复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第二章 矩阵（2/3）§3 逆矩阵 §4 矩阵分块法

六、共轭矩阵 当A=(an)为复矩阵时,用an表示a的共轭复数, 记A=(an),A称为A的共轭矩阵 conjugate matrix) 运算性质 (设A,B为复矩阵,A为复数,且运算都是可行的) A+B=atB (2)AA=λA (3)AB=AB

（设A，B 为复矩阵，λ 为复数，且运算都是可行的）： 六、共轭矩阵 运算性质 当 为复矩阵时 当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数， 记 ， 称为 的共轭矩阵(conjugate matrix). ( ) A a = ij ij a ij a ( ) A a = ij A A （设A，B 为复矩阵，λ 为复数，且运算都是可行的）： (2 ; ) λ λ A A = (3 . ) AB A B = (1 ; ) A B A B + = +

§3逆矩阵

§3 逆矩阵

矩阵与复数相仿,有加、减、乘三种运算 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢? 这就是本节所要讨论的问题 ·这一节所讨论的矩阵,如不特别说明,所指的都是n阶方阵. 对于n阶单位矩阵E以及同阶的方阵A,都有 AE=EA=C 从乘法的角度来看,n阶单位矩阵E在同阶方阵中的地位类 似于1在复数中的地位.一个复数a≠0的倒数a1可以用等式 aa-1=1来刻划.类似地,我们引入

•矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. •矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？ •这就是本节所要讨论的问题. •这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵. 从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地位类 似于 1 在复数中的地位． 一个复数 a ≠ 0的倒数 a－1可以用等式 a a－1 = 1 来刻划. 类似地，我们引入 对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有 A E E A A n n n n n = =

定义:n阶方阵A称为可逆的,如果有n阶方阵B,使得 ABE BA= E 这里E是n阶单位矩阵 根据矩阵的乘法法则,只有方阵才能满足上述等式 对于任意的n阶方阵A,适合上述等式的矩阵B是唯 一的(如果有的话) 定义:如果矩阵B满足上述等式,那么B就称为A的逆矩阵, 记作A-1

定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得 这里 E 是 n 阶单位矩阵. AB BA E = =
根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式.
对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）. 定义： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵， 记作 A－1

下面要解决的问题是: 在什么条件下,方阵A是可逆的? 如果A可逆,怎样求A-1?

下面要解决的问题是： •在什么条件下，方阵 A 是可逆的 ？ •如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？

结论:AA=AA=AE,其中 nI 22 12 nI 2 l 定理:若A≠0,则方阵A可逆,而且元票的代 数余击式 A 位于第j行第i 列 推论:着A≠0,则A A

11 12 1 21 22 2 n n a a a a a a A a a a       =       LL L L L L L 11 21 1 * 12 22 2nn A A A A A A A A A A       =       LL L L L L L 结论： ，其中 * * AA A A A E = =| | n n nn 1 2 a a a   L   A A A 1 2 n n nn L 定理：若 ， | | 0 A ≠ ，则方阵A可逆，而且 1 * 1 . | | A A A − = 推论：若 ， | | 0 A ≠ ，则 . 1 1 | | | | A A − = 元素 的代 数余子式 位于第 j 行第 i 列 ij a Aij

例:求二阶矩阵A 的逆矩阵 1(d-b ad-bcl-c a

例：求二 阶 矩 阵 的逆矩 阵. a b A c d   =     1 1 d b A ad bc c a −   − =   − − 

22 例:求3阶方阵A=315的逆矩阵 323 解:|A|=1,M1=-7,M12=-6,M1=3 M,1=4,M2=3,M,2=-2 M31=9,M32=7,M3=-4, 则 22 M M 21 31 7 M 22 2 63-7 M-M 23

例： 求 3 阶 方 阵 的逆矩 阵. 2 2 1 3 1 5 3 2 3 A     =       解：| A | = 1， 11 12 13 21 22 23 31 32 33 7, 6, 3, 4, 3, 2, 9, 7, 4, M M M M M M M M M = − = − = = = = − 31 32 33 = = = − 则 11 21 31 1 * * 12 22 32 13 23 33 1 | | A A A A A A A A A A A A A −     = = =       11 21 31 12 22 32 13 23 33 M M M M M M M M M   −   = − −     −   7 4 9 6 3 7 3 2 4   − −   = −       −

A|≠0 方阵A可逆 此时,称矩阵 A为非奇异矩 定理:若方阵A可逆,则|A|≠0 容易看出:对于n阶方阵A、B,如果 AB=E 那么A、B都是可逆矩阵,并且它们互为逆矩阵

| | 0 A ≠ 方阵A可逆 此时，称矩阵 A为非奇异矩 阵 1 * 1 | | A A A − = 容易看出：对于n 阶方阵A、B，如果 AB E = , 那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵. 定理：若方阵A可逆，则 | | 0 A ≠ ．

推论:如果n阶方阵A、B可逆,那么43A(≠0) 与AB也可逆,且 (4-) (4)-=(A (A) (AB)=BA

推论： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 、 、 与AB也可逆，且 1 1 ( ) , A A − − = 1 A− T A λ λ A( 0) ≠ 1 1 ( ) ( ) , T T A A − − ( ) ( ) , A A = 1 1 1 ( ) , λA A λ − − = 1 1 1 ( ) . AB B A − − − =