清华大学：《理论力学综合教程》第十八章 拉格朗日方程

动力学普遍方程 和拉格朗日方程 ※引言 ※动力学普遍方程 ※拉格朗日方程 ※拉格朗日方程的初积分 ※结论与讨论

动力学普遍方程 和拉格朗日方程 ※ 引 言 ※ 动力学普遍方程 ※ 拉格朗日方程 ※ 拉格朗日方程的初积分 ※ 结论与讨论

口经典动力学的两个发展方面 拓宽研究领域 牛顿运动定律由单个自由质点 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础) 欧拉将牛顿运动定律 刚体和理想流体 矢量动力学又称为牛顿一欧拉动力 寻求新的表达形式 将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学

经典动力学的两个发展方面 拓宽研究领域 矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学 牛顿运动定律由单个自由质点 ★ 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础) 欧拉将牛顿运动定律 ★ 刚体和理想流体 寻求新的表达形式 将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学 ★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学

§18-1动力学普遍方程 考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理,有 F+fFN-m1=0(=1 主动力 约束力 惯性力 令系统有任意一组虚位移 系统的总虚功为 ∑(F+F-m)67=0(=12m

考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有 0 ( 1,2, , ) N m i n i i i i F + F − a = =  主动力 惯性力 令系统有任意一组虚位移 δ (i 1,2, ,n) i r =  系统的总虚功为 ( ) δ 0 ( 1,2, , ) N m i n i i i i i i  F + F − a  r = =  §18-1 动力学普遍方程

系统的总虚功为 ∑(F+FR0-ma)6r=0(=12…m) 利用理想约束条件 ∑F5r=0(=12;,m 得到 ∑(F-m1)6=0(=12…m 动力学普方程 在意所时作用于具有理想、双面约束的系统上的 主动力与性力在系绕的任意虚位移上的元功之和 竽于

系统的总虚功为 利用理想约束条件 0 ( 1,2, , ) N δ i n i i i F  r = =  ( m ) δ 0 (i 1,2, ,n) i i i i i  F − a  r = =  得到 —— 动力学普遍方程 任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的 主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和 等于零。 ( ) δ 0 ( 1,2, , ) N m i n i i i i i i  F + F − a  r = = 

∑(F-m1)6=0(=12…m 动力学普遍方程的直角坐标形式 ∑[F-mx)x+(F-m计)6+(F1m)6=1=0 为力学当方适用于具有理想约束或亚面约束的系统。 学当方断适用于具有定常约束的系统,也适用于 具有非定常约束的系绕。 学方所适用于具有完整约束的系统,也适用子 具有非完整约束的系统。 力学方既适用于具有有势力的系统,也适用于具有 无势力的系统

i n F m x x F m y y F m z z i yi i i i z i i i i i xi i i 1,2, , [( ) δ ( ) δ ( ) δ ] 0 =   −   + −   + −   = 动力学普遍方程的直角坐标形式 动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于 具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有 无势力的系统。 ( m ) δ 0 (i 1,2, ,n) i i i i i  F − a  r = = 

动力学普遍方程的应用 口动力学普方主要应用于求解动力学第二类问 题,即:已知主动力求系统的运动规律。 口应用动学方求解系统运动规律时,重 要的是正确分析运动,并在系统上施加惯性力 口应用,需要正确分析主动力和 惯性力作用点的虚位移,并正确计算相应的虚功。 口由于动学当方中不包含约束力,因此, 不需要解除约東,也不需要将系统拆开

动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问 题，即：已知主动力求系统的运动规律。 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重 要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此， 不需要解除约束，也不需要将系统拆开。 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和 惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 动力学普遍方程的应用

例题1已知:m,Rf,a 求:圆盘纯滚时质心的加速度。 解:1、分析运动,施加惯性力 g m M=J 其中:_1 mR a= Ra 2 本系统有一个自由度, 令其有一虚位移ax g sIn c 3 3、应用动力学普遍方程 mgsn a.&x- Frr&x- MIC R

例 题 1 已知： m ，R, f ，  。 求：圆盘纯滚时质心的加速度。  C mg aC FIR MIC x 解：1、分析运动，施加惯性力 2、本系统有一个自由度， 令其有一虚位移 x。 FIR = maC MIC = JC  3、应用动力学普遍方程 sin   − = 0 R x mg x - FIR x MIC     sin  3 2 aC = g JC = mR , aC = R 2 1 2 其中：

例题2离心调速器 已知:m1-球A、B的质量; m2-重锤C的质量; 一杆件的长度; -O1y轴的旋转角速度 A 求:m-a的关系。 m18 解:不考虑摩擦力,这一系统 的约束为理想约束;系统具有 个自由度。取广义坐标q=a 1、分析运动、确定惯性力 球A、B绕1轴等速转动;重锤静止不动。 球A、B的惯性力为 LA F=mosina

例 题 2 离心调速器 已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： －  的关系。 A  B C l l l l   O1 x1 y1 解： 不考虑摩擦力，这一系统 的约束为理想约束；系统具有一 个自由度。取广义坐标 q =  1、分析运动、确定惯性力 球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。 球A、B的惯性力为 2 I I FA = FB = mlsin FIA FIB m1g m2g m1g

2、令系统有一虚位移8a。A、B、C三处的 虚位移分别为r、8rB、8rC sa 3、应用动力学普遍方程 B Hx+FB·xB+m198V4F1 A +m1g·8V+m28-Oyc=0 m18 根据几何关系,有 SIn a /cossA ya=lcos Isin asa Isin a axB=losada VB= lcos -Isin asa alcoa 2/sin asa

A  B C l l l l   O1 x1 y1 FIB FIA m1g m2g m1g rC δ δ 0 δ δ δ 1 2 I I 1 +  +  = −  +  +  B C A A B B A m g y m g y F x F x m g y  rB rA 2、令系统有一虚位移。A、B、C三处的 虚位移分别为rA、rB、 rC 。 3、应用动力学普遍方程 根据几何关系，有      2 cos cos sin cos sin y l y l x l y l x l C B B A A = = = = = −           2 sin sin cos sin cos y l y l x l y l x l C B B A A = − = − = = − = −

3、应用动力学普遍方程 FL OXA+ FIB OxB +mg. OvA sa +m1g·8V+m28-O=0 B A r=osada /sin aoa 1m18 ar=coasT OVa=-sin adc 2/sin ada 2m, sin a@-lcosaSa-2m,glsin ada-2m2gIsinaSa=0 (m1+m2)g n, cosa

A  B C l l l l   O1 x1 y1 FIB FIA m1g m2g m1g rC δ δ 0 δ δ δ 1 2 I I 1 +  +  = −  +  +  B C A A B B A m g y m g y F x F x m g y  rB rA 3、应用动力学普遍方程           2 sin sin cos sin cos y l y l x l y l x l C B B A A = − = − = = − = − 2 sin cos 2 1 sin 2 2 sin 0 2 m1 l   l − m gl − m gl  =   cos ( ) 1 2 1 2 m l m + m g =