba b..b 除a,b外,其它元素的逆序数不改变 当a<b时, 经对换后a的逆序数增加1,b的逆序数不变;

证明 设排列为 a1 al ab b1 bm a1 al ba b1 bm 除 a,b 外，其它元素的逆序数不改变. 经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变; 当 a  b 时， 定理1.1 任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性

(後只人季 当a>b时 经对换后a的逆序数不变,b的逆序数减少1 因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性 设排列为a1…amb… b bc1…cn 现来对换a与b

当 a  b 时， 经对换后 a 的逆序数不变， b 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 l m n a a ab b bc c 1 1 1 现来对换 a 与 b

(後只人季 2 bCl m次相邻对换 bb,…b m+1次相邻对换 1…a1b1…bnac1…Cn b,…b.be 2m+1次相邻对换 a1…a1bb1…bnac1…cn 所以一个排列中的任意两个元素对换,排列改变 奇偶性

m 次相邻对换 l m n a a ab b  b c c 1 1 1 m + 1 次相邻对换 l m n a a b b b a c c 1 1 1 , 1 l 1 m 1 n  a a ab b bc c 2m +1 次相邻对换 , 1 l 1 m 1 n a a bb b ac c 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. l m n a a a b b b c c 1 1 1

()後大手 二、三阶行列式展开式的规律 三阶行列式 2 0123+a1212331+a132132 21 22 23 6 31 32 33 13{2131-a12332-a12213 规律 (1)三阶行列式是行列式中取自不同行、不同 列的三个元素乘积的代数和(共有3!=6项)

三阶行列式 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 α α α α α α α α α 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 = a a a + a a a + a a a 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 − a a a − a a a − a a a 规律 （1）三阶行列式是行列式中取自不同行、不同 列的三个元素乘积的代数和（共有3!=6项） 二、三阶行列式展开式的规律 (2.6)