复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第二讲 矩阵的初等变换

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换 倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换

利用矩阵变换求解线性方程组 对线性方程组的矩阵形式:Ax=b定义增广矩阵 A=[Ab 求解方法由消元法转变到对增广矩阵的操作,下面列出消元法步 骤与相应的矩阵变换 消元法 矩阵变换: (1)交换两个等式位置 (1)交换矩阵的某两行 (2)某等式两端同乘非零常数.(2)对矩阵某行数乘非零常数 (3)两个等式相加 (3)将矩阵的某行加到另一行 (4)将某个等式乘以非零常数,(4)将矩阵的某行数乘一个非 加到另一个等式 零常数,加到另一行

利用矩阵变换求解线性方程组 对线性方程组的矩阵形式: Ax = b 定义增广矩阵 A = £ A b ¤ 求解方法由消元法转变到对增广矩阵的操作, 下面列出消元法步 骤与相应的矩阵变换: 消元法: (1) 交换两个等式位置. (2) 某等式两端同乘非零常数. (3) 两个等式相加. (4) 将某个等式乘以非零常数, 加到另一个等式. 矩阵变换: (1) 交换矩阵的某两行. (2) 对矩阵某行数乘非零常数. (3) 将矩阵的某行加到另一行. (4) 将矩阵的某行数乘一个非 零常数, 加到另一行. 倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换

利用矩阵变换求解线性方程组 例1:考虑下列线性方程组的解 2x1 6x2+8x3 x+4x3=6 6x1+2x2 矩阵形式 62-6 增广阵 2-684 A

利用矩阵变换求解线性方程组 例 1: 考虑下列线性方程组的解: 2x1 − 6x2 + 8x3 = 4 (1) −x1 − x2 + 4x3 = 6 (2) 6x1 + 2x2 − 6x3 = −8 (3) 矩阵形式:   2 −6 8 −1 −1 4 6 2 −6     x1 x2 x3   =   4 6 −8   增广阵 A =   2 −6 8 4 −1 −1 4 6 6 2 −6 −8   倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换

利用矩阵变换求解线性方程组 消元法 对矩阵的变换 (1)式(1)两端同乘常数05得式(4) (1)矩阵第一行数乘常数05 (2)将式(4)加到等式(2)得式(5) (2)第一行加到第二行 (3)等式(4)乘-6加到(3),得式(6) (3)第一行数乘-6加到第三行 x1-3x2+4x3 2(4) -4x+8x=8(5) 0-4 x-30x (4)式(5)两端同乘0.25得(7) (4)矩阵第二行数乘常数-0.25 (5)式(7)两端同乘-20加到(6)得式() (5)第二行数乘-20加到第三行 x1-3x2+4x=2(4) 1-342 01-2-2 20(8) 001020

利用矩阵变换求解线性方程组 消元法 (1) 式(1)两端同乘常数0.5得式(4). (2) 将式(4)加到等式(2)得式(5). (3) 等式(4)乘−6加到(3), 得式(6). 对矩阵的变换: (1) 矩阵第一行数乘常数0.5. (2) 第一行加到第二行. (3) 第一行数乘−6加到第三行. x1 −3x2 +4x3 = 2 (4) −4x2 +8x3 = 8 (5) 20x2 −30x3 = −20 (6)   1 −3 4 2 0 −4 8 8 0 20 −30 −20   (4) 式(5)两端同乘−0.25得(7). (5) 式(7)两端同乘−20 加到(6)得式(8). (4) 矩阵第二行数乘常数−0.25. (5) 第二行数乘−20加到第三行. x1 −3x2 +4x3 = 2 (4) x2 −2x3 = −2 (7) 10x3 = 20 (8)   1 −3 4 2 0 1 −2 −2 0 0 10 20   倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换

利用矩阵变换求解线性方程组 (6)式(8)两端同乘01得(9) (6)矩阵第三行数乘常数01 (7)式(9)两端同乘-4加到(4)得式(10).(7)第三行数乘-4加到第一行 (8)式(8)两端同乘2加到(7)得式(1 (8)第三行数乘2加到第二行 x1-3x (10) 1-30-6 0102 2(9) 0012 (9)式(11)两端同乘3加到(10)得(12) (9)第二行数乘3加到第一行 (12) 00|0 2(11) 0102 x3=2(9) 0012

利用矩阵变换求解线性方程组 (6) 式(8)两端同乘0.1得(9). (7) 式(9)两端同乘−4 加到(4)得式(10). (8) 式(8)两端同乘2 加到(7)得式(11). (6) 矩阵第三行数乘常数0.1. (7) 第三行数乘−4加到第一行. (8) 第三行数乘2加到第二行. x1 −3x2 = −6 (10) x2 = 2 (11) x3 = 2 (9)   1 −3 0 −6 0 1 0 2 0 0 1 2   (9) 式(11)两端同乘3加到(10)得(12). (9) 第二行数乘3加到第一行. x1 = 0 (12) x2 = 2 (11) x3 = 2 (9)   1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 1 2   倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换

利用矩阵变换求解线性方程组 例2:求解方程组 5x 2x2= 4x1 3x2+2x3=6 2x2+x= 矩阵形式 5 4-32 1-21 增广矩阵:

利用矩阵变换求解线性方程组 例 2: 求解方程组: 5x2 − 2x3 = 2 (1) 4x1 − 3x2 + 2x3 = 6 (2) x1 − 2x2 + x3 = 1 (3) 矩阵形式:   0 5 −2 4 −3 2 1 −2 1     x1 x2 x3   =   2 6 1   增广矩阵:   0 5 −2 2 4 −3 2 6 1 −2 1 1   倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换

利用矩阵变换求解线性方程组 消元法 矩阵变换 (1)交换等式(1)与(3) (1)交换第一与第三行 x1-2x2+x 4x1-3x2+2x=6(2) 05-22 (2)-4乘等式(1)加到(2) (2)第一行数乘-4加到第二行 2x2+x=1(4) 5x2 -2x2 2

利用矩阵变换求解线性方程组 消元法: (1) 交换等式(1)与(3). 矩阵变换: (1) 交换第一与第三行. x1 −2x2 +x3 = 1 (1) 4x1 −3x2 +2x3 = 6 (2) 5x2 −2x3 = 2 (3)   1 −2 1 1 4 −3 2 6 0 5 −2 2   (2) −4乘等式(1)加到(2). (2) 第一行数乘−4加到第二行. x1 −2x2 +x3 = 1 (4) 5x2 −2x3 = 2 (5) 5x2 −2x3 = 2 (6)   1 −2 1 1 0 5 −2 2 0 5 −2 2   倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换

利用矩阵变换求解线性方程组 (3)等式(6)减去等式(5) (3)第三行减去第二行 4)等式(5)两端乘2/5加到式(4).(4)第二行数乘2/5加到第一行 5)等式(5)两端乘1/5 (5)第二行数乘1/5 (7 01/59/5 2 9-52-50 01-2/52/5 0000 (9) x3可以取任意实数t,得 11 9-52

利用矩阵变换求解线性方程组 (3) 等式(6)减去等式(5). (4) 等式(5)两端乘2/5加到式(4). (5) 等式(5)两端乘1/5. (3) 第三行减去第二行. (4) 第二行数乘2/5加到第一行. (5) 第二行数乘1/5. x1 + 1 5 x3 = 9 5 (7) x2 − 2 5 x3 = 2 5 (8) 0 = 0 (9)   1 0 1/5 9/5 0 1 −2/5 2/5 0 0 0 0   x3可以取任意实数t, 得: x1 = 9 5 − 1 5 t x2 = 2 5 + 2 5 t x3 = t 倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换

利用矩阵变换求解线性方程组 例3:求解方程组 3x2 6x3 6x4+3x5=-5 3x1-7x2+8x 5x4+8x5 3x1-9x2+12x 增广矩阵: 03-663-5 3-78-589 3-912-9615

利用矩阵变换求解线性方程组 例 3: 求解方程组: 3x2 − 6x3 + 6x4 + 3x5 = −5 3x1 − 7x2 + 8x3 − 5x4 + 8x5 = 9 3x1 − 9x2 + 12x3 − 9x4 + 6x5 = 15 增广矩阵:   0 3 −6 6 3 −5 3 −7 8 −5 8 9 3 −9 12 −9 6 15   倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换

利用矩阵变换求解线性方程组 3-912-96|15 3-912-9615 03-663|-5 3-912-9615 5 2-6→0 -221-3 1-34-325 10-235-4 221-3 01-221-3 000004 0000 还原成方程组 2x3+3x4+5x4 x2-2x3+2x4+1x5=-3

利用矩阵变换求解线性方程组     0 3 −6 6 3 −5 3 −7 8 −5 8 9 3 −9 12 −9 6 15     →     3 −9 12 −9 6 15 3 −7 8 −5 8 9 0 3 −6 6 3 −5     →     3 −9 12 −9 6 15 0 2 −4 4 2 −6 0 3 −6 6 3 −5     →     1 −3 4 −3 2 5 0 1 −2 2 1 −3 0 3 −6 6 3 −5     →     1 −3 4 −3 2 5 0 1 −2 2 1 −3 0 0 0 0 0 4     →     1 0 −2 3 5 −4 0 1 −2 2 1 −3 0 0 0 0 0 4     还原成方程组 x1 −2x3 +3x4 +5x4 = −4 x2 −2x3 +2x4 +1x5 = −3 0 = 4 方程组无解. 倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换