复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第三章 线性方程组 3.1 消元法

(後只人季 第三章 线性方程组

第三章 线性方程组

引言 线性方程组的一般形式: =b1 21x1+a2x2+…+a2nxn=b2 amIX+am2x2+.+amn,=b 简记为:∑anx1=b,(=1,2,…,m) J- 线性方程组的矩阵形式:AX=b 其中,A=[a]n,x=[x,x2…,xn],b=[b,b2…,bn]y A:系数矩阵A=[A,b]:.增广矩阵,与方程组一一对应

引言 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2  + + + =   + + + =     + + + = n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b • 线性方程组的一般形式： 简记为： 1 , ( 1, 2, , ) =  = = n ij j i j a x b i m • 线性方程组的矩阵形式： AX b = 其中， ,  =    ij m n A a =  1 2 , , , ,  T X x x xn =  1 2 , , ,  T b b b bm A：系数矩阵 A A b = [ , ]：增广矩阵，与方程组一一 对应

(後只人季 31消元法

3.1 消元法

分析:用消元法解下列方程组的过程 例求解线性方程组 x,+2x2+x,-4x,= ①×(-2)-×(-3) 2x1+5x2+x3-5x4=3,② 3x1+5x,+4x2-15x1=2③ 解 x+2x2+x3-4x4=1, ④+①×(-2) ④ ③+①×(-3) 2-x3+3x4=1, x. tx-3x

分析：用消元法解下列方程组的过程． 例 求解线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 1, 2 5 5 3, 3 5 4 15 2,  + + − =   + + − =   + + − = x x x x x x x x x x x x 1 2 3 解  −( 2) +  −( 3) + 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4 1, 3 1, 3 1,  + + − =   − + =   − + − = − x x x x x x x x x x 4 1 5  −( 3) 1 3 2 +  −( 2) + 1

x1+2x2+x3-4x4=1,① +3x4=1 x+x,-3 x+2x2+x3-4x4=1, ⑤+④ x-x2+3x,=1 ④×(-2) 0=0 ①+④×(2 x+x3-10x4 +3x1=1 化简x+x3-10x4=-1 x,+3x1=1

1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4 1, 3 1, 3 1,  + + − =  − + =  − + − = − x x x x x x x x x x 41 5 + 5 + 4 1 2 3 4 2 3 4 2 4 1, 3 1, 0 0,  + + − =  − + =  = x x x x x x x 14 +  −( 2) 1 + 4  −( 2) 1 3 4 2 3 4 10 1, 3 1,  + − = −  − + = x x x x x x 6 4 1 3 4 2 3 4 10 1, 3 1,  + − = −  − + = x x x x x x 化简

任意取定X3,XA(未知自变量,得到方程组的通解: x,=-1-3t,+10t x2=1+1-3 (其中t1,t2为任意常数) 4 小结:消元法解线性方程组的常用变换(变换可逆,不会改变同解性) 1互换两个方程位置 (与G相互替换) 2以不等于零的数乘以某个方程 (以⑦×k替换⑦) 3某个方程加上另一个方程的k倍 (以⑦×k①替换⑦)

任意取定 x x 3 4 , (未知自变量),得到方程组的通解： 1 1 2 2 1 2 3 1 4 2 1 3 10 1 3  = − − +   = + −  =    = x t t x t t x t x t （其中 t 1 ,t 2 为任意常数） 小结：消元法解线性方程组的常用变换（变换可逆，不会改变同解性）： 1.互换两个方程位置 （ i 与 j 相互替换） 2.以 不等于零的数乘以某个方程 3.某个方程加上另一个方程的k倍 （以 i  k 替换 i ） （以 i  k j 替换 i ）

因为在上述变换过程中,仅仅只对方程组的系数和常 数进行运算,未知量并未参与运算 若记 121-41 B=[Ab]=251-53 354-152 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组唯 对应的增广矩阵)的变换

因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常 数进行运算，未知量并未参与运算． 若记 1 2 1 4 1 [ ] 2 5 1 5 3 3 5 4 15 2   −   = = −       − B A b 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组唯一 对应的增广矩阵）的变换．