上海大学：凸体几何中的极值问题（PPT讲稿，数学系：冷岗松）

凸体几何中的极值问题 冷岗松 上海大学数学系 2006.04.07 2021/2/

2021/2/1 1 凸体几何中的极值 问 题 冷 岗 松 上海大学数学系 2006. 04. 07

最主要的,我要跟大家说的是立体几何在数 学中是很重要而圆难的部分。即使平面几何也可 能很強。到了立体时,则更为复杂。近年来对碳 60C60)的研究显示了几何在化学中的应用。多面 体图形的几何性质对国态物理也有重大的作用。 球装不过是立体几何的一个问题。立体几何是大 有前途的。 陈省身 在庆祝自然科学基金制设立15周年和国家自然科学基金委员会成 立10周年之际,以《中国的数学》为题发表的讲演 2021/2/

2021/2/1 2 最 主 要 的， 我 要 跟 大 家 说 的 是 立 体 几 何 在 数 学 中 是 很 重 要 而 困 难 的 部 分。 即 使 平 面 几 何 也 可 能 很 难。 到 了 立 体 时， 则 更 为 复 杂。 近 年来 对 碳 60 (C60) 的 研 究 显 示了 几 何 在 化 学 中 的应 用。 多 面 体 图 形 的 几 何 性 质 对 固 态 物 理 也 有 重 大 的 作 用。 球装不 过 是 立 体 几 何 的 一 个 问 题。 立 体 几 何 是 大 有 前 途 的。 陈省身 在 庆 祝 自 然 科 学 基 金 制 设 立 15 周 年 和 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 成 立 10 周 年 之 际， 以 《中 国 的 数 学》 为 题 发 表的讲 演

学科介绍 凸体的Brun- Minkowski理论 Lutwak的对偶 Brunn- Minkowski理论 p- Brunn- Minkowski理论 几何断层学( Geometric Tomography) 2021/2/

2021/2/1 3 一 . 学科介绍: • 凸体的 Brunn-Minkowski 理论. • Lutwak的对偶Brunn-Minkowski理论. • Lp- Brunn-Minkowski理论. • 几何断层学(Geometric Tomography)

凸体的 Brunn-Minkowski理论 凸体:R中有非空内点的紧致凸集 凸体的支撑函数:设K是R中的一个凸体那么 它的支撑函数(K,u)=khx(u)定义为 hx()=max{(u,x)x∈K} ∈ 凸体的 Minkowski和:设K,L是R中的凸体 K+L={x+yx∈K,y∈D} 分冷hk+(l)=hx()+h() 2021/2/

2021/2/1 4 凸体的Brunn-Minkowski 理论 • 凸体： 中有非空内点的紧致凸集. • 凸体的支撑函数：设K是 中的一个凸体那么 它的支撑函数 定义为 • 凸体的Minkowski和： 设K，L是 中的凸体 n R ( ) max{ , | }, . −1 =   n hK u u x x K u S n R h(K,u) h (u) = K K + L ={x + y | x K, y  L}. h (u) h (u) h (u).  K+L = K + L n R

混合体积( Mixed volume Minkowski定理:设K为R"中的凸体,A≥0 V(K1+…+K)=∑∑(K,…,K1 设K,L是R中的凸体,那么 V(K, n-l; L)=lim V(K+EL)-V(K E PV(K, n-1; D)=h(u)ds(K,u) 2021/2/

2021/2/1 5 混合体积(Mixed volume) • Minkowski定理：设 为 中的凸体， • 设K，L是 R n 中的凸体，那么 . ( ) ( ) ( , 1; ) lim 0    V K L V K V K n L + − − = → + ( ) ( , ). 1 ( , 1; ) 1  −  − = n S hL u dS K u n V K n L ( ... ) ... ( ,..., ) ... . 1 1 1 1 1 n n n i i r i r i V  K + + r Kr = V Ki Ki   Ki i  0 n R

Steiner对称与亮度函数 K SK u Steiner对称 K 度函数 (brightness function) bk(u)=v(Ku) K 2021/2/

2021/2/1 6 Steiner 对称 ( ) ( ) ⊥ bK u =V K u 亮度函数 (brightness function) ⊥ K u ⊥ u u K K Su K Steiner 对称与亮度函数

投影体( Projection Bodies ∏K K .5 2021/2/

2021/2/1 7 投影体(Projection Bodies) hK = bK

Aleksandrov投影定理 对于原点对称的两个凸体K和L bk(u)=b(uv→K=L bky=,JvdS(K,n)如影公式 K的表面积测度 2021/2/ 8

2021/2/1 8 Aleksandrov 投影定理 对于原点对称的两个凸体 K 和 L,  − =  1 | ( , ) 2 1 n S b (u) |u v dS K v K b (u) b (u) u K L. K = L   = Cauchy投影公式 K的表面积测度

Shephard问题 Shephard(1964)问 对于原点对称的凸体K和L,是否有 b()≤b),Vu→V(K)sv(D)? Pety和 Schneider(1967)分别给出了否定的 回答,并证明了当L为投影体或n=2时结论成 2021/2/ 9

2021/2/1 9 Shephard问题 • Shephard (1964)问: 对于原点对称的凸体 K 和 L, 是否有 • Petty 和 Schneider (1967)分别给出了否定的 回答，并证明了当L为投影体或 时结论成 立. , ( ) ( )? K L b (u) b (u) u V K V L    n = 2

Shephard问题的一个反例 Petty和 Schneider(1967)给出的一个反例 K 反例 2021/2/

2021/2/1 10 Shephard问题的一个反例 • Petty 和 Schneider (1967)给出的一个反例. K L 反例