《大学物理实验》课程教学资源（教材讲义）测量误差与不确定度

第1章测量误差与不确定度测量是人类认识和改造客观世界必不可少的重要手段，研究物理现象、了解物质特性、验证物理规律都要进行测量，测量是物理实验的基础然而，任何测量过程总会出现不可避免的测量误差，它始终存在于一切科学实验和各种测量活动中，测量误差的分析，以及测量结果的合理表征，是测量必须关注的基本问题，它在科学实验和生产实践中占有极其重要的地位，是提高测量准确度，保证获取信息可靠性的重要手段.因此，了解和掌握误差理论及数据处理的初步知识，是物理实验教学乃至今后进行科学实验的基础.由于这部分包含的内容较多，其理论基础概率论与数理统计又较复杂，本章仅限于简要介绍这方面的初步知识，1.1测量测量的定义1.1.1测量就是将被测物理量与选作计量标准的同类物理量进行比较并求出其倍数的过程，其中倍数值称为待测物理量的数值，选作计量标准的物理量称为单位，通常，物理量的测量值由数值和单位两部分组成.一个完整的测量过程必须包含测量对象、测量单位、测量方法和测量准确度4个要素，1.1.2、测量的分类根据测量结果获取的不同方式，测量可以分为直接测量和间接测量两类。（1）直接测量：可以从测量仪器（或量具）上直接读出被测量量值的测量称为直接测量.例如用米尺测物体的长度，用天平称物体的质量，用电压表测电压，用秒表测时间等都属于直接测量，直接测量中的被测量称为直接测量量，（2）间接测量：许多被测量不能由测量仪器直接读数，需要先由直接测量获得相关数据，再利用已知的函数关系经过运算才能得到待测量的量值，这种测量方式就是间接测量，例如测量矩形的面积，必须先用直接测量方法测出其长和宽，再利用面积公式计算出面积.间接测量中的被测量称为间接测量量，上例中的矩形面积就是间接测量量，根据测量条件是否发生变化，测量可以分为等精度测量和不等精度测量两类（1）等精度测量：在相同条件下对某一物理量进行的一系列测量称为等精度测量.例如，同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样的测量方法对同一被测量进行多次测量，没有任何理由认为某个测量值比另一个测量值更为准确，即每次测量的可靠程度都相同

第1章 测量误差与不确定度 测量是人类认识和改造客观世界必不可少的重要手段,研究物理现象、了解物质特性、验 证物理规律都要进行测量,测量是物理实验的基础.然而,任何测量过程总会出现不可避免的 测量误差,它始终存在于一切科学实验和各种测量活动中.测量误差的分析,以及测量结果的 合理表征,是测量必须关注的基本问题,它在科学实验和生产实践中占有极其重要的地位,是 提高测量准确度,保证获取信息可靠性的重要手段.因此,了解和掌握误差理论及数据处理的 初步知识,是物理实验教学乃至今后进行科学实验的基础.由于这部分包含的内容较多,其理 论基础 ——— 概率论与数理统计又较复杂,本章仅限于简要介绍这方面的初步知识. 1灡1 测 量 1灡1灡1 测量的定义 测量就是将被测物理量与选作计量标准的同类物理量进行比较并求出其倍数的过程.其 中倍数值称为待测物理量的数值,选作计量标准的物理量称为单位.通常,物理量的测量值由 数值和单位两部分组成.一个完整的测量过程必须包含测量对象、测量单位、测量方法和测量 准确度4个要素. 1灡1灡2 测量的分类 根据测量结果获取的不同方式,测量可以分为直接测量和间接测量两类. (1)直接测量:可以从测量仪器(或量具)上直接读出被测量量值的测量称为直接测量.例 如用米尺测物体的长度,用天平称物体的质量,用电压表测电压,用秒表测时间等都属于直接 测量.直接测量中的被测量称为直接测量量. (2)间接测量:许多被测量不能由测量仪器直接读数,需要先由直接测量获得相关数据, 再利用已知的函数关系经过运算才能得到待测量的量值,这种测量方式就是间接测量.例如测 量矩形的面积,必须先用直接测量方法测出其长和宽,再利用面积公式计算出面积.间接测量 中的被测量称为间接测量量,上例中的矩形面积就是间接测量量. 根据测量条件是否发生变化,测量可以分为等精度测量和不等精度测量两类. (1)等精度测量:在相同条件下对某一物理量进行的一系列测量称为等精度测量.例如, 同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样的测量方法对同一被测量进行多次测 量,没有任何理由认为某个测量值比另一个测量值更为准确,即每次测量的可靠程度都相同

第1章测量误差与不确定度5:这些测量就是等精度测量，（2）不等精度测量：在不同条件下对某一物理量进行的一二系列测量称为不等精度测量，例如，在不同的环境中，或由不同人员，或在不同的仅器上，或采用不同的方法等对同一物理量进行多次测量，其测量结果的可靠程度不会相同，均属于不等精度测量不等精度测量的数据处理比较复杂，一般情况下不会采用，在物理实验中，绝大多数实验都采用等精度测量，所以，本教材以介绍等精度测量的数据处理为主，1.2误美差误差的基本概念1.2.1i1.真值真值是指一个特定的物理量在特定的条件下所具有的客观真实量值.显然，真值是一个理想的概念，一般是无法得到的由于“绝对真值”的不可知性，人们在长期的生产实践和科学研究中归纳出以下几种真值的替代值（1）理论真值：理论设计值、公理值、理论公式计算值，（2）计量约定值：权威的计量组织和机构规定的各种基本常数值，基本单位标准值（3）标准器件值：高一级的标准器件或仪表的示值可视为低一级器件或仪表的相对标准值（4）算术平均值：指多次测量的平均结果.当测量次数趋于无穷时，修正过的被测量的算术平均值趋于真值2.绝对误差与相对误差对任一物理量进行测量，其测量值与真值之间总存在一定差异，这种差异称为测量误差，简称误差.误差按其表示形式可分为绝对误差和相对误差，其中绝对误差=测量值一真值，测量的绝对误差相对误差=X100%被测量的真值绝对误差和相对误差均反映单次测量结果与物理量真值之间的差异，它们可用数学式子分别表示为o,=r,ro,(1-2-1)×100%，E-S(1-2-2)ro其中，（i=1，23，，n）表示对物理量r的第i次测量值r。表示被测物理量的真值，，和E分别表示对物理量第次测量的绝对误差和相对误差。1.2.2、误差的分类及处理误差按其产生的原因和性质特点可分为系统误差和随机误差

这些测量就是等精度测量. (2)不等精度测量:在不同条件下对某一物理量进行的一系列测量称为不等精度测量.例 如,在不同的环境中,或由不同人员,或在不同的仪器上,或采用不同的方法等对同一物理量进 行多次测量,其测量结果的可靠程度不会相同,均属于不等精度测量. 不等精度测量的数据处理比较复杂,一般情况下不会采用.在物理实验中,绝大多数实验 都采用等精度测量,所以,本教材以介绍等精度测量的数据处理为主. 1灡2 误 差 1灡2灡1 误差的基本概念 1灡 真值 真值是指一个特定的物理量在特定的条件下所具有的客观真实量值.显然,真值是一个理 想的概念,一般是无法得到的. 由于“绝对真值暠的不可知性,人们在长期的生产实践和科学研究中归纳出以下几种真值 的替代值. (1)理论真值:理论设计值、公理值、理论公式计算值. (2)计量约定值:权威的计量组织和机构规定的各种基本常数值,基本单位标准值. (3)标准器件值:高一级的标准器件或仪表的示值可视为低一级器件或仪表的相对标准值. (4)算术平均值:指多次测量的平均结果.当测量次数趋于无穷时,修正过的被测量的算 术平均值趋于真值. 2灡 绝对误差与相对误差 对任一物理量进行测量,其测量值与真值之间总存在一定差异,这种差异称为测量误差, 简称误差.误差按其表示形式可分为绝对误差和相对误差,其中 绝对误差 =测量值 - 真值, 相对误差 = 测量的绝对误差 被测量的真值 暳100%. 绝对误差和相对误差均反映单次测量结果与物理量真值之间的差异,它们可用数学式子 分别表示为 毮i =xi -x0, (1灢2灢1) Ei = 毮i x0 暳100%, (1灢2灢2) 其中xi(i=1,2,3,.,n)表示对物理量x的第i次测量值,x0 表示被测物理量的真值,毮i 和Ei 分别表示对物理量x 第i次测量的绝对误差和相对误差. 1灡2灡2 误差的分类及处理 误差按其产生的原因和性质特点可分为系统误差和随机误差. 第1章 测量误差与不确定度 ·5·

大学物理实验:6:1.系统误差在相同的条件下多次测量同一物理量时，误差的绝对值和符号保持恒定：或者在条件改变时，误差按某一确定规律变化，这类误差称为系统误差，其特点是具有确定性.系统误差的来源有以下几个方面：（1）仪器误差由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的.如仪器的刻度不准，零点不准，仪器未调整好，以及外界环境（光线、温度、湿度、电磁场等）对测量仪器产生了影响而造成的误差，（2）理论误差又称方法误差，由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，再或是实验方法本身不完善所带来的误差.例如伏安法测电阻时没有考虑电表内阻对实验结果的影响（3）个人误差由于观测者个人感官和运动器官的反应或习惯不同而产生的误差，它因人而异，并与观测者当时的精神状态有关系统误差按其确定性的程度可分为已定系统误差和未定系统误差前者是误差的变化规律已确知的系统误差：后者则是误差的变化规律未确知的系统误差，但一般情况下可估计出它存在的大致范围，仪器误差就属于此类分析任何一种系统误差产生的原因，并设法加以校正，就能减小系统误差对实验的影响但完全发现和减少实际存在的系统误差是比较困难的.在实际工作中，需要对整个实验所依据的原理、方法、测量步骤、使用的仪器、仪表等可能引起系统误差的因素进行详尽分析，并通过校准仪器，改进实验装置，完善实验方法，或对测量结果进行理论上的修正来尽可能地减少系统误差.显然，不论哪一种系统误差，根据其特点可知，不可能通过多次测量来减小或消除，2.随机误差（1）定义在相同条件下对同一物理量的多次测量过程中，误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化，但总体来说又服从一定统计规律的误差，称为随机误差，又称偶然误差，其特点是具有随机性.这种误差的来源在于实验中各种偶然因素微小而随机地波动，例如测量过程中环境条件的微小变动，观察者在操作调整仪器设备和判断、估计读数上的微小变动：测量仪器指示数值的微小变动和被测对象自身的微小变动等.显然，随机误差不能用修正或采取某种技术措施的办法来消除，但可通过多次测量使其减小，并能用统计的方法对其大小进行估算，（2）随机误差的分布在等精度测量中，当测量次数n→时，随机误差，变成连续型随机变量=（测量值）一。（真值）.可以证明，大多数情况下的随机误差都服从正态分布，亦称高斯分布.它满足的概率密度分布函数为es,f(8) =-(1-2-3)/2元

1.系统误差 在相同的条件下多次测量同一物理量时,误差的绝对值和符号保持恒定;或者在条件改变 时,误差按某一确定规律变化,这类误差称为系统误差,其特点是具有确定性.系统误差的来源 有以下几个方面: (1)仪器误差 由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的.如仪器的刻度不准,零点不 准,仪器未调整好,以及外界环境(光线、温度、湿度、电磁场等)对测量仪器产生了影响而造成 的误差. (2)理论误差 又称方法误差,由于测量所依据的理论公式本身的近似性,或实验条件不能达到理论公式 所规定的要求,再或是实验方法本身不完善所带来的误差.例如伏安法测电阻时没有考虑电表 内阻对实验结果的影响. (3)个人误差 由于观测者个人感官和运动器官的反应或习惯不同而产生的误差,它因人而异,并与观测 者当时的精神状态有关. 系统误差按其确定性的程度可分为已定系统误差和未定系统误差.前者是误差的变化规 律已确知的系统误差;后者则是误差的变化规律未确知的系统误差,但一般情况下可估计出它 存在的大致范围,仪器误差就属于此类. 分析任何一种系统误差产生的原因,并设法加以校正,就能减小系统误差对实验的影响. 但完全发现和减少实际存在的系统误差是比较困难的.在实际工作中,需要对整个实验所依据 的原理、方法、测量步骤、使用的仪器、仪表等可能引起系统误差的因素进行详尽分析,并通过 校准仪器,改进实验装置,完善实验方法,或对测量结果进行理论上的修正来尽可能地减少系 统误差.显然,不论哪一种系统误差,根据其特点可知,不可能通过多次测量来减小或消除. 2灡 随机误差 (1)定义 在相同条件下对同一物理量的多次测量过程中,误差的绝对值和符号以不可预知的方式 变化,但总体来说又服从一定统计规律的误差,称为随机误差,又称偶然误差,其特点是具有随 机性.这种误差的来源在于实验中各种偶然因素微小而随机地波动,例如测量过程中环境条件 的微小变动,观察者在操作调整仪器设备和判断、估计读数上的微小变动,测量仪器指示数值 的微小变动和被测对象自身的微小变动等.显然,随机误差不能用修正或采取某种技术措施的 办法来消除,但可通过多次测量使其减小,并能用统计的方法对其大小进行估算. (2)随机误差的分布 在等精度测量中,当测量次数n 曻 曓 时,随机误差毮i 变成连续型随机变量毮= x(测量 值)-x0(真值).可以证明,大多数情况下的随机误差毮都服从正态分布,亦称高斯分布.它满足的概 率密度分布函数为 f(毮)= 1 2毿氁 e- 毮 2 2氁2 , (1灢2灢3) ·6· 大学物理实验

第1章7.测量误差与不确定度17此时ro=lim(1-2-4)即无限多次测量值的算术平均值就是真值正态分布曲线如图1-2-1所示由图1-2-1可以看出，服从正态分布的随机误差具有如f(8)下特性：①单峰性：绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大，②对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相等.80③有界性：绝对值很大的误差出现的概率几乎为零，即图 1-2-1正态分布曲线误差的绝对值不会超过某一个界限按照概率论，误差出现在区间（一00，十8o）内是必然的，即概率为100%，用数学公式表示为P(- 80, +8) =f()o=-1(1-2-5)即概率密度分布曲线下的总面积等于1.（3）标准误差（1-2-3）式中的c为正态分布的特征量，称为正态分布的标准误差，亦称方均根误差，它在数值上等于概率密度分布曲线拐点处的横坐标值，其数学表达式为1i-ro)2(1-2-6)g=limnN1tf(8)，因此，。值越小，由（1-2-3）式可知.8=0时，f（0）=2元0f(O)的值越大.由于概率密度分布曲线下的总面积恒等于1,所以正态分布曲线的形状取决于c值的大小，如图1-2-2所示，6值小，分布曲线又高又陡，说明绝对值小的误差出现的机会多，测量值的重复性好，即随机误差的离散程度小：反02之，值大，分布曲线则低而平坦，说明测量值的重复性差，离图1-2-2。的物理意义散程度大.由此可见，标准误差反映了测量值的离散程度.标准误差。与各测量值的误差有着完全不同的含义.是实在的误差值，而。并不是一个具体的误差值，它只反映在一定的条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况，只有统计性质的意义，是一个统计特征值，还可以从另一个角度理解。的物理意义.由概率密度分布函数可知，测量值的随机误差出现在至十d区域内的概率为f（)d，而测量值的误差出现在（一，十）区间的概率是ed=68.3%P(-6, +o) =f()d=(1-2-7)/2元换言之，（1-2-7）式表明，在所测得的全部数据中，将有68.3%的数据其随机误差落在区间（一g，十g）内：或者说，其中任数据的随机误差8落在区间（一g：十g）的概率为68.3%

此时 x0 =limn曻曓 1 n暺 n i=1 xi, (1灢2灢4) 即无限多次测量值的算术平均值就是真值. 正态分布曲线如图1灢2灢1所示. 图1灢2灢1 正态分布曲线 由图1灢2灢1可以看出,服从正态分布的随机误差具有如 下特性: 栙 单峰性:绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误 差出现的概率大. 栚 对称性:绝对值相等的正误差和负误差出现的概率 相等. 栛 有界性:绝对值很大的误差出现的概率几乎为零,即 误差的绝对值不会超过某一个界限. 按照概率论,误差出现在区间(- 曓,+曓)内是必然的,即概率为100%,用数学公式表示为 P(- 曓,+ 曓)=曇 +曓 -曓 f(毮)d毮=1, (1灢2灢5) 即概率密度分布曲线下的总面积等于1. (3)标准误差 (1灢2灢3)式中的氁为正态分布的特征量,称为正态分布的标准误差,亦称方均根误差,它在 数值上等于概率密度分布曲线拐点处的横坐标值,其数学表达式为 氁=limn曻曓 暺 n i=1 (xi -x0)2 n . (1灢2灢6) 图1灢2灢2 氁的物理意义 由(1灢2灢3)式可知,毮=0时,f(0)= 1 2毿氁 ,因此,氁值越小, f(0)的值越大.由于概率密度分布曲线下的总面积恒等于1,所 以正态分布曲线的形状取决于氁值的大小,如图1灢2灢2所示. 氁值小,分布曲线又高又陡,说明绝对值小的误差出现的 机会多,测量值的重复性好,即随机误差的离散程度小;反 之,氁值大,分布曲线则低而平坦,说明测量值的重复性差,离 散程度大.由此可见,标准误差反映了测量值的离散程度.标 准误差氁与各测量值的误差毮有着完全不同的含义.毮是实在的误差值,而氁并不是一个具体的 误差值,它只反映在一定的条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况,只有统计性质的意 义,是一个统计特征值. 还可以从另一个角度理解氁的物理意义.由概率密度分布函数可知,测量值的随机误差出 现在毮至毮+d毮区域内的概率为f(毮)d毮,而测量值的误差出现在(-氁,+氁)区间的概率是 P(-氁,+氁)=曇 +氁 -氁 f(毮)d毮=曇 +氁 -氁 1 2毿氁 e- 毮2 2氁2d毮=68灡3%. (1灢2灢7) 换言之,(1灢2灢7)式表明,在所测得的全部数据中,将有68灡3% 的数据其随机误差落在区 间(-氁,+氁)内;或者说,其中任一数据x的随机误差毮落在区间(-氁,+氁)的概率为68灡3%. 第1章 测量误差与不确定度 ·7·

.8.大学物理实验当然，区间（r。一6，r。十）内包含真值的概率也为68.3%，这就提供了一个用概率来表达测量误差的方法.区间（r。一。，r。十）称为置信区间，在给定置信区间内包含真值的概率（68.3%）称为置信概率可见标准误差具有统计性质，扩大置信区间，同样可以计算，在相同条件下对同一物理量进行重复测量，其任意一次测量值的误差出现在（一2g，十2g）和（一3g，十3g）范围概率分别为+2e-5d8=95.4%,P(—2g,+2) =f(o)do(1-2-8)一202元0+3—ed8=99.7%P(—3g,+3g)=f(8)d8=(1-2-9)302元亦即在置信区间（r。一2g，3。十2）和r。一3g，r。十3）内包含真值的概率（置信概率）分别为95.4%和99.7%.（1-2-9）式表明，绝对值大于3g的误差出现的概率不超过3%，所以，士3称为极限误差，（4）标准偏差在实际测量中，测量次数n总是有限的，不可能是无限的，这时的算术平均值不是真值，因此标准误差只有理论上的价值，对标准误差。的实际处理只能进行估算，对于一组测量值r（i=1，2，3，.，n），n为有限值，其算术平均值虽不是真值，但却是真值。的最佳近似值，实际中总是用算术平均值代替真实值.为了与误差加以区别，将测量值；与平均值一的差值称为偏差，用表示，即(1-2-10)=r-利用数理统计理论，可以得到对偏差进行估计的公式为-2(T.120=S.=(1-2-11)n-1（1-2-11）式称为贝塞尔公式，S，称为单次测量的标准偏差，或测量列的标准偏差.如同值工是工。的最佳估计值一样，S是。的最佳估计值（5）算术平均值的标准偏差标准偏差S，表示的是取得一的一组数据的离散性，如果在完全相同的条件下再重复测量一组数据，由于随机误差的影响，不一定能得到完全相同的工，这说明算术平均值本身也具有离散性，为了评定算术平均值的离散性，需引人算术平均值的标准偏差（亦称测量列的算术平均值的标准偏差）S，误差理论给出的算术平均值的标准偏差公式为S-S1(-).(1-2-12)n(n-1)台Yn(6)t分布1.f(0)根据误差理论，当测量次数很少时（例如，少于10正态分布次），随机误差分布将明显偏离正态分布，这时测量值的随机误差将遵从分布·也称学生分布，较之正态分份布布，t分布概率密度分布曲线变得平坦，如图1-2-3所示.当测量次数n-→o时，t分布过渡到正态分布，S0在有限次测量的情况下，要保持同样的置信概图1-2-3分布与正态分布的比较

当然,区间(x0-氁,x0+氁)内包含真值的概率也为68灡3%,这就提供了一个用概率来表达测量 误差的方法.区间(x0 -氁,x0 +氁)称为置信区间,在给定置信区间内包含真值的概率(68灡3%) 称为置信概率.可见标准误差具有统计性质. 扩大置信区间,同样可以计算,在相同条件下对同一物理量进行重复测量,其任意一次测 量值的误差出现在(-2氁,+2氁)和(-3氁,+3氁)范围概率分别为 P(-2氁,+2氁)=曇 +2氁 -2氁 f(毮)d毮=曇 +2氁 -2氁 1 2毿氁 e- 毮2 2氁2d毮=95灡4%, (1灢2灢8) P(-3氁,+3氁)=曇 +3氁 -3氁 f(毮)d毮=曇 +3氁 -3氁 1 2毿氁 e- 毮2 2氁 2d毮=99灡7%. (1灢2灢9) 亦即在置信区间(x0-2氁,x0+2氁)和(x0-3氁,x0+3氁)内包含真值的概率(置信概率)分别为 95.4% 和99.7%. (1灢2灢9)式表明,绝对值大于3氁的误差出现的概率不超过3曤,所以,暲3氁称为极限误差. (4)标准偏差 在实际测量中,测量次数n总是有限的,不可能是无限的,这时的算术平均值不是真值,因 此标准误差只有理论上的价值,对标准误差氁的实际处理只能进行估算. 对于一组测量值xi(i=1,2,3,.,n),n为有限值,其算术平均值x 虽不是真值,但却是真 值x0 的最佳近似值,实际中总是用算术平均值代替真实值.为了与误差加以区别,将测量值xi 与平均值x 的差值称为偏差,用vi 表示,即 vi =xi -x. (1灢2灢10) 利用数理统计理论,可以得到对偏差进行估计的公式为 Sx = 1 n-1暺 n i=1 v2 i = 暺 n i=1 (xi -x)2 n-1 . (1灢2灢11) (1灢2灢11)式称为贝塞尔公式,Sx 称为单次测量的标准偏差,或测量列的标准偏差.如同值 x 是x0 的最佳估计值一样,Sx 是氁 的最佳估计值. (5)算术平均值的标准偏差 标准偏差Sx 表示的是取得x 的一组数据的离散性,如果在完全相同的条件下再重复测量 一组数据,由于随机误差的影响,不一定能得到完全相同的x,这说明算术平均值本身也具有 离散性.为了评定算术平均值的离散性,需引入算术平均值的标准偏差(亦称测量列的算术平 均值的标准偏差)Sx,误差理论给出的算术平均值的标准偏差公式为 Sx = Sx n = 1 n(n-1)暺 n i=1 (xi -x)2 . (1灢2灢12) 图1灢2灢3 t分布与正态分布的比较 (6)t分布 根据误差理论,当测量次数很少时(例如,少于10 次),随机误差分布将明显偏离正态分布,这时测量值 的随机误差将遵从t分布,也称学生分布.较之正态分 布,t分布概率密度分布曲线变得平坦,如图1灢2灢3所 示.当测量次数n曻 曓 时,t分布过渡到正态分布. 在有限次测量的 情 况 下,要 保 持 同 样 的 置 信 概 ·8· 大学物理实验

第1章测量误差与不确定度:9:率，显然要扩大置信区间，即在S，和S的公式的基础上再乘以一个大于1的因子tp，tp与测量次数n有关，也与置信概率P有关，表1-2-1给出了tp与测量次数n、置信概率P的对应关系，表1-2-1(p因子与测量次数n、置信概率P的对应关系测量次数n2345678910200otp(P=0.68)1. 841.321.201. 141.111. 091.081.071.061.031.00tp(P=0.95)12.714.303.182.782.572.452.362.312.262.091.96tp(P= 0.99)63.669.925.844.604.033.713.503.363.252.862.58由表1-2-1可见，当置信概率P=0.68时，tp因子随测量次数的增加而趋向于1，当n>6以后，tp与1的偏离并不大，故在进行误差估算时，当n≥6时，若置信概率取68.3%，可以不加修正注意，上面在讨论系统误差和随机误差时是分别进行的，也就是在没有随机误差的情况下研究系统误差，以及在系统误差可以不考虑的情况下研究随机误差，实际上对任何一次实验，既存在着系统误差，又存在着随机误差，只有一种误差的实验是不存在的.当然，有的实验因以系统误差为主，有的实验因以随机误差为主，而忽略另一种误差的存在1.2.3测量的精密度、正确度、准确度对测量结果作总体评定时，一般均应把系统误差和随机误差联系起来看.精密度、正确度和准确度都是评定测量结果好坏的，但是这些概念的含义不同，使用时应加以区别（1）精密度（precision）表示测量数据密集的程度，它反映随机误差的大小，与系统误差无关.若各测量值之间的差异较小，即数据集中，离散程度小，亦即随机误差小，这意味着测量精密度较高；反之，若各次测量值彼此差异较大，精密度也就较低，（2）正确度（correctness）表示测量值或实验结果接近真值的程度，它反映系统误差的大小，与随机误差无关，测量值越接近真值，系统误差越小，正确度越高；反之，系统误差越大，正确度越低（3）准确度（accuracy）文称精确度，是对测量结果中系统误差和随机误差的综合描述，反映广测量值既不偏离真值，又不离散的程度.对于实验和测量来说，精密度高正确度不一定高；而正确度高精密度也不一定高；只有精密度和正确度都高时，准确度才高，两者之一低或两者都低，准确度皆低(a)(b)(c)图1-2-4子弹着靶点分布图现在以打靶结果为例来形象说明3个“度”之间的区别.图1-2-4中，（a）表示子弹着靶点

率,显然要扩大置信区间,即在Sx 和Sx 的公式的基础上再乘以一个大于1的因子tP,tP 与测量 次数n有关,也与置信概率P 有关.表1灢2灢1给出了tP 与测量次数n、置信概率P 的对应关系. 表1灢2灢1 tP 因子与测量次数n、置信概率P 的对应关系 测量次数n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 曓 tP(P =0灡68) 1灡84 1灡32 1灡20 1灡14 1灡11 1灡09 1灡08 1灡07 1灡06 1灡03 1灡00 tP(P =0灡95) 12灡71 4灡30 3灡18 2灡78 2灡57 2灡45 2灡36 2灡31 2灡26 2灡09 1灡96 tP(P =0灡99) 63灡66 9灡92 5灡84 4灡60 4灡03 3灡71 3灡50 3灡36 3灡25 2灡86 2灡58 由表1灢2灢1可见,当置信概率P=0灡68时,tP 因子随测量次数的增加而趋向于1,当n>6 以后,tP 与1的偏离并不大,故在进行误差估算时,当n曒6时,若置信概率取68灡3%,可以不加 修正. 注意,上面在讨论系统误差和随机误差时是分别进行的,也就是在没有随机误差的情况下 研究系统误差,以及在系统误差可以不考虑的情况下研究随机误差.实际上对任何一次实验, 既存在着系统误差,又存在着随机误差,只有一种误差的实验是不存在的.当然,有的实验因以 系统误差为主,有的实验因以随机误差为主,而忽略另一种误差的存在. 1灡2灡3 测量的精密度、正确度、准确度 对测量结果作总体评定时,一般均应把系统误差和随机误差联系起来看.精密度、正确度 和准确度都是评定测量结果好坏的,但是这些概念的含义不同,使用时应加以区别. (1)精密度(precision) 表示测量数据密集的程度.它反映随机误差的大小,与系统误差无关.若各测量值之间的 差异较小,即数据集中,离散程度小,亦即随机误差小,这意味着测量精密度较高;反之,若各次 测量值彼此差异较大,精密度也就较低. (2)正确度(correctness) 表示测量值或实验结果接近真值的程度.它反映系统误差的大小,与随机误差无关.测量 值越接近真值,系统误差越小,正确度越高;反之,系统误差越大,正确度越低. (3)准确度(accuracy) 又称精确度,是对测量结果中系统误差和随机误差的综合描述,反映了测量值既不偏离真 值,又不离散的程度.对于实验和测量来说,精密度高正确度不一定高;而正确度高精密度也不 一定高;只有精密度和正确度都高时,准确度才高,两者之一低或两者都低,准确度皆低. 图1灢2灢4 子弹着靶点分布图 现在以打靶结果为例来形象说明3个“度暠之间的区别.图1灢2灢4中,(a)表示子弹着靶点 第1章 测量误差与不确定度 ·9·

大学物理实验:10:比较密集，但偏离靶心较远，说明随机误差小而系统误差天，即精密度高而正确度较差；（b）表示子弹着靶点比较分散，但没有明显的固定偏向，说明系统误差小而随机误差大，即正确度高而精密度较差；（c）表示子弹着靶点比较集中，且都接近靶心，说明随机误差和系统误差都小，即精密度和正确度都很高，亦即准确度高，1.3测量的不确定度由于测量误差是普遍存在且不可避免的，因而，对测量结果进行评价，以便提供测量结果的可靠程度的信息是十分必要的.无质量评价的测量结果是毫无意义的.过去人们习惯于用误差来评定测量质量，而误差是测量结果与被测量真值之差，可是，被测量真值在大多数情况下是未知的，这使得误差概念和误差分析在用于评定测量结果时显得既不完备，也难于操作，因而受到广泛质疑.因此，国际上现在越来越多的地区已不用误差来评价测量质量，而是用另一个物理概念一一不确定度来对测量结果进行质量评价1.3.1不确定度的概念实验不确定度，又称测量不确定度（uncertaintyofmeasurement），简称不确定度，是与测量结果相关的一个用于合理地表征测量结果离散性的参数，其含义是，被测量值由于测量误差的存在而不能确定的程度，它是对被测量真值在某一范围内的一个评定，“不能确定的程度”是通过“置信区间”和“置信概率”来表送的，如果不确定度为u，根据其含义可知，误（偏）差将以一定的概率出现在区间（一u，十u）之中，或者表示被测量u的真值以一定的概率落在置信区间（一u，十u）之中，显然，在相同置信概率的条件下，不确定度越小，其测量结果的可靠程度越高，即测量质量和使用价值也越高；反之，不确定度愈大，其测量结果的可靠程度愈低，即测量质量和使用价值也愈低，由此可见，测量结果的可靠性在很大程度上取决于其不确定度的大小，用不确定度来评价测量结果的质量比误差评价更合适.因此，在给出测量结果时，必须附加不确定度的说明才是完整和有意义的，1.3.2不确定度的分类测量不确定度的大小表示测量结果的可靠程度，按其数值的来源和评定方法，不确定度可分为A，B两类.(1)A类不确定度用测量列的统计分析评定的不确定度，也称统计不确定度，用ua（r）表示。(2)B类不确定度用非统计方法估计出的不确定度，又称非统计不确定度，用uB（工）表示A类不确定度和B类不确定度均能用标准差进行评定，所以有时亦分别称为A类标准不确定度和B类标准不确定度将不确定度分为A，B两类评定方法的目的，仅仅在于说明计算不确定度的两种不同途径，并非它们在本质上有什么区别.它们都基于某种概率分布，都能够用标准差定量地表达.因此，不能将它们混淆为随机误差和系统误差，简单地将A类不确定度对应于随机误差导致的不确定度，把B类不确定度对应于系统误差导致的不确定度的做法是不妥的

比较密集,但偏离靶心较远,说明随机误差小而系统误差大,即精密度高而正确度较差;(b)表 示子弹着靶点比较分散,但没有明显的固定偏向,说明系统误差小而随机误差大,即正确度高 而精密度较差;(c)表示子弹着靶点比较集中,且都接近靶心,说明随机误差和系统误差都小, 即精密度和正确度都很高,亦即准确度高. 1灡3 测量的不确定度 由于测量误差是普遍存在且不可避免的,因而,对测量结果进行评价,以便提供测量结果 的可靠程度的信息是十分必要的.无质量评价的测量结果是毫无意义的.过去人们习惯于用误 差来评定测量质量,而误差是测量结果与被测量真值之差,可是,被测量真值在大多数情况下 是未知的,这使得误差概念和误差分析在用于评定测量结果时显得既不完备,也难于操作,因 而受到广泛质疑.因此,国际上现在越来越多的地区已不用误差来评价测量质量,而是用另一 个物理概念 ——— 不确定度来对测量结果进行质量评价. 1灡3灡1 不确定度的概念 实验不确定度,又称测量不确定度(uncertaintyofmeasurement),简称不确定度,是与测 量结果相关的一个用于合理地表征测量结果离散性的参数,其含义是,被测量值由于测量误差 的存在而不能确定的程度,它是对被测量真值在某一范围内的一个评定. “不能确定的程度暠是通过“置信区间暠和“置信概率暠来表达的.如果不确定度为u,根据 其含义可知,误(偏)差将以一定的概率出现在区间(-u,+u)之中,或者表示被测量u的真值 以一定的概率落在置信区间(x-u,x+u)之中.显然,在相同置信概率的条件下,不确定度越 小,其测量结果的可靠程度越高,即测量质量和使用价值也越高;反之,不确定度愈大,其测量 结果的可靠程度愈低,即测量质量和使用价值也愈低.由此可见,测量结果的可靠性在很大程 度上取决于其不确定度的大小,用不确定度来评价测量结果的质量比误差评价更合适.因此, 在给出测量结果时,必须附加不确定度的说明才是完整和有意义的. 1灡3灡2 不确定度的分类 测量不确定度的大小表示测量结果的可靠程度.按其数值的来源和评定方法,不确定度可 分为 A,B两类. (1)A 类不确定度 用测量列的统计分析评定的不确定度,也称统计不确定度,用uA(x)表示. (2)B类不确定度 用非统计方法估计出的不确定度,又称非统计不确定度,用uB(x)表示. A 类不确定度和 B类不确定度均能用标准差进行评定,所以有时亦分别称为 A 类标准不 确定度和 B类标准不确定度. 将不确定度分为 A,B两类评定方法的目的,仅仅在于说明计算不确定度的两种不同途 径,并非它们在本质上有什么区别.它们都基于某种概率分布,都能够用标准差定量地表达.因 此,不能将它们混淆为随机误差和系统误差,简单地将 A 类不确定度对应于随机误差导致的 不确定度,把 B类不确定度对应于系统误差导致的不确定度的做法是不妥的. ·10· 大学物理实验

第1章测量误差与不确定度.111.3.3直接测量不确定度的评定1.A类不确定度的计算对一直接测量量进行多次测量就存在A类不确定度.A类不确定度可直接用测量列的算术平均值的标准偏差表示，即1UA=SI-SZ(ri-)*,(1-3-1)Nn(n-1)Vn式中n为测量次数，一般要求n≥6.2.B类不确定度的估算（1）用近似标准差估算B类不确定度是用不同于统计方法的其他方法计算的.在物理实验中，一般采用等价标准差的方法，便用该方法时，首先要估计一个误差极限值公，然后确定误差分布规律，利用关系式△=CuB(1-3-2)就可算出近似标准差，式中就是用近似标准差表示的B类不确定度，C为置信系数其值因误差分布规律不同而异：对于均匀分布，C=/3；对于三角分布，C=/6；对于正态分布C=3：对于其他分布，可以查找有关书籍获得其值在物理实验中，若B类不确定度只包括实验仪器误差，并将其近似视为估计误差极限值△，即△△仅，且将误差分布视作均匀分布，则有仅uB=(1-3-3)3下面对（1-3-3）式的来历作一简要说明均勾分布如图1-3-1所示，误差的概率密度分布函数为f(o)t724F(8)=[a, 8≤ /Aα /.(1-3-4)[0, 8>[△夜1.由概率密度分布函数的归一性f(8)=1有a=0+仅8△仪图1-3-1均匀分布六.由此可得到等价标准差满足2△仅六-2(8)d8=(1-3-5)32△仪等式两边开方后即为（1-3-3）式（2）实验仪器误差△仅实验中所用仪器不可能是绝对准确的，它会给测量结果带来一定的误差，这种误差称为仪器误差.仪器误差的来源很多，与仪器的原理、结构和使用环境等有关.在物理实验中，仪器误差公，是指在正确便用仪器的条件下，仪器的示值和被测量真值之间可能产生的最大误差，亦称仪器的最大允许误差或仪器误差限.通常仪器出厂时要在检定书中或仪器上注明仪器误差，注明方式大体有如下两种情况：①在仪器上直接标出或用准确度表示仪器的仪器误差.如标出准确度为0.05mm的游

1灡3灡3 直接测量不确定度的评定 1.A 类不确定度的计算 对一直接测量量进行多次测量就存在 A 类不确定度.A 类不确定度可直接用测量列的算 术平均值的标准偏差表示,即 uA =Sx = Sx n = 1 n(n-1)暺 n i=1 (xi -x)2 , (1灢3灢1) 式中n为测量次数,一般要求n曒6. 2.B类不确定度的估算 (1)用近似标准差估算 B类不确定度是用不同于统计方法的其他方法计算的.在物理实验中,一般采用等价标准 差的方法.使用该方法时,首先要估计一个误差极限值 殼,然后确定误差分布规律,利用关系式 殼=CuB (1灢3灢2) 就可算出近似标准差.式中uB 就是用近似标准差表示的 B类不确定度,C 为置信系数,其值因 误差分布规律不同而异:对于均匀分布,C= 3;对于三角分布,C= 6;对于正态分布,C=3; 对于其他分布,可以查找有关书籍获得其值. 在物理实验中,若 B类不确定度只包括实验仪器误差 殼仪 ,并将其近似视为估计误差极限 值 殼,即 殼=殼仪 ,且将误差分布视作均匀分布,则有 uB = 殼仪 3 . (1灢3灢3) 下面对(1灢3灢3)式的来历作一简要说明. 图1灢3灢1 均匀分布 均匀分布如图1灢3灢1所示,误差的概率密度分布函数为 f(毮)= a, 毮 曑 殼仪 , {0, 毮 > 殼仪 . (1灢3灢4) 由概率 密 度 分 布 函 数 的 归 一 性曇 +曓 -曓 f(毮)d毮 =1,有 a= 1 2殼仪 .由此可得到等价标准差满足 u2 B =曇 +曓 -曓 毮2f(毮)d毮=曇 +殼仪 -殼仪 毮2 1 2殼仪 d毮= 殼2 仪 3 , (1灢3灢5) 等式两边开方后即为(1灢3灢3)式. (2)实验仪器误差 殼仪 实验中所用仪器不可能是绝对准确的,它会给测量结果带来一定的误差,这种误差称为仪 器误差.仪器误差的来源很多,与仪器的原理、结构和使用环境等有关.在物理实验中,仪器误 差 殼仪 是指在正确使用仪器的条件下,仪器的示值和被测量真值之间可能产生的最大误差,亦 称仪器的最大允许误差或仪器误差限.通常仪器出厂时要在检定书中或仪器上注明仪器误差, 注明方式大体有如下两种情况: 栙 在仪器上直接标出或用准确度表示仪器的仪器误差.如标出准确度为0灡05 mm 的游 第1章 测量误差与不确定度 ·11·

.12.大学物理实验标卡尺，其仪器误差就是0.05mm此外：仪器误差通常可以在仪器量具说明书或技术标准中查到，表1-3-1列出了几种常用仪器技术指标及最大允许误差，②给出仪器的准确度级别，然后算出仪器误差.如电测量指示仪表的最大允许误差与仪表的准确度级别有关.电测量仪表的准确度级别分为7级：0.1.0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0.由仪表的准确度级别与所用量程可以推算出仪表的最大允许误差：A枚=量程×准确度级别(1-3-6)100电学仪表的准确度等级通常都刻写在度盘上，使用时应记下其准确度等级，以便计算△仅：表1-3-1常用仪器、量具的最大允许误差仪器量程分度值最大允许误差150mm1mm±0.10mm钢直尺500mm1mm±0.15mm1000mm1mm±0.20mm1 m1mm±0.8mm钢卷尺2m1mm±1.2mm0.02mm±0.02mm游标卡尺125mm0.05mm±0.05mm螺旋测微计（千分尺）0~25mm0.01mm±0.004mm±0.08g（满量程）七级天平± 0.06 g(量程）500g0. 05 g（物理天平）±0.04g（）量程）普通温度计1℃0～100℃±1℃（水银或有机溶剂）如果未注明仪器误差或仪器误差不清楚，通常做这样的规定：对于能连续读数（能对最小分度下一位进行估计）的仪器，取最小分度的一半作为仪器误差，如米尺、螺旋测微计、读数显微镜等：对于不能连续读数的仪器就以最小分度作为仪器误差，如游标类仪器、数字式仪表等，应当说明，最大允许误差是指所制造的同型号同规格的所有仪器中可能产生的最大误差，并不表明每一台仪器的每个测量值都有如此大的误差，它既包括仪器在设计、加工、装配过程中乃至材料选择中的缺欠所造成的系统误差，也包括正常使用过程中测量环境和仪器性能随机涨落的影响，（3）根据实际情况估计误差极限值由于误差来源不同，相应的B类不确定度可能就不止一个.例如在拉伸法测杨氏模量实验会外，还有测量时因卷尺不能准确中，用卷（米）尺测金属丝原长时，除卷尺的仪器误差uB/3会，其中的A就是通过实际地对准金属丝两端产生的误差△信，其相应的B类不确定度ue=V3

标卡尺,其仪器误差就是0灡05 mm.此外,仪器误差通常可以在仪器量具说明书或技术标准中 查到,表1灢3灢1列出了几种常用仪器技术指标及最大允许误差. 栚 给出仪器的准确度级别,然后算出仪器误差.如电测量指示仪表的最大允许误差与仪 表的准确度级别有关.电测量仪表的准确度级别分为7级:0灡1,0灡2,0灡5,1灡0,1灡5,2灡5,5灡0.由 仪表的准确度级别与所用量程可以推算出仪表的最大允许误差: 殼仪 =量程 暳 准确度级别 100 . (1灢3灢6) 电学仪表的准确度等级通常都刻写在度盘上,使用时应记下其准确度等级,以便计算殼仪 . 表1灢3灢1 常用仪器、量具的最大允许误差 仪器 量程 分度值 最大允许误差 钢直尺 150 mm 500 mm 1000 mm 1 mm 1 mm 1 mm 暲0灡10 mm 暲0灡15 mm 暲0灡20 mm 钢卷尺 1m 2m 1 mm 1 mm 暲0灡8 mm 暲1灡2 mm 游标卡尺 125 mm 0灡02 mm 0灡05 mm 暲0灡02 mm 暲0灡05 mm 螺旋测微计(千分尺) 0~25 mm 0灡01 mm 暲0灡004 mm 七级天平 (物理天平) 500g 0灡05g 暲0灡08g(满量程) 暲0灡06g(1 2 量程) 暲0灡04g(1 3 量程) 普通温度计 (水银或有机溶剂) 0~100曟 1曟 暲1曟 如果未注明仪器误差或仪器误差不清楚,通常做这样的规定:对于能连续读数(能对最小 分度下一位进行估计)的仪器,取最小分度的一半作为仪器误差,如米尺、螺旋测微计、读数显 微镜等;对于不能连续读数的仪器就以最小分度作为仪器误差,如游标类仪器、数字式仪表等. 应当说明,最大允许误差是指所制造的同型号同规格的所有仪器中可能产生的最大误差, 并不表明每一台仪器的每个测量值都有如此大的误差.它既包括仪器在设计、加工、装配过程 中乃至材料选择中的缺欠所造成的系统误差,也包括正常使用过程中测量环境和仪器性能随 机涨落的影响. (3)根据实际情况估计误差极限值 由于误差来源不同,相应的B类不确定度可能就不止一个.例如在拉伸法测杨氏模量实验 中,用卷(米)尺测金属丝原长时,除卷尺的仪器误差uB1 = 殼仪 3 外,还有测量时因卷尺不能准确 地对准金属丝两端产生的误差殼估 ,其相应的B类不确定度uB2= 殼估 3 ,其中的殼估 就是通过实际 ·12· 大学物理实验

第1章测量误差与不确定度13.情况估计的，在该情形下，测量量的B类不确定度为uB一u十u3.合成不确定度的评定一个测量结果，一般情况下总是存在不同性质的A类不确定度和B类不确定度，总的不确定度应该由两个不确定度共同决定.由于二者是相互独立的，所以，它们可以直接合成，在大学物理实验中采用方和根法则进行合成，合成后的总不确定度称为合成不确定度，用uc表示，即uc=yu+u(1-3-7)例1-3-1用50分度游标卡尺（最大允许误差为0.02mm）测一圆环的宽度，其数据如下：w=15.272，15.276，15.268，15.274，15.270，15.274，15.268,15.274,15.272（单位为cm），求合成不确定度uc.解在计算合成不确定度uc前，要先分别计算A类和B类不确定度.A类不确定度由（1-3-1）式计算12(w m): =0.000 9 (cm).UA-SNn(n-1)台B类不确定度由（1-3-3）式计算u 岁-0. 002 m =0. 001 (cm).33合成不确定度由（1-3-7）式计算uc=/u+u=/(0.0009)2+（0.0012)z=0.0015（cm).4.单次测量不确定度的评估单次测量不存在采用统计方法计算的A类不确定度，因此，单次测量的合成不确定度就等于B类不确定度.1.3.4间接测量不确定度的评定间接测量往往是通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量，间接测量结果的不确定度，即函数的不确定度，是由所有相关的各自独立的直接测量量的不确定度共同决定的.由直接测量的不确定度计算间接测量量的不确定度称为不确定度的传递设间接测量量y与直接测量量r1，32.""，有函数关系y=f(ri.r,",rn)(1-3-8)ri，12，r~相互独立.对（1-3-8）式全微分后有afdrn=fdr.afdri++fdr++dy=Srd(1-3-9)+ax2Farn台ar若对（1-3-8）式取对数后再进行全微分，则有alnfdr.dy_alnfdr, +++lnfdr++alnfdrn=(1-3-10)+ararNyarari-不确定度都是微小量，与微分式中的增量相当.只要把微分式中的增量符号dy，dr，dr，."*，dr换成不确定度的符号u（y），u（ri），u（r2），.""u（），再采用某种合成方式合成就可以得到不确定度的传递公式，合成方式有多种，其中最合理、最能满足评定工作的合成方式是方和根合成.如果各直接

情况估计的.在该情形下,测量量的 B类不确定度为uB = u2 B1 +u2 B2 . 3.合成不确定度的评定 一个测量结果,一般情况下总是存在不同性质的A类不确定度和B类不确定度,总的不确 定度应该由两个不确定度共同决定.由于二者是相互独立的,所以,它们可以直接合成.在大学 物理实验中采用方和根法则进行合成,合成后的总不确定度称为合成不确定度,用uC 表示,即 uC = u2 A +u2 B . (1灢3灢7) 例1灢3灢1 用50分度游标卡尺(最大允许误差为0灡02mm)测一圆环的宽度,其数据如下: w= 15灡272,15灡276,15灡268,15灡274,15灡270,15灡274,15灡268,15灡274,15灡272(单位为cm),求合成 不确定度uC. 解 在计算合成不确定度uC 前,要先分别计算 A 类和 B类不确定度. A 类不确定度由(1灢3灢1)式计算 uA =Sw煆 = 1 n(n-1)暺 n i=1 (wi -w煆)2 =0灡0009(cm). B类不确定度由(1灢3灢3)式计算 uB = 殼仪 3 = 0灡002cm 3 =0灡0012(cm). 合成不确定度由(1灢3灢7)式计算 uC = u2 A +u2 B = (0灡0009)2 + (0灡0012)2 =0灡0015(cm). 4.单次测量不确定度的评估 单次测量不存在采用统计方法计算的 A 类不确定度.因此,单次测量的合成不确定度就 等于 B类不确定度. 1灡3灡4 间接测量不确定度的评定 间接测量往往是通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量.间接测量结 果的不确定度,即函数的不确定度,是由所有相关的各自独立的直接测量量的不确定度共同决 定的.由直接测量的不确定度计算间接测量量的不确定度称为不确定度的传递. 设间接测量量y与直接测量量x1,x2,.,xN 有函数关系 y=f(x1,x2,.,xN ). (1灢3灢8) x1,x2,.,xN 相互独立.对(1灢3灢8)式全微分后有 dy= 灥f 灥x1 dx1 + 灥f 灥x2 dx2 + . + 灥f 灥xN dxN =暺 N i=1 灥f 灥xi dxi. (1灢3灢9) 若对(1灢3灢8)式取对数后再进行全微分,则有 dy y = 灥lnf 灥x1 dx1 + 灥lnf 灥x2 dx2 + . + 灥lnf 灥xN dxN =暺 N i=1 灥lnf 灥xi dxi. (1灢3灢10) 不确定度都是微小量,与微分式中的增量相当.只要把微分式中的增量符号dy,dx1,dx2, .,dxN 换成不确定度的符号u(y),u(x1),u(x2),.,u(xN ),再采用某种合成方式合成就可 以得到不确定度的传递公式. 合成方式有多种,其中最合理、最能满足评定工作的合成方式是方和根合成.如果各直接 第1章 测量误差与不确定度 ·13·