《高等数学》课程教学资源（PPT讲稿）第七章 微分方程

头一M中 第七章微分方程 已知y′=f(x)求y一积分问题 推广 已知含y及其若干阶导数的方程,求y ,yy"微分方程问题

第七章 微分方程 已知 y  = f (x),求 y — 积分问题 已知含y y 及其若干阶导数的方程,求 — 微分方程问题 推广

第一节微分方程的概念 、问题的提出 2 例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程 解设所求曲线为y=y(x) d=2x其中x=时,y=2h字 dx y=J2xx即y=x2+C,求得C=1 所求曲线方程为 y=x2+1 例文正学院

2 文正学院 例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y = y(x) x dx dy = 2  y = 2xdx 其中 x = 1时, y = 2 , 2 即 y = x + C 求得C = 1, 1 . 2 所求曲线方程为 y = x + 一、问题的提出 第一节 微分方程的概念

二、微分方程的定义 、微分方程 凡含有未知函数的导数成微分的方程叫微分方程 例y=x,y"+2y'-3y=e,y-+2= (2+x)d+Mht=0,0=x+y, 实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式 例文正学院 3

3 文正学院 1、微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 y = xy, ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = 2 3 , x y + y − y = e x y, x z = +   实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的定义

分类1:常微分方程,偏常微分方程 2、微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最 4 高阶导数的阶数称之y+21=2×+的=3 分类2: 阶微分方程F(x,y,y)=0,y'=f(x,y) 高阶(微分方程F(x,y,y,…,y")=0 ym=f(x,y,y,…,yn") 例文正学院

4 文正学院 2、微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类1: 常微分方程, 偏常微分方程. 一阶微分方程 F(x, y, y) = 0, y = f (x, y); 高阶(n)微分方程 ( , , , , ) 0, ( )  = n F x y y  y ( , , , , ). ( ) ( −1) =  n n y f x y y  y 分类2:

孩性 分类3:线性与非线性微分方程.+2×=8 0y+P(x)=Q(x),Xx(y)-2y+x=0 分类4:单个微分方程与微分方程组 「的 =3y-2z, dz y-o 例文正学院 5

5 文正学院 分类3: 线性与非线性微分方程. y + P(x) y = Q(x), ( ) 2 0; 2 x y − yy + x = 分类4: 单个微分方程与微分方程组.      = − = − 2 , 3 2 , y z dx dz y z dx dy

三、主要问题一求方程的解 1、微分方程的解:之赵岁 2+、(X91)=0 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为 微分方程的解上(%y…9=己 设y=x)在区间/上有n阶导数,-2= C十C F(xp(x),p(x),…p(x)=0 2X-2三 2、微分方程的解的分类: (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同 例文正学院 6

6 文正学院 1、微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为 微分方程的解. 设y = (x)在区间 I 上有 n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x  x  x  x =  n 2、微分方程的解的分类： 三、主要问题-----求方程的解 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同

y=SL+C2C 例y=y,/通解p=e; 小=64X+C28 y+y 0,通解y= c sinx+c2cosx; M=Six+Co)X 2 (2)特解:确定了通解中任意常数以后的解 y=xtC L3) 3、初始条件:用来确定任意常数的条件 (X = 千(x984)=0.3=时10,=影 x=×2=y 例文正学院 7

7 文正学院 (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 例 y = y, ; x 通解 y = ce y + y = 0, sin cos ; 通解 y = c1 x + c2 x 3、初始条件: 用来确定任意常数的条件

4、初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题 f(x,y) 甲(x93)= 阶 过定点的积分曲线! =Xo X=x y=f(x,v,y) 阶 = 05x=x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 例文正学院 8

8 文正学院 过定点的积分曲线;    =  = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 二阶:    =  =   =  = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 4、初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题

例2验证函数x=c1cost+c2sinM是微分方程 d 2x 女2+kx=0的解.并求满足初始条件 xa=A,=0的特解 x'=ck X=-C2kCok+-s比t =cao+(28心→9=4 {t=0=0 o=-ckunoc2kaso X=ACokt 例文正学院 9

9 文正学院 例 2 验证:函数 x c cos kt c sinkt = 1 + 2 是微分方程 0 2 2 2 + k x = dt d x 的解. 并求满足初始条件 , 0 0 0 = = = = t t dt dx x A 的特解

04,所价 刘 思考题 y=fix, y) 函数y=3e是微分方程y-4y=0 的什么解? 27 2Ⅹ 32e 例文正学院 10

10 文正学院 思考题 函数 x y e 2 = 3 是微分方程y  − 4 y = 0 的什么解?