复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）子空间的交、和与直和

线性代数 子空间的交、和与直和 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-5-9

线性代数 子空间的交、和与直和 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-5-9

设W1,W2都是线性空间V的子空间,则其交( intersection定义为 W1∩W2={x|x∈W1,x∈W2} 两个线性空间的交一定为线性子空间

• 设W1,W2都是线性空间V的子空间，则其交(intersection)定义为 • 两个线性空间的交一定为线性子空间。 {x | , } W1 ∩W2 = x ∈W1 x ∈W2 2

线性子空间的和 两个线性子空间的交是线性子空间,但两个线性子空间 的并集一般不是线性子空间。 设∈1=(1,0,0)′,∈2=(0,1,0) W=L(e1)UL(e2)不是R3的线性子空间。 (∈1,∈2∈W但∈1+∈2gW.) 从几何上看,L(∈1与L(∈2)分别是R3的两条坐标轴, 由它们可以确定xOy平面,即2维的线性子空间,该平面就 称为L(∈1)与L(∈2)的和。 命题2.1。设W1,W2是线性空间V的两个线性子空间,则集合 W={a1+a2|a1∈W1,2∈W2} oro 也是一个线性子空间, 称为W1与W2的和,记为W1+W2 10:34 线性空间与欧几里得空间

线性子空间的和 两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间 的并集一般不是线性子空间。 10:34 线性空间与欧几里得空间 3 则集合 也是一个线性子空间， proof

线性子空间的和 例子:在R3中,设W1是通过原点的直线, W2是过原点且与W1垂直的平面, 则W1∩W2={(0,0,0)}=0(零子空间), W1+W2=R3 从线性子空间的和的定义很容易看出 (1)交换律:W1+W2=W2+W1 (2)结合律:W1+(W2+W3)=(W1+W2)+W3 (3)多个子空间的和 m+W2+…+Wm={∑aaeW 10:34 线性空间与欧几里得空间

线性子空间的和 从线性子空间的和的定义很容易看出： 10:34 线性空间与欧几里得空间 4 (3) 多个子空间的和：

线性子空间的和的维数 先看K4中的两对子空间的和 1)W1=L(1,0,0,0),(0,1,0,0)7) W2=L(0,0,1,0),(0,0,0,1)), 2)V1=L(1,0,0,0)1,(0,1,0,0)7) V2=L((0,0,1,0),(1,1,0,0)7) 以上4个线性子空间都是2维的 W1+W2=K4的维数是4 1+V2=L(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))的维 数是3. 分析发现,W1与W2的交集是零子空间 ∽1与V2的交是1维子空间,比较大,导致了其和比较小。 10:34 线性空间与欧几里得空间

线性子空间的和的维数 10:34 线性空 间与欧几里得空 间 5 以上 4 个 线性子空 间都是 2 维 的

线性子空间的和的维数(理论结果) 命题22设a1,,as与β1,,Bt是V的两个向量组,则 as)+L(1,…,t)=L(a1,…,as,β1,…,βt) 引理2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩 充成该子空间的一组基。 proof 定理24(维数公式)设W1与W2是V的两个子空间,则有 dim W1+dim W2= dim(W1+W2)+dim(WinW2) oro 推论2.5设W1,W2,,Wm是V的线性子空间,则有 dm(W1+…+Wm)≤∑ dim Wi 10:34 线性空间与欧几里得空间

线性子空间的和的维数(理论结果 ) 引理 2.3: 线性子空 间中的 线性无关的向量 组可以被 扩 充成 该子空 间的一 组基。 proof proof 10:34 线性空 间与欧几里得空 间 6 proof

线性子空间的和的求法:例子 设V=K4,W1=L(a1,a2,a3),W2=L(B1,B2),其中 a1=(1,2,-1,-3),a2=(-1,-2,2,1),a3=(-1,-3,0,5) B1=(-1,0,4,-2),β2=(0,5,9,-14) 求W1+W2与W1∩W2的基和维数。 分析:W1+W2=L(01,02,3,β1,B2) a1,a2,a3,β1,β2的极大线性无关组就是W1+W2的一组基 A=(01,2,a3,B1,B2) 初等行变换 简化行阶梯形矩阵 主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组 对于a∈W1∩W2,存在xt,i=1,,5,使得 a=X1a1+X2a2+x303=-X4月1-X562, 即x1a1+x2a2+x303+X4B1+x52=0 10:34 线性空间与欧几里得空间

线性子空间的和的求法：例子 10:34 线性空 间与欧几里得空 间 7 主元所在的列对应的向量 组就是一个极大 线性无关 组

线性子空间的和的求法:例子 1-1-1-10 10-20-1 2 1-30 5 01-10-3 A 12049等行变换 00014 315-2-14 00000 →a1,a2,β1是W1+W2的一组基,且dm(W1+W2)=3 →a1,a2是W1的一组基,且dmW1=2 →β1,B2是W2的一组基,且dimW2=2 对于a∈W1∩W2,存在ⅹ;,i=1,,4,使得 a=x1a1+X202=-X361-X4B2 即×1a1+x2a2+x31+x4B2=0-41+B2 (4,5,-7,-6) 基础解系:1=(1,3,-4,1) 是W1∩W2的一组基 10:34 线性空间与欧几里得空间

线性子空间的和的求法：例子 10:34 线性空 间与欧几里得空 间 8 基 础解系:

线性子空间的直和:定义 下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形--值和 定义:设W1与W2是∨的两个线性子空间.如果对a∈W1+ W2,表示式 a=01+a2,ai∈W;i=1,2, 是唯一的,则称W1+W2为W1与W2的直和,记为W1EW2 说明:W1+W2是直和的充分必要条件是a1+a2=0, G∈W,i=1,2只有在a全为零时才成立 必要性是显然的,下证充分性 假设a∈W1+W2有两个分解式 a=a1+a2=1+B2,B∈W,i=1,2 则有(a1-β1)+(a2-B2)=0,其中a-B∈W,i=1,2 由条件有a1-β=0,i=1,2,即ai=B 10:34 线性空间与欧几里得空间

线性子空间的直和: 定义 下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形----直和. 10:34 线性空间与欧几里得空间 9 必要性是显然的, 下证充分性

线性子空间的直和,补子空间 定理26。设W1与W2是V的两个线性子空间,则下列结论等价 (1)W1+W2是直和; 2)W1∩W2={0}; (3)dim(Wi+W2)=dim W1+dim W2 roof 定理27。设W是线性空间的一个线性子空间,那么存 在V的线性子空间U使得 V=W⊕U. 线性子空间U称为W的补子空间。 roof 10:34

线性子空间的直和，补子空间 proof 10:34 10 proof