武汉大学：理论力学（韩立朝）_ch12 单自由度系统的振动

理论力学 第十二章单自由度系统的振动

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学 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如:钟摆的往复摆动汽车行驶时的颠簸,电动机、机 床等工作时的振动,以及地震时引起的建筑物的振动等。 1.所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。 2.振动的利弊: 利:振动给料机弊:磨损,减少寿命,影响强度 振动筛 引起噪声,影响劳动条件 振动沉拔桩机等消耗能量,降低精度等。 3.研究振动的目的:消除或减小有害的振动,充分利用振动 为人类服务

2 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机 床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 利：振动给料机 弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。 3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。 2. 振动的利弊： 1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动

学 4振动的分类 单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类多自由度系统的振动 弹性体的振动 按振动产生的原因分类 自由振动:无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动(衰减振动) 强迫振动:无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动

3 4. 振动的分类： 单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动 弹性体的振动 按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动（衰减振动） 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动

学 实际中的振动往往很复杂,为了便于研究,需简化为力 学模型。 电动机 振体 质量一弹 箦系统 基础 弹性地基

4 实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为力 学模型。 质量—弹 簧系统 振 体

学 O平衡位置 m 运动过程中,使物体回到平衡位置的力称为恢复力

5 运动过程中，使物体回到平衡位置的力称为恢复力

力单 §12-1单自由度系统无阻尼自由振动 只需用一个独立坐标就可确定振体的位置,这种系统 称为单自由度系统。物体受到初干扰后,仅在恢复力作用 下的振动称为无阻尼自由振动 、振动的微分方程: 图示质量弹簧系统,以平衡位置为k 坐标原点,则 mg-F=mi F=k(x+8) δ一振体静止平衡时弹簧的 变形:mg=kδ g x

6 §12-1 单自由度系统无阻尼自由振动 一、振动的微分方程： 只需用一个独立坐标就可确定振体的位置，这种系统 称为单自由度系统。物体受到初干扰后，仅在恢复力作用 下的振动称为无阻尼自由振动 图示质量——弹簧系统，以平衡位置为 坐标原点，则 mg − F = m  x  ( ) st F = k x + st st mg k  变形： = — 振体静止平衡时弹簧的

学 mix=mg-F=mgk(x+8)==hx 令 k k 则:+O2x=0 这就是质量—弹簧系统无阻尼自由振动的 微分方程。 对于其他类型,同理可得。如 mng 单摆:平 9+O=0 衡 g/) 位 直 7

7 mx mg F mg k x kx   = − = − ( + st) = − m k n = 2 令 0 2 则： x  + n x = 这就是质量——弹簧系统无阻尼自由振动的 微分方程。 ( / ) 0 2 2 g l n n = + =     对于其他类型，同理可得。如 单摆：

学 9+040=0 复摆: 平衡 (o=mga/D) 位置 对于任何一个单自由度系统,以q为广义坐标(从平 衡位置开始量取),则自由振动的微分方程的标准形式: 分+On2q=0 解为: q=Asin(@, t+a) 9=A@ cos(@,t +a)

8 复摆： ( / ) 0 2 2 mga J n n = + =     对于任何一个单自由度系统，以 q 为广义坐标（从平 衡位置开始量取 ），则自由振动的微分方程的标准形式： 0 2 q +n q = 解为： q = Asin( t +) n q = A cos( t +) n n 

力单 设t=0时,q=40,q=o代入上两式得: A=19+ q a= arc ctg 0 或 q=C, coS@n t+Casin@nt C1,C2由初始条件决定为C1=qo,C2=qon g=go cos@nttsin nt

9 0 0 2 2 2 0 0 , arctg q q q A q n n      = + = 设 t = 0 时， q = q0 , q  = q  0 代入上两式得： 或： q C t C t n n = 1 cos + 2 sin C1，C2由初始条件决定为 q n C1 =q0 , C2 =  0 / t q q q t n n n   cos sin 0 0   = +

学 A振体离开平衡位置的最大位移,称为振幅 Ont+a-相位,决定振体在某瞬时t的位置 α—初相位,决定振体运动的起始位置 7—周期,每振动一次所经历的时间=2x f频率,每秒钟振动的次数,单位:Hz,f=1/T 圆频率,振体在2π秒内振动的次数。On=2f On、∫都称为系统的固有频率或自然频率 10

10 ωn—— 圆频率，振体在2秒内振动的次数。 ωn=2πf ωn、f 都称为系统的固有频率或自然频率 A——振体离开平衡位置的最大位移，称为振幅 n t +  ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置  ——初相位，决定振体运动的起始位置 n T  2 T ——周期，每振动一次所经历的时间 = f —— 频率，每秒钟振动的次数，单位：HZ ， f = 1 / T