武汉大学：理论力学（韩立朝）_第三篇 动力学 ch7 质点动力学

距论力学

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动学 引言 一.研究对象:研究物体的机械运动与作用力之间的关系 二力学模型: 1质点:具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如:研究卫星的轨道时,卫星—质点; 刚体作平动时,刚体一质点 2质点系:由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系,由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系

2 引 言 一.研究对象： 二.力学模型： 研究物体的机械运动与作用力之间的关系 2.质点系：由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。 1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点； 刚体作平动时,刚体 质点

动学 自由质点系:质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系:质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型;包括刚体,弹性体,流体。 三动力学分类:质点动力学 质点动力学是质点 质点系动力学系动力学的基础。 四动力学的基本问题:大体上可分为两类 第一类:已知物体的运动情况,求作用力; 第二类:已知物体的受力情况,求物体的运动。 综合性问题:已知部分力,部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力,求运动,再由运动求约束反力

3 自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。 三.动力学分类: 质点动力学 质点系动力学   质点动力学是质点 系动力学的基础。 四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力

距论力学 算七分方

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动学 §7-1质点运动微分方程 一、质点运动微分方程 将动力学基本方程(m=F表示为微分形式的方程,称为质 点的运动微分方程。 1矢量形式 md7=F(式中r=r(0为质点矢径形式的运动方程) 2直角坐标形式 X x=x(t) my=y(式中{y=0)为质点直角坐标形式的运动方程) 二=z(1) 2 -=Z dt

5 将动力学基本方程 表示为微分形式的方程，称为质 点的运动微分方程。 (ma  F) 1.矢量形式 ( ( ) ) 2 2 F 式中r r t 为质点矢径形式的运动方程 dt d r m   §7-1 质点运动微分方程 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 式中 为质点直角坐标形式的运动方程                z z t y y t x x t Z dt d y m Y dt d y m X dt d x m 2.直角坐标形式 一、质点运动微分方程

动学 3自然形式 F (式中s=s(t)为质点的弧坐标形式的 F 运动方程。F,Fn,F分别为力F在 0=F 自然轴系z轴,n轴和b轴上的投影) 质点运动微分方程除以上三种基本形式外还可有极坐标形式, 柱坐标形式等等 应用质点运动微分方程,可以求解质点动力学的两类问题

6 3.自然形式 , ) , , ( ( ) 自然轴系 轴 轴和 轴上的投影 运动方程。 分别为力 在 式中 为质点的弧坐标形式的 n b F F F F s s t n b    质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式, 柱坐标形式等等。 应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。 b n F F v m F dt d s m    0 2 2 2  

动学 质点动力学两类问题 1.第一类:已知质点的运动,求作用在质点上的力(微分问题) 解题步骤和要点: ①正确选择研究对象(一般选择联系已知量和待求量的质点) ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析 ③正确进行运动分析(分析质点运动的特征量) ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程(建立坐标系)。 ⑤求解未知量

7 1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 二、 质点动力学两类问题 解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量

动学 「例1桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物,沿水平横梁作匀速 运动,速度为Vo,重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车,重物 因惯性绕悬挂点O向前摆动,求钢丝绳的最大拉力 解:①选重物(抽象为质点)为研究对象」 ②受力分析如图所示 Vo ③运动分析,沿以O为圆心, l为半径的圆弧摆动

8 0 v [例1] 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速 运动，速度为 ，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物 因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。 解：①选重物(抽象为质点)为研究对象 ②受力分析如图所示 ③运动分析，沿以O为圆心, l 为半径的圆弧摆动

动学 ④列出自然形式的质点运动微方程 O g di max=∑F -Gsin n=∑Fn Gv=T-GCOS 8 ⑤求解未知量 由式得T=G(c0s9+y) 其中,为变量由式知重物作减速运动,因此=0时,T=Tma T=G(1+ g 注①减小绳子拉力途径:减小跑车速度或者增加绳子长度。 ②拉力Tm由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力 部分由加速度引起,称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力

9     ,  G sin  1 dt dv g G ma F  ,   cos  2 2 T G  l v g G ma n Fn ④列出自然形式的质点运动微方程 , . 2 (cos ) , 2 其中 为变量 由 式得 v gl v T G       max 由1式知 重物作减速运动 , 因此 0时 , T T (1 ) 2 0 max gl v T  G  ⑤求解未知量 [注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力

动学 2第二类:已知作用在质点上的力,求质点的运动(积分问题) 已知的作用力可能是常力,也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数 解题步骤同前。注意:应根据力的函数形式决定如何积分, 并利用运动的初始条件,求出质点的运动。 如力是常量或是时间及速度函数时, 可直接分离变量 积分 dt 如力是位置的函数,需进行变量置换 d=dk,再分离变量积分

10 2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤同前。注意：应根据力的函数形式决定如何积分， 并利用运动的初始条件，求出质点的运动。 如力是常量或是时间及速度函数时， 可直接分离变量 dt 积分。 dv , 再分离变量积分。 ds dv v dt dv  如力是位置的函数，需进行变量置换