复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第三章 线性方程组 3.2 线性方程组的一般理论

(後只人季 32线性方程组的一般理论

3.2线性方程组的一般理论

回顾:线性方程组AX=b a]n,x=[x1x2…x],b=[bn,b2…bn] 当b≠0,AX=b称为非齐次线性方程组 当b=0,AX=0称为齐次线性方程组 通常称线性方程组有解为相容,无解为不相容 ●这一节将考虑线性方程组相容的充要条件,以及当 相容时方程组有唯一解还是无数解

回顾：线性方程组 AX b = ,  =    ij m n A a =  1 2 , , , ,  T X x x xn =  1 2 , , ,  T b b b bm 当 b  0, AX b = 称为非齐次线性方程组 当 b = 0, AX = 0 称为齐次线性方程组 通常称线性方程组有解为相容，无解为不相容 ⚫ 这一节将考虑线性方程组相容的充要条件，以及当 相容时方程组有唯一解还是无数解

非齐次线性方程组解的研究 定理3.1n元线性方程组相容的充分必要条件是 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。 证必要性.设方程组Ax=b有解, 设1< 则A的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程0=1, 这与方程组有解相矛盾.因此,FA=

一 .非齐次线性方程组解的研究 定理3.1 n元线性方程组相容的充分必要条件是 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。 证 必要性．设方程组 Ax = b 有解, 则 的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０＝１， 这与方程组有解相矛盾. A  A 设 r r A A = A 因此， r r

充分性设:A=7=F 则A的行阶梯矩阵中含个非零行, 把这r行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 其余n-r个作为自由未知量, 并令n-r个自由未知量全取0, 即可得方程组的一个解 证毕

并令n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 充分性. 证毕 其余 n − r 个作为自由未知量, 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, r 设： A A r r = = r 则 A 的行阶梯矩阵中含 r 个非零行

小结 分Ax=b无解 HA=1==n分Ax=b唯一解 A=h=F<n分Ax=b有无穷多解. 相容线性方程组解法: 设 对增广矩阵A进行适当的初 等行变换。找出不等于零的阶子式,并使对 应的r阶子式变为单位阵,这样的方程组与原方 程组同解

小结：  Ax = b有唯一解  Ax = b有无穷多解. r r A  A  Ax = b无解 A = A r r = = r n A A r r = = r n 相容线性方程组解法： 设 ，对增广矩阵 进行适当的初 等行变换。找出不等于零的 阶子式，并使对 应的 阶子式变为单位阵，这样的方程组与原方 程组同解。 A A r r = = r A r r

例1求解线性方程组 x1-x+4x2+3X,=1 2x1+7x2+x3-x4=2 x1+8x2-3x3-4x4=3 解对增广矩阵A进行初等变换 1-143 R2-2R 1431 A=271-12 09-7-70 8-3-43/8-R 7-72 1431 R2 09-7-70 3≠F4=2,方程组不相容

例1 求解线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 3 1 2 7 2 8 3 4 3 x x x x x x x x x x x x  − + + =   + + − =   + − − = 解 对增广矩阵 A 进行初等变换 1 1 4 3 1 2 7 1 1 2 1 8 3 4 3 A   −   = −     − −   1 1 4 3 1 0 9 7 7 0 0 9 7 7 2   −   − −     − −   1 1 4 3 1 0 9 7 7 0 0 0 0 0 2   −   − −       2 1 R R − 2 R R 3 1 − R R 3 2 − r r A = 3 =2, A 方程组不相容

例2求解线性方程组 x,-x+2x,=1 2 3x,-x+5x,=3 2x1-2x2-3x3=4 解对增广矩阵A进行初等变换,化为阶梯形矩阵 R2-R 1-121 R3-3R0 31 A 3-153 R4-2R 02 2-2-34 00

例2 求解线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 3 5 3 2 2 3 4 x x x x x x x x x x x x  − + =   − − =  − + =    − − = 解 对增广矩阵 A 进行初等变换，化为阶梯形矩阵 1 1 2 1 1 2 1 2 3 1 5 3 2 2 3 4 A   −   − −   =   −     − − 3 1 R R −3 4 1 R R − 2 R R 2 1 − 1 1 2 1 0 1 3 1 0 2 1 0 0 0 7 2   −   −     −     −

R+2R013-1R-R (-1)·R200-7 2(-1)R30o7-2 00-72 0000 > B 3,故方程有唯一解。 化简B,使它左上角三阶子阵为单位阵: R1-2/7R3 011/7 10010/7 R-3/7R010-1/7R-R010-1/7 B 1/7R|00 2/7(-1)R001-2/7 0000 0000 故方程有唯一解:x1=10/7,x2=-17,x3=-2/7

3 1 R R + 2 2 ( 1) − • R 1 1 2 1 0 1 3 1 0 0 7 2 0 0 7 2   −   −     −     − R R 4 3 − 3 ( 1) − • R 1 1 2 1 0 1 3 1 0 0 7 2 0 0 0 0   −   −     − −     记 B 3, A A r r = = 故方程有唯一解。 化简 B ，使它左上角三阶子阵为单位阵： B 2 3 R R −3/ 73 1/ 7 • R 1 3 R R − 2 / 7 1 1 0 11/ 7 0 1 0 1/ 7 0 0 1 2 / 7 0 0 0 0   −   −     −     R R 4 3 − 3 ( 1) − • R 1 0 0 10 / 7 0 1 0 1/ 7 0 0 1 2 / 7 0 0 0 0     −     −     故方程有唯一解： 1 2 3 x x x = = − = − 10 / 7, 1/ 7, 2 / 7

可以看出:当=P=F,位于不等于零的r阶子 式所在的行所对应的r个方程构成的线性方程组的 必满足其余的m-r个方程。 例3求解线性方程组 x1+x3-x4-3x +2x 4x1+6x2-2x3-4x4+3x5=7 2x,-2x+4x,-7x,+4x=1 解对增广矩阵A进行初等变换,化为阶梯形矩阵 1-3-2 12-10-11 A 46-2-437 2-24-741

可以看出：当 位于不等于零的 阶子 式所在的行所对应的 个方程构成的线性方程组的 必满足其余的 个方程。 , A A r r = = r r r m r − 例3 求解线性方程组 1 3 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 2 2 1 4 6 2 4 3 7 2 2 4 7 4 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x  + − − = −   + − − =  + − − + =    − + − + = 解 对增广矩阵 A 进行初等变换，化为阶梯形矩阵 1 0 1 1 3 2 1 2 1 0 1 1 4 6 2 4 3 7 2 2 4 7 4 1 A   −−−   − − =     − −     − −

1-3-2 化简02-2123 记 0|001-3-2 B 0|00000 4==3<5故方程有无数解 化简B,使它1,2,4列的三阶子阵为单位阵: R+R102205512·R01-105/25/2 B. RR0001-3-2 0001-3-2 000000 000000

化简 1 0 1 1 3 2 0 2 2 1 2 3 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0   − − −   −     − −     记 B 3 5, A A r r = =  故方程有无数解。 化简 B ，使它1，2，4列的三阶子阵为单位阵： B R R 1 3 + 2 3 R R- 2 1/ 2• R 1 0 1 0 6 4 0 2 2 0 5 5 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0   − −   −     − −     1 0 1 0 6 4 0 1 1 0 5 / 2 5 / 2 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0   − −   −     − −    