《大学物理实验》课程教学资源（名称术语）测量误差与不确定度

等精度测量：在相同条件下对某一物理量进行的一系列测量。例如，同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样的测量方法对同一被测量进行多次测量，没有任何理由认为某个测量值比另一个测量值更为准确，即每次测量的可靠程度都相同，这些测量就是等精度测量。非等精度测量：在不同条件下对某一物理量进行的一系列测量。例如，在不同的环境中，或由不同人员，或在不同的仪器上，或采用不同的方法等对同一物理量进行多次测量，其测量结果的可靠程度不会相同，均属于不等精度测量。系统误差：在相同的条件下多次测量同一物理量时，误差的绝对值和符号保持恒定，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差，称为系统误差，其特点是恒定性。系统误差的来源有以下几个方面：仪器误差，理论误差，个人误差。随机误差：在相同条件下对同一物理量的多次测量过程中，误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化，但总体来说又服从一定统计规律的的误差，称为随机误差，又称偶然误差，其特点是随机性。这种误差的来源在于实验中各种偶然因素的微小的随机性的波动，例如测量过程中环境条件的微小变动，观察者在操作调整仪器设备和判断、估计读数上的微小变动，测量仪器指示数值的微小变动和被测对象自身的微小变动等。随机误差的正态分布：在等精度测量中，当测量次数n一→oo时，随机误差8变成连续型随机变量=x（测量值）一x（真值），可以证明，大多数情况下的随机误差8都服从正态分布，亦称高斯分布，它满足的概率密度分布函数为81-e2gf(8)=2元此时Xo=lim-7n台即无限多次测量值的算术平均值就是真值。标准误差：正态分布中的为正态分布的特征量，称为正态分布的标准误差，亦称方均根误差，它在数值上等于概率密度分布曲线拐点处的横坐标值，其数学表达式为[Z(x,-x0)g=lim8°f(8)d8n-→Vn由概率密度分布函数可知，测量值的随机误差出现在8至S+ds区域内的概率为f)dS，而测量值的误差出现在（一O，+）区间的概率是

等精度测量： 在相同条件下对某一物理量进行的一系列测量。例如，同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同 样的测量方法对同一被测量进行多次测量，没有任何理由认为某个测量值比另一个测量值更为准确，即每 次测量的可靠程度都相同，这些测量就是等精度测量。 非等精度测量： 在不同条件下对某一物理量进行的一系列测量。例如，在不同的环境中，或由不同人员，或在不同的 仪器上，或采用不同的方法等对同一物理量进行多次测量，其测量结果的可靠程度不会相同，均属于不等 精度测量。 系统误差： 在相同的条件下多次测量同一物理量时，误差的绝对值和符号保持恒定，或者在条件改变时，按某一确定 规律变化的误差，称为系统误差，其特点是恒定性。系统误差的来源有以下几个方面：仪器误差，理论 误差，个人误差。 随 机误差： 在相同条件下对同一物理量的多次测量过程中，误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化，但总体来说 又服从一定统计规律的的误差，称为随机误差，又称偶然误差，其特点是随机性。这种误差的来源在于实 验中各种偶然因素的微小的随机性的波动，例如测量过程中环境条件的微小变动，观察者在操作调整仪器 设备和判断、估计读数上的微小变动，测量仪器指示数值的微小变动和被测对象自身的微小变动等。 随机误差的正态分布： 在等精度测量中，当测量次数 n → 时，随机误差 i  变成连续型随机变量  = − x x (测量值) 0 (真值) ，可 以证明，大多数情况下的随机误差  都服从正态分布，亦称高斯分布，它满足的概率密度分布函数为 2 2 - 2 1 ( ) e 2 f     = 此时 0 1 1 lim n i n i x x → n = =  即无限多次测量值的算术平均值就是真值。 标准误差： 正态分布中的  为正态分布的特征量，称为正态分布的标准误差，亦称方均根误差，它在数值上等于 概率密度分布曲线拐点处的横坐标值，其数学表达式为 ( ) 2 0 1 2 ( ) lim d n i i n x x f n     + = → − − = =   由概率密度分布函数可知，测量值的随机误差出现在  至   +d 区域内的概率为 f (  )d ，而测量值 的误差出现在 (− +   , ) 区间的概率是

oe2d8=68.3%P(-0,+0)= (0)8=-20即标准误差的物理意义为，在所测得的全部数据中，将有68.3%的数据其随机误差落在区间(-G,+o）内。可见，标准误差的大小反映了测量值的离散程度。标准偏差：对一组测量值x(i=1,2,3,",n)，n有限，其算术平均值x虽不是真值，但却是真值x的最佳近似值，实际中总是用算术平均值代替真实值。为了与误差加以区别，将测量值x与平均值的差值称为偏差，用v表示，即V=X,-X利用数理统计理论，可以得到对偏差进行估计的公式为E(x,-x)12S,=V:n-1Nn-li上式称为贝塞尔公式，S，称为单次测量的标准偏差，或测量列的标准偏差。算术平均值的标准偏差标准偏差S，表示的是取得文的一组数据的离散性，如果在完全相同的条件下再重复测量一组数据，由于随机误差的影响，不一定能得到完全相同的，这说明算术平均值本身也具有离散性。为了评定算术平均值的离散性，需引入算术平均值的标准偏差（亦称测量列的算术平均值的标准偏差）S，误差理论给出的算术平均值的标准偏差公式为S-号-2(-5不确定度的概念实验不确定度，又称测量不确定度(uncertaintyofmeasurement)，简称不确定度，是测量结果带有的一个用于合理地表征测量结果离散性的参数，其含义是，被测量值由于测量误差的存在而不能确定的程度，它是被测量真值在某一范围内的一个评定。“不能确定的程度”是通过“置信区间”和“置信概率”来表达的。如果不确定度为u，根据它的含义，则表示误差将以一定的概率出现在置信区间（一u，+u）之中，或者表示测量值的真值以一定的概率落在量值范围（-u,+u)之中。显然，在相同的置信概率的条件下，不确定度越小，其测量结果的可靠程度越高，亦即测量质量和使用价值也越高；反之，不确定度愈大，其测量结果的可靠程度愈低，亦即测量质量和使用价值也愈低。由此可见，测量结果的可靠性在很大程度上取决于其不确定度的大小，用不确定度

( ) ( ) 2 2 - 2 1 , d e d 68.3% 2 P f              + + − − − + = = =   即标准误差的物理意义为，在所测得的全部数据中，将有 68.3%的数据其随机误差落在区间 (− +   , ) 内。 可见，标准误差的大小反映了测量值的离散程度。 标准偏差： 对一组测量值 x i n i ( =1,2,3, , ) ，n 有限，其算术平均值 x 虽不是真值，但却是真值 0 x 的最佳近似值，实 际中总是用算术平均值代替真实值。为了与误差加以区别，将测量值 i x 与平均值 x 的差值称为偏差，用 i v 表 示，即 i i v x x = − 利用数理统计理论，可以得到对偏差进行估计的公式为 2 2 1 1 ( ) 1 1 1 n n i i x i i x x S v n n = = − = = − −   上式称为贝塞尔公式， x S 称为单次测量的标准偏差，或测量列的标准偏差。 算术平均值的标准偏差 标准偏差 x S 表示的是取得 x 的一组数据的离散性，如果在完全相同的条件下再重复测量一组数据，由于随 机误差的影响，不一定能得到完全相同的 x ，这说明算术平均值本身也具有离散性。为了评定算术平均值 的离散性，需引入算术平均值的标准偏差（亦称测量列的算术平均值的标准偏差） x S ，误差理论给出的算 术平均值的标准偏差公式为 2 1 1 ( ) ( 1) n x x i i S S x x n n n = = = − −  不确定度的概念 实验不确定度，又称测量不确定度(uncertainty of measurement)，简称不确定度，是测量结果带有的一个用于 合理地表征测量结果离散性的参数，其含义是，被测量值由于测量误差的存在而不能确定的程度，它是被 测量真值在某一范围内的一个评定。 “不能确定的程度”是通过“置信区间”和“置信概率”来表达的。如果不确定度为 u ，根据它的含 义，则表示误差将以一定的概率出现在置信区间 (− + u u , ) 之中，或者表示测量值的真值以一定的概率落在 量值范围 ( x u x u − + , ) 之中。显然，在相同的置信概率的条件下，不确定度越小，其测量结果的可靠程度 越高，亦即测量质量和使用价值也越高；反之，不确定度愈大，其测量结果的可靠程度愈低，亦即测量质 量和使用价值也愈低。由此可见，测量结果的可靠性在很大程度上取决于其不确定度的大小，用不确定度

来评价测量结果的质量比误差评价更合适。因此，在给出测量结果时，必须附加不确定度的说明才是完整和有意义的。A类不确定度：指由测量列的统计分析评定的不确定度，也称统计不确定度，用u（x）表示。A类不确定度可直接用测量列的算术平均值的标准偏差表示，即ST:1Z(x,-x)u,=S,=Vn(n-1)VnB类不确定度：指由非统计方法估计出的不确定度，又称非统计不确定度，用u（x）表示。B类不确定度是用不同于统计方法的其它方法计算的。在物理实验中，一般采用等价标准差的方法。在该方法中，首先要估计一个“误差极限值△”，然后确定误差分布规律，利用关系式△=Cu就可算出近似标准差。式中u就是用近似标准差表示的B类不确定度，C为置信系数，其值因误差分布规律不同而异：对于均匀分布，C=V3；对于三角分布，C=V6：对于正态分布，C=3：对于其他分布，可以查找有关书籍获得其值。合成不确定度：一个测量结果，一般情况下总是存在不同性质的A类不确定度和B类不确定度，总的不确定度应该由两个不确定度共同决定。由于二者是相互独立的，所以，它们可以直接合成。在大学物理实验中采用方和根法则进行合成，合成后的总不确定度称为合成不确定度，用uc表示，即uc=yui+ug扩展不确定度：将合成不确定度uc(y)乘以一个包含因子（也称为置信因子）k，即得扩展不确定度U()=ku(y）误差服从正态分布的测量，一般k取1，2或3，它们对应的置信概率分别为0.683，0.954和0.997

来评价测量结果的质量比误差评价更合适。因此，在给出测量结果时，必须附加不确定度的说明才是完整 和有意义的。 A 类不确定度： 指由测量列的统计分析评定的不确定度，也称统计不确定度，用 u x A ( ) 表示。A 类不确定度可直接用 测量列的算术平均值的标准偏差表示，即 2 1 1 ( ) ( 1) n x A x i i S u S x x n n n = = = = − −  B 类不确定度： 指由非统计方法估计出的不确定度，又称非统计不确定度，用 u x B ( ) 表示。B 类不确定度是用不同于 统计方法的其它方法计算的。在物理实验中，一般采用等价标准差的方法。在该方法中，首先要估计一个 “误差极限值  ”，然后确定误差分布规律，利用关系式  = CuB 就可算出近似标准差。式中 B u 就是用近 似标准差表示的 B 类不确定度，C 为置信系数，其值因误差分布规律不同而异：对于均匀分布， C = 3 ； 对于三角分布， C = 6 ；对于正态分布， C = 3 ；对于其他分布，可以查找有关书籍获得其值。 合成不确定度： 一个测量结果，一般情况下总是存在不同性质的 A 类不确定度和 B 类不确定度，总的不确定度应该由两个 不确定度共同决定。由于二者是相互独立的，所以，它们可以直接合成。在大学物理实验中采用方和根法 则进行合成，合成后的总不确定度称为合成不确定度，用 C u 表示，即 2 2 C A B u u u = + 扩展不确定度： 将合成不确定度 ( ) C u y 乘以一个包含因子（也称为置信因子）k，即得扩展不确定度 U y ku y ( ) = ( ) ， 误差服从正态分布的测量，一般 k 取 1，2 或 3，它们对应的置信概率分别为 0.683，0.954 和 0.997