北京大学：《量子力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 近似方法

第六章近似方法 §1引言 §2非简并定态微扰理论 §2 53简并微扰理论 §3 §4变分法 §4

第六章 近似方法 §1 引言 §2 非简并定态微扰理论 §3 简并微扰理论 §4 变分法 §1 §2 §3 §4 返回

§1引言 返回 (一)近似方法的重要性 前几章介绍了量子力的基本理论。使用这些理 论解决了一些简单问题。如 (1)一维无限梁势阱问题; (2)线性谐振子问题; (3)势垒贯穿问题; (4)氢原子问题。 这些同题都绐出了问颋的精确解析解 然而,对于大量的实际物理问题, Schrodinger 方程能有贛确解的愔况很少。逋常体系的 Hamilton量 是比较复杂的,往往不能精确求解。因此,在处理复杂 的实际问题时,量子力学求问题近似解的方法(称近 似方法)就显得特别量要

（一）近似方法的重要性 前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理 论解决了一些简单问题。如： （1）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题； （3）势垒贯穿问题； （4）氢原子问题。 这些问题都给出了问题的精确解析解。 然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger 方程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton 量 是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂 的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近 似方法）就显得特别重要。 §1 引 言 返回

(二)近似方法的出发点 近似方法通常是从簡单问题的犄确解(解析解)出发,来 求較复杂问题的近似(解析)解 (三)近似解问题分为两类 (1)体系 Hamilton量不是时的显函数一定态问题 1.定炎微扰论;2.变分法 (2)体系 Hamilton量显含时间—状态之间的跃迁问题 1.与时间t有关的微扰理论;2.常微扰

（二）近似方法的出发点 近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来 求较复杂问题的近似（解析）解。 （三）近似解问题分为两类 （1）体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题 1.定态微扰论； 2.变分法。 （2）体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 1.与时间 t 有关的微扰理论； 2.常微扰

§2非并定态微扰理论 回 (-)微扰体系方程 (二)态矢和能量的一级修正 (三)能量的二阶修正 (四)微扰理论适用条件 (五)讨论 (六)实例

§2 非简并定态微扰理论 返回 （一）微扰体系方程 （二）态矢和能量的一级修正 （三）能量的二阶修正 （四）微扰理论适用条件 （五）讨论 （六）实例

)微扰体系方程 微扰法不是量子力学所特有的方法。在处理天体运 行的天体物理学中。计犷行星运行執道时。就是使用微扰 方法。讣算中猾要考虑其他行星影响的二级效疝 例如,地蹴受万有引力作用绕太阳转动可是由于 其它行星的影响,其轨道卿要予以修正。在这种情况下, 计算所使用的方法是:首先把太阳和地球作为二体系统, 求出其軌。瘘后研究这个軌道受其它行星的影响而发生 的变化 可精确泶解的体系叫敵未微扰体系。待求解的体系叫 做微扰体系。假设体系 Hamilton量不显含时间,而 且可分为两部分 H=度0+m

微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运 行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰 方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。 例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于 其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下， 计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统， 求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生 的变化。 可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫 做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含时间，而 且可分为两部分： H = H + H ˆ ˆ (0) ˆ （一）微扰体系方程

H0所描写的体系是可以精确求解的,其本征值E,0), 本征矢№n0>满足如下本征方程 (0) hym >=Em y> 另一部分H是很小的(很小的物理意义将在下面讨论)可 以看作加于H)上的微小扰动。现在的问题是如何求解微 扰后 Hamilton量H的本征值和本征矢,即如何求解个 体系的 Schrodinger方程: HIV,>=Env,> 当H′=0时,|vn=|ψn0)>,En=En0); 当H′≠0时,引入微扰,使体系能級发生移动, 由En0)→Bn,状态由vn(0>→vn>o 为了明显表示出微扰的微小程度,将其写为:=(1 其中λ是很小的实数,表征微扰程度的参量

H(0) 所描写的体系是可以精确求解的，其本征值 En (0) ， 本征矢|ψn (0)> 满足如下本征方程：  =  (0) (0) (0) (0) | | ˆ H  n En  n 另一部分 H’是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可 以看作加于 H (0) 上的微小扰动。现在的问题是如何求解微 扰后 Hamilton 量 H 的本征值和本征矢，即如何求解整个 体系的 Schrodinger 方程： H | n  = En | n  ˆ 当H’ = 0 时， |ψn> = |ψn (0)> , En = E n (0) ； 当 H’ ≠ 0 时，引入微扰，使体系能级发生移动， 由 E n (0) → En ，状态由 |ψn (0)> →|ψn >。 为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为： H ˆ H ˆ (1)  =  其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量

因为En、№n>都与微扰有关,可以把它们看成是的函数而 将其展开成的幂级数: e =E(O+hE+he 其中En0),AE(1),元2En() 分剔是能量的0级近似。能量的一级修 正和二級修正; vn>=y>+|yn)>+x2|y2)>+ 而|ψn0)》,λ|n(1)>,λ21|ψn(2)>, 代入 Schrodinger方程得 分别是状态矢量0级近似,一级修正和二级修正等。 (F+H)y>+x|yn)>+2|yn2)>+…) =(E)+AE)+22E2)+…)y0>+A|y>+2 乘开得 Ho)IyO >十 v>+ 2 [h)lym>+HlYm>1+|2 [em lv >+Em lvfo>l+ 22 Hola)>+Holv >1+5=22 [Eo v 2)>+Em ly >+Em lyo)>1+

因为 En 、 |ψn > 都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而 将其展开成λ的幂级数：    =  +  +  + = + + + (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) | | | | n n n n En En En En         其中E n (0), λE n (1), λ2 E n (1), ... 分别是能量的 0 级近似，能量的一级修 正和二级修正等； 而|ψn (0)>, λ|ψn (1)>, λ2 |ψn (2)>, ... 分别是状态矢量 0 级近似，一级修正和二级修正等。 ( )(| | | ) )(| | | ) ˆ ˆ ( (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) (0) (1) (0) (1) 2 (2)    = + + +  +  +  + +  +  +  + n n n n n n n n n E E E H H              代入Schrodinger方程得： 乘开得：                   +  +  +  +  +  +  + =                   +  +  +  +  +  +       [ ] [ | | | ] [ | | ] | [ ] | ] ˆ | ˆ [ | ] ˆ | ˆ [ | ˆ 3 2 (0) (2) (1) (1) (2) (0) (0) (1) (1) (0) (0) (0) 3 2 (0) (2) (1) (1) (0) (1) (1) (0) (0) (0)                  n n n n n n n n n n n n n n n n n E E E E E E H H H H H

根据等式两边入同幂次的系数应该相等,可得到 如下一系列方程式 2: H(l>=EIyo a': Holy>+Holy)>=EmLyn>+EmIy)> H0|y2)>+H"y>=E|y2>+Em|ym>+E2|y 蓬理后得: 0)-E0]|vy0)>=0 HO)-ETIy O>=-IHO-Emlly)> THO-EmIIY >+E(2) ψn②2)所足的方程,由此可解得能量和矢的第一、二Q兆 上面的蕈一式就是H)的本逛方程,第二、三式分别是|yn①)

根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到 如下一系列方程式:       +  =  +  +   +  =  +   =  2 (0) (2) (1) (1) (0) (2) (1) (1) (2) (0) 1 (0) (1) (1) (0) (0) (1) (1) (0) 0 (0) (0) (0) (0) | | | | ˆ | ˆ : | | | ˆ | ˆ : | | ˆ : n n n n n n n n n n n n n n n n n H H E E E H H E E H E               整理后得：          −  = − −  +  −  = − −  −  =      (0) (0) (2) (1) (1) (1) (2) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (0) (0) (0) (0) ]| | ˆ ]| [ ˆ [ ]| ˆ ]| [ ˆ [ ]| 0 ˆ [ n n n n n n n n n n n n H E H E E H E H E H E       上面的第一式就是H (0)的本征方程，第二、三式分别是|ψn (1) >和 |ψn (2)>所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正

(二)态矢和能量的一级修正 现在我们借助于朱微扰体系的态矢yn0)和本征能量 En(来导出扰动后的态矢|ψn>和能量En的达式 (1)能量一级修正λEn(1) 根据力学量本征矢的完备性假定,H的本征矢|yn⑨>是 完备的,任何态矢量都可按其展开,|vn①)>也不例外。因 此我们可以将态矢的一级修正展开为: va>=∑|vx> ∑a|y (0) 代回前面的第二式并计及第一式得: aknO==-[HO-Edllvno> 左乘 kn EO-E( wn <y (0

现在我们借助于未微扰体系的态矢|ψn (0)>和本征能量 E n (0)来导出扰动后的态矢|ψn >和能量 En 的表达式。 (1)能量一级修正λ E n (1) 根据力学量本征矢的完备性假定， H(0)的本征矢|ψn (0)>是 完备的，任何态矢量都可按其展开，|ψn (1)> 也不例外。因 此我们可以将态矢的一级修正展开为：  =    =   =  = (1) (0) 1 (0) (0) (1) 1 (1) | | | | k n k k k k n k  n    a  akn (1) = −  = − −  −  = − −     =  = (1) (0) (0) (0) (1) (1) (0) 1 (1) (0) (1) (1) (0) 1 (0) (0) ]| ˆ [ ]| [ ]| ˆ ] | [ ˆ [ k n k n k n n k k n k n n k n a E E H E H E a H E     左乘 <ψm (0) | （二）态矢和能量的一级修正

a HnIek-e]tEm k=1 考慮到本征基矢的正交归一性: (1)I(0) E E (0) 6, (1) (0) Em-Em )+E() ①+E(S t E r=hOly o 考虎两 1.m=n 种情况 2.m≠n 0|H (0) (0)F(0 准确到一阶微扰的体系能量 E En=E0+AE(=E(0+4 =E)+=E0+ Hamilton量在0级矢中的平均值

 −   = −   +    = (1) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (0) (1) (0) (0) 1 | | ˆ [ ] | | k n k n m k m n n m n k a E E    H  E   考虑到本征基矢的正交归一性： mn n mn kn k n mk k H E a E E   (1) (1) (1) (0) (0) 1 ˆ [ ] = − +  −  = amn Em En Hmn En  mn (1) (0) (0) ˆ (1) (1) [ − ] = − + 考虑两 种情况 1. m = n = =   (1) (1) (0) (1) (0) | ˆ | ˆ En Hnn  n H  n 2. m ≠ n (0) (0) (0) (1) (0) (0) (0) (1) (1) | ˆ | ˆ n m m n n m mn mn E E H E E H a −   = − =   准确到一阶微扰的体系能量： (0) (1) En = En + En = +   (0) (0) (1) (0) | ˆ | En   n H  n = +   (0) (0) (1) (0) | ˆ | En  n H  n = +    (0) (0) (0) | ˆ | En  n H  n En Hnn = +  (0) ˆ  =    (0) (0) | ˆ | ˆ Hnn  n H  n 其中能量的一级修正等于微扰 Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值