西安电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 参数估计（主讲：董庆宽）

第七章参数估计 §71点估计 ●§72基于截尾样本的最大似然估计 §73估计量的评选标准 §74区间估计 ●§7.5正态总体均值和方差的区间估计 §7.6(0-1)分布参数的区间估计 §77单侧置信区间 2/103

2/103 第七章 参数估计  §7.1 点估计  §7.2 基于截尾样本的最大似然估计  §7.3 估计量的评选标准  §7.4 区间估计  §7.5 正态总体均值和方差的区间估计  §7.6 (0－1)分布参数的区间估计  §7.7 单侧置信区间

§71点估计 从本章开始讨论统计推断的两类基本问题:参数 估计和假设检验问题,本章讨论总体参数的点估计和 区间估计。参数估计问题是利用从总体抽样得到的信 息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数 估计新生儿的平均体重 估计废品率 估计平均降雨量 估计湖中鱼数“ 3/103

3/103 从本章开始讨论统计推断的两类基本问题：参数 估计和假设检验问题，本章讨论总体参数的点估计和 区间估计。参数估计问题是利用从总体抽样得到的信 息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 估计废品率 估计新生儿的平均体重 估计湖中鱼数 … … 估计平均降雨量 §7.1 点估计

§7.1点估计 问题:在总体形式已知时,对参数进行估计,有3个问题: (1)估计值?(点估计) (2)统计量选择的科学性(评选标准) (3)估计值的可信度?(区间估计) ●点估计: 设总体X的分布函数的形式为已知,但它的一个或多个 参数为未知,借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数 的值的问题称为参数的点估计问题 如:已知X~Nu,o2),但参数u,02为未知,需要估计 4/103

4/103 §7.1 点估计  问题：在总体形式已知时，对参数进行估计，有3个问题： (1) 估计值?(点估计) (2) 统计量选择的科学性（评选标准） (3) 估计值的可信度？（区间估计）  点估计： 设总体X的分布函数的形式为已知，但它的一个或多个 参数为未知，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数 的值的问题称为参数的点估计问题  如：已知X～N(μ,σ 2 )，但参数μ,σ 2为未知，需要估计

§71点估计 ●点估计问题用数学模型来描述: 设总体X的分布函数F(x;)的形式为已知,O是待估参数, X1,X2…,X是X的一个样本,x1,x2,,x是相应的一个样本 值 点估计问题就是要基于样本构造一个适当的统计量(X1, X2,,Xn),并用它的一个观察值(x1,x2,,xn)作为未知参 数的近似值。 称O(X1,X2,,X)为0的估计量,(x1,x2,xn)为0的估计值 不致混淆情况下,称估计量和估计值为估计,并都简记为 估计量是样本的函数,样本值不同,O的估计值一般不同, 这体现了样本的个性 5/103

5/103 §7.1 点估计  点估计问题用数学模型来描述： ⚫ 设总体X的分布函数F(x; θ)的形式为已知，θ是待估参数， X1 ,X2 ,…,Xn是X的一个样本，x1 , x2 ,…, xn是相应的一个样本 值 ⚫ 点估计问题就是要基于样本构造一个适当的统计量 (X1 , X2 ,…,Xn )，并用它的一个观察值 (x1 , x2 ,…, xn )作为未知参 数的近似值。 ⚫ 称 (X1 ,X2 ,…,Xn )为θ的估计量， (x1 , x2 ,…, xn )为θ的估计值  不致混淆情况下，称估计量和估计值为估计，并都简记为 ⚫ 估计量是样本的函数，样本值不同，θ 的估计值一般不同， 这体现了样本的个性  ˆ  ˆ  ˆ  ˆ  ˆ

§71点估计 ●例1:某炸药厂,一天中发生着火现象的次数X~(4)泊松分布,参数 未知,现有以下样本值,试估计参数。 着火次数k0123456 发生k次着火的天数n75905422621|总计250天 解:首先找到一个对的估计量 已知=E(X),而样本均值的数学期望E(X=E(X),即4kAke1 所以可以用样本均值X来估计总体均值λ 样本容量为250,均值相当于250天的着火次数相加250 即的估计量=E(X)=∑X,m=250 估计值=E(X)=2∑X4=20(0×75+1×90+…+6×1)=122 ●可见对未知参数的估计量的构造方法是值得研究的 6/103

6/103 §7.1 点估计  例1：某炸药厂，一天中发生着火现象的次数X～π(λ)泊松分布，参数λ 未知，现有以下样本值，试估计参数λ。 着火次数k 0 1 2 3 4 5 6 发生k次着火的天数nk 75 90 54 22 6 2 1 总计250天  解：首先找到一个对λ的估计量 已知λ＝E(X)，而样本均值的数学期望E( )＝E(X)，即Ak μk |k=1 所以可以用样本均值 来估计总体均值λ 样本容量为250，均值相当于250天的着火次数相加/250  即λ的估计量 ＝ ，n＝250  λ的估计值 ＝ ＝ =1.22  可见对未知参数的估计量的构造方法是值得研究的 X ⎯⎯P →  ˆ = = n k Xk n E X 1 1 ( ) ˆ  ˆ ( ) E ˆ X (0 75 1 90 6 1) 250 1 250 1 250 1  =  +  + +  =  k Xk X

§71点估计 ≥有两种典型的点估计方法: 矩估计法和最大似然估计法 (-)矩估计法 它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计 方法 是英国统计学家K皮尔逊最早提出的 其基本思想是用样本矩估计总体矩 理论依据是大数定律 7/103

7/103 §7.1 点估计  有两种典型的点估计方法： ⚫ 矩估计法和最大似然估计法  (一)矩估计法 ⚫ 它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计 方法 ⚫ 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 ⚫ 其基本思想是用样本矩估计总体矩 ⚫ 理论依据是大数定律

§7.1点估计 ≥可以通过构造样本矩来构造估计量,因为总体矩 总可以表示为未知参数的函数,如果令总体矩等 于样本矩的观察值,则构建了一个等式 ≥设X为连续型随机变量,概率密度为 fx;1,2,,bk) ●或X为离散型随机变量,其分布律为 PX=x}=p(x;61,62,,k 其中61,O2,,0为待估的k个未知参数, X1,X2…,X是来自总体X的样本 8/103

8/103 §7.1 点估计  可以通过构造样本矩来构造估计量，因为总体矩 总可以表示为未知参数的函数，如果令总体矩等 于样本矩的观察值，则构建了一个等式  设X为连续型随机变量，概率密度为 f(x; θ1 , θ2 ,…, θk )  或X为离散型随机变量，其分布律为 P{X=x}＝p(x; θ1 , θ2 ,…, θk ) ⚫ 其中θ1 , θ2 ,…, θk为待估的k个未知参数， ⚫ X1 ,X2 ,…,Xn是来自总体X的样本

§7.1点估计 ≥假设总体X的前阶总体矩存在,记为1,2,yk, 其中对任意的u X为连续型:H=ECNJ。xf(x:,,…,) 或离散型:=E∑x(x;1,日,…) 它们都是待估参数61,O2…,0k的函数,写成方程 组得「A1=A(1,0,,0) 2=2(1,61,…,6 Ak(61 19015y 9/103

9/103 §7.1 点估计  假设总体X的前k阶总体矩存在，记为μ1 , μ2 ,…,μk， 其中对任意的μl有 X为连续型：μl＝E(Xl )＝ 或离散型：μl＝E(Xl )＝  它们都是待估参数θ1 , θ2 ,…, θk的函数，写成方程 组得   − x f x k dx l ( ; , , , ) 1 1   ( ; , , , ) 1 1 1 i k i l  xi p x      =        = = = ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 k k k k k                   

§7.1点估计 ●一般情况下,包含个未知参数的方程组可以求出k个未知 参数,即[1=0(1,,…,从) 62=62(1,A1,…,Ak) 6=64(A1,41,…,) ●但总体矩的形式容易求得,即待估参数的函数,但实际值 未知,而我们有辛钦定理的推论,即 若总体X的阶矩E(XY)=H存在,则由辛钦定理,当n→0 时,样本阶矩4=∑X4→→A,k=1,2, 由依概率收敛的性质知道 g(41,A2,,A)-+>g(4122…,1k),g为连续函数 10/103

10/103 §7.1 点估计  一般情况下，包含k个未知参数的方程组可以求出k个未知 参数，即  但总体矩的形式容易求得，即待估参数的函数，但实际值 未知，而我们有辛钦定理的推论，即 若总体X的k阶矩E(Xk )＝μk存在，则由辛钦定理，当n→∞ 时，样本k阶矩Ak μk，k＝1,2,…， 由依概率收敛的性质知道 g(A1 , A2 ,…, Ak ) g(μ1 , μ2 ,…, μk )，g为连续函数        = = = ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 k k k k k                    =  ⎯→ = P n i k Xi n 1 1 ⎯⎯P →

§71点估计 因此我们就以样本阶矩4代替上式中的总体阶矩μ,l 1,2,k,并以 01=6(4,42,…,4),l=1,2…k 作为未知参数的估计量,l=1,2,…k,这种估计量称为矩 估计量,矩估计量的观察值称为矩估计值 ●矩估计法定义: 象以上过程那样,基于样本矩依概率收敛于总体矩, 并进而有样本矩的连续函数依概率收敛于总体矩的连续函 数的性质,而用样本矩(或样本矩的连续函数)作为相应 的总体矩(或总体矩的连续函数)的估计量,这种估计方 法称为矩估计法。 11/103

11/103 §7.1 点估计  因此我们就以样本l阶矩Al代替上式中的总体l阶矩μl，l＝ 1,2,…k，并以 ＝ (A1 , A2 ,…, Ak ) ，l＝1,2,…k 作为未知参数 的估计量，l＝1,2,…k，这种估计量称为矩 估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值  矩估计法定义：  象以上过程那样，基于样本矩依概率收敛于总体矩， 并进而有样本矩的连续函数依概率收敛于总体矩的连续函 数的性质，而用样本矩（或样本矩的连续函数）作为相应 的总体矩（或总体矩的连续函数）的估计量，这种估计方 法称为矩估计法。  l ˆ  l  l