复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第三章 线性方程组 3.4 线性方程组解的结构

(後只人季 34线性方程组解的结构

3.4线性方程组解的结构

齐次线性方程组的基础解系 考虑:齐次线性方程组AX=0 接下来:用向量线性相关性理论来研究它的解。 定理39设X12X2…X都是齐次线性方程组的 解,则其线性组合也是齐次线性方程组的解(也 称解向量)。 证明从略 已知AX1=0,(i=1,2,…,s) 则有A(k1K1+k2X2+…+ksXs)=0

一 .齐次线性方程组的基础解系 考虑：齐次线性方程组 AX = 0 ,  =    ij m n A a =  1 2 , , , ,  T X x x xn 接下来：用向量线性相关性理论来研究它的解。 1 2 , , , X X X s

定义38设X12X2…,X,是齐次线性方程组的 组解向量,若它满足条件: (1)线性无关; (2)齐次线性方程组的任意一组解都能表示为 X. X X,的线性组合,则称Ⅺ1X2…,X1 为齐次线性方程组的基础解系 基础解系的存在性: 定理3.10齐次线性方程组有非零解时,一定有 基础解系,且基础解系含有η一F个解,其中n 是未知量的个数,r是系数矩阵的秩

定义3.8 设 是齐次线性方程组的一 组解向量，若它满足条件： 1 2 , , , X X Xt （1）线性无关； （2）齐次线性方程组的任意一组解都能表示为 的线性组合，则称 为齐次线性方程组的基础解系。 1 2 , , , X X Xt 1 2 , , , X X Xt 基础解系的存在性： 定理3.10 齐次线性方程组有非零解时，一定有 基础解系 ，且基础解系含有 个解，其中 是未知量的个数， 是系数矩阵的秩。 n r − n r

改写(211)通解为向量形式 1 「C1r+1 C 1r+2 CIn C2r+1 C2r+2 .c 2n x rr+1 C rr+2 … rn r+1 0 r+2 10:0 1 C00:1 将等式右边的n-T个元向量记为X1,X2,…,Xn-r 则齐次线性方程组的通解可表示为 X=tiX1+ t2X2+.+ tn-rXn-r 其中t1,t2,…,tn-r是任意常数

容易得到X1,X2,…,Kn-为齐次线性方程组的解。 且矩阵[X1X2…Xn]中最后n-r行是一个单 位矩阵,因此矩阵[X1X2…Xn]的秩为n-r 因此X1,X2,…,Kn-线性无关。且由上式可知齐次 线性方程组的任意解都可以表示为X1,X2,…,Xn-r 的线性组合,因此X1,X2,…,Xnr为方程组的基础 解系,且含有n-r个解 由基础解系的定义可知,任意两个基础解系是等价 线性无关向量组。根据定理3.6推论2,它们所含向 量个数相等,所以齐次线性方程组AX=0的任一基 础解系所含解的个数都是n-r个

由定理的证明可以得出求齐次线性方程组基础解 系的方法: (1)求齐次线性方程组的通解; (2).再分别另n-个任意常数为(43式中的n-F 组数,就可以得到n-个解,这就是所求的基 础解系。 注意:只需所取的一F组数构成的n一F阶行 列式不等于零,就保证相应得到的n-个解线 性无关,这样就能保证得到基础解系

由定理的证明可以得出求齐次线性方程组基础解 系的方法： (1).求齐次线性方程组的通解； (2).再分别另 个任意常数为(4.3)式中的 组数，就可以得到 个解，这就是所求的基 础解系。 n r − n r − n r − 注意：只需所取的 组数构成的 阶行 列式不等于零，就保证相应得到的 个解线 性无关，这样就能保证得到基础解系。 n r − n r − n r −

例1求解齐次线性方程组的基础解系 x1+x2-3x4-x=0 x2+2x3-x4=0 x1-2x2+6x3+3x4-4x5=0 4. 2x1+4x2-2x3+4x4-7x5=0 解将系数矩阵进行初等行变换 110-3-1 0-3 1-12-10行变换0-222 记 A B 00|0-31 24-24-7 00000 化简B,使它1,2,3行;1,3,5列的三阶子 阵为单位阵

例1 求解齐次线性方程组的基础解系 1 2 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 0 2 0 4 2 6 3 4 0 2 4 2 4 7 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x  + − − =   − + − =  − + + − =    + − + − = 解 将系数矩阵进行初等行变换 1 1 0 3 1 1 1 2 1 0 4 2 6 3 4 2 4 2 4 7 A   − −   − −   =   − −     − − 行变换 1 1 0 3 1 0 2 2 2 1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0   − −   −     −     记 B 化简 ，使它1，2，3行；1，3，5列的三阶子 阵为单位阵。 B

110-60 110-60 R+0-22501/2·R0-115/20 B R2R000-31 000-31 00000 得到齐次线性方程组的通解: t1+6t 4 x= 3t t1-5/2t 12 t基础解系 令:4 =3t2xs5=3t2 2

B R R 1 3 + 2 3 R R- 2 1/ 2• R 1 1 0 6 0 0 2 2 5 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0   −   −     −     1 1 0 6 0 0 1 1 5 / 2 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0   −   −     −     得到齐次线性方程组的通解： 1 1 2 2 1 3 1 2 6 5 / 2 x t t x t x t t  = − +   =   = − 4 2 5 2 3 x t x t  =   = 令： 4 2 5 2 3 x t x t  =   = 4 2 5 2 3 x t x t  =   = 基础解系 1 2 1 12 1 0 1 5 , . 0 2 0 6 X X     −         = =     −                

例2设A为m×n矩阵,且〃4=1,求证:必存在 个秩为n-r的n×(n-r)的矩阵B,使AB=0 证明:考虑齐次线性方程组AX=0 由定理3.10可知,必存在基础解系,且含有 n-r个解,设X12X2…2Xn为其基础解系。 令:B=(X12X2,…Xn) 显然:B是一个n-F的矩阵,秩为n×(n-r) 且AB=A(X1,X2,…,Xn) (AX1,AX2…;AXn) 0 证毕

例2 设A为 矩阵，且 ，求证：必存在 一个秩为 n r − 的 的矩阵B，使 m n A r r = n n r  − ( ) AB = 0. 证明：考虑齐次线性方程组 AX = 0 A r r =  由定理3.10可知，必存在基础解系，且含有 n r − 个解，设 为其基础解系。 令： B X X X = ( 1 2 , , , n r − ) 1 2 , , , X X X n r − 显然： B 是一个 n r − 的矩阵，秩为 n n r  − ( ) 且 AB A X X X = •( 1 2 , , , n r − ) = ( AX AX AX 1 2 , , , n r − ) = 0 证毕

非齐次线性方程组解的结构 考虑:非齐次线性方程组AX=b 23 b n1× 对应的齐次线性方程组AX=0 定理311若X0是方程组AX=b的一个特定的解( 般称为特解),Y是相应齐次线性方程组AX=0的通 解,则方程组AX=b的通解为: Ⅹ=X+Y

二.非齐次线性方程组解的结构 考虑：非齐次线性方程组 AX b = ,  =    ij m n A a =  1 2 , , , ,  T X x x xn 对应的齐次线性方程组 AX = 0 =  1 2 , , ,  T b b b bm 定理3.11 若 是方程组 的一个特定的解（一 般称为特解）， 是相应齐次线性方程组 的通 解，则方程组 的通解为： X0 AX b = Y AX = 0 AX b = X X Y = +0