复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（习题解答与试题）2011线性代数期终试卷A

复旦大学计算机科学技术学院 《线性代数》期终考试试卷 (A卷)共7页 课程代码:COMP120004.02 考试形式:闭卷 2011年6 月 (本试卷答卷时间为120分钟,答案必须写在试卷上,做在草稿纸上无效) 专业 学号 姓名 成绩 题一三四五六 总分 得分 、n+1阶行列式计算:(共20分,每小题10分) 线 ) A 内不要答题 第1页

第 1 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 复 旦 大 学 计 算 机 科 学 技 术 学 院 《线性代数》期终考试试卷 （A 卷）共 7 页 课程代码：COMP120004.02 考试形式：闭卷 2011 年 6 月 （本试卷答卷时间为 120 分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效） 专业 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 一、 ｎ+1 阶行列式计算： （共 20 分，每小题 10 分） （1） n x x x An  −      −  −   = 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(2)Bn=(0 axa.a 、假设A,B为n阶矩阵,且+AB可逆,其中ln为n阶单位阵,证明:n+BA也可逆, 求(ln+BA)(14分) 第2页

第 2 页 （2） a a a x a a x a a x a a a a a a B n n n n          = 0 1 2 0 1 0 2 0 1 2 二、假设 A, B 为 n 阶矩阵，且 I n + AB 可逆，其中 n I 为 n 阶单位阵，证明： I n + BA 也可逆， 并求 1 ( ) − I n + BA (14 分)

101 、设A=020 101 (1)求正交阵Q使得QAQ是对角阵 (2)计算A200 (共14分) ⌒装订线内不要答题 第3页

第 3 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 三、设 A =           1 0 1 0 2 0 1 0 1 ， （1）求正交阵 Q 使得 Q AQ T 是对角阵； （2）计算 2000 A 。 （共 14 分）

四、设有两个方程组 -6 (I)14x x x4 4 (1)求出方程组(I)导出的齐次方程组的基础解系,并求出方程组(I)的通解 (2)假设方程组(I)与方程组()同解,求出t,m,n (20分) 第4页

第 4 页 四、设有两个方程组： （I）      − − = − − − = + − = − 3 3 4 1 2 6 1 2 3 1 2 3 4 1 2 4 x x x x x x x x x x (II)      − = − + = − + + − = − x x t x x nx x x mx x 3 4 2 3 4 1 2 3 4 2 4 11 2 5 (1)求出方程组（I）导出的齐次方程组的基础解系，并求出方程组（I）的通解； （2）假设方程组（I）与方程组（II）同解，求出 t,m,n。 （20 分）

五、设V是数域P上的n维线性空间,σ,τ是空间V上的线性变换,σ在数域P上有η个不同 的特征值,证明: )σ的特征向量都是r的特征向量的充要条件是or=vo; (2)若O=,则r是E,O,o2;;σ"的线性表示,其中E表示V上的恒等变换。(20分) ⌒装订线内不要答题 第5页

第 5 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 五、设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间， , 是空间 V 上的线性变换，  在数域 P 上有 n 个不同 的特征值，证明： （1）  的特征向量都是  的特征向量的充要条件是  = ； （2）若  = ，则  是 2 1 , , , , −  n     的线性表示，其中  表示 V 上的恒等变换。（20 分）

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六、设实二次型 f(x12x2…xn)=l2+2+…+12-121 其中l(i=12…s+1)是x,x2xn的一次齐次式, 证明:∫(x1,x2…xn)的正惯性指数P≤s,负惯性指数q≤t。(12分) ⌒装订线内不要答题 第7页

第 7 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 六、设实二次型 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 ( , , , ) n s s s t f x x x l l l l l + − +  = + +  + − −  ， 其中 l (i 1,2, ,s t) i =  + 是 n x , x , , x 1 2  的一次齐次式， 证明： ( , , , ) 1 2 n f x x  x 的正惯性指数 p  s ，负惯性指数 q  t 。 (12 分)