《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 多元函数微分学及其应用 第一节 多元函数的基本概念

第九章 多元画飘微分法 及其应用 一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意:善于类比,区别异同 AD 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 推广 第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用

第一节 第九章 多元画飘的基碑念 平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 AD 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第一节 第九章 一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 多元函数的基本概念

平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集 记作E={(xy)(x,y)具有性质P} 1.邻域( neighborhood) 设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,δ是某 正数,与点P(x0,y)距离小于δ的点P(x,y) 的全体,称为点的邻域,记为U(P0,0), U(P0, 8)=PIPPo k8 xy)(x-x)+(y-)<b (圆邻域) 说明:若不需要强调邻域半径δ,也可写成U() 点P的去心邻域记为U()={P|0<≤8 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 0 0   PP δ 一、 平面点集 1. 邻域(neighborhood) = ( , ) x y  (圆邻域) 说明: 若不需要强调邻域半径 ,也可写成 0 U P( ). 点 P0 的去心邻域记为 坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为平面点集. 记作 具有性质 ( , ) | ( , ) . E x y x y P =  设 ( , ) 0 0 0 P x y 是xoy平面上的一个点， 是某 一正数，与点 ( , ) 0 0 0 P x y 距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0的 邻域，记为 ( , ) U P0  ， U(P0 , ) = P | PP0 |    P0 •

在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆 邻域可以互相包含 平面上的方邻域为 U(P6)={(xy) 2/<d l y-yo8) AD 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 U P( , ) ( , ) 0 δ x y =   。 P0 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含

2.区域( domain) (1)内点、外点、边界点 设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点, 它们之间的关系有如下三种: 内点 外点 E 边界点 AD 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 2. 区域(domain) (1) 内点、外点、边界点 设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点， 它们之间的关系有如下三种： E P • P • P • 内点 外点 边界点

(i)内点 如果存在点P的某一邻域U(P)cE, 则称P为E的内点 记E的所有内点的全体为E E 例如:E={x,y1<x2+y2<4 此时E=E 但一般情形下:EcE AD 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 E P • . ( ) 则 称 为 的内点 如果存在点 的某一邻域 ， P E P U P  E （i） 内点 {( , )1 4} 2 2 例如：E = x y  x + y  x y o E E  记 的所有内点的全体为 E E 但一般情形下： 此时 E E =

(i)外点: 如果存在点P的某一领域不含有E中的点 (U(P)∩E=Φ),则称P为E的外点。 E 显然E的外点必然不属于E。 AD 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 （ii）外点： 如果存在点P的某一领域不含有 E 中的点 (U(P) E = ),则 称P为E的外点。 E • P 显然E的外点必然不属于E

(i)边界点 如果点P的任一个邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点(WU(P)E≠, U(P)∩E≠⑧),则称P为E的边界点 记E的所有边界点的全体为E.ty 例如 E={(x,y)1<x2+y2<4 E OE=(x,y)x2+y2=1,x2+y2=4} 注:E的边界点本身可以属于E,也可以不属于E AD 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 E P • （ii）边界点 ( ) , ( ) c P E E U P E U P E P E         如果点 的任一个邻域内既有属于 的点， 也有不属于 的点（ ），则称 为 的边界点． 例如. {( , )1 4} 2 2 E = x y  x + y  E ={( , ) 1, 4} 2 2 2 2 x y x + y = x + y = x y o 记 的所有边界点的全体为 E E . 注：E的边界点本身可以属于E，也可以不属于E

(2)聚点 若对任意给定的δ,点P的去心 E 邻城U(P,δ)内总有E中的点,则 称P是E的聚点 聚点可以属于E,也可以不属于E 因为聚点可以为E的边界点) 所有E的聚点所成的点集成为E的导集,记作E 例如,{(x,y)|0<x2+y2≤1 E={(x,y)|0≤x2+y2≤1} (0,0)是聚点但不属于集合 AD 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 (2) 聚点 若对任意给定的 , 点P 的去心 E 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有E 的聚点所成的点集成为 E 的导集 , 记作 E 的边界点 ) E . {( , )| 0 1} 2 2 例如, x y  x + y  {( , )| 0 1} 2 2 E = x y  x + y  (0,0) 是聚点但不属于集合．

内点一定是聚点; 边界点可能是聚点; nh、13 例如,{(,-) 集合中的点都是边界点,但不是聚点 0,0)是聚点 AD 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 内点一定是聚点； 边界点可能是聚点； )| 1,2,3, } 1 , 1 {( n =  n n 例如， (0,0)是聚点． 集合中的点都是边界点，但不是聚点