四川大学：《微积分》课程教学资源（试卷习题）定积分例题 Calculus

Cus定积分例题 UNI cC scu edu. cn微积分(经济类,物理类)

Calculus 定积分例题 cc.scu.edu.cn 微积分（经济类，物理类）

例估计定积分1 sinx dx的值 解 SInx 设f(x)= 首先求出(x在区间乙,x|上的最小值 m和最大值M x cosx -sinx (r-tan.x) cos x x2 x2 丌兀 当 x∈ ,x<tanx,故 42 202/21

2021/2/1 2 例 估计定积分 dx 的值 x x  24 sin 1  x x f x sin 设 ( ) = m Mf x 和最大值 首先求出 在区间 上的最小值   2 , 4 ( )   2 2 cos sin ( tan ) cos ( ) x x x x x x x x f x −  = −  = 当 时, tan ,故 2, 4 x x  x      [解]

→r(x)<0x∈t, →f(x)在乙,上严格单调减 42 丌、2√2 →m=∫()=-M=∫()= 丌、r5Sinx,.2√2,丌兀 爪 4 x 丌 1. c, Sinx dx< x 202/21

2021/2/1 3 ] 2 , 4 ( ) 0 [   f  x  x  在 上严格单调减       2 , 4 ( )   f x   2 ) 2  m = f ( =   2 2 ) 4 M = f ( = ) 2 4 ( 2 2 ) 2 4 ( 2 2 4          −   −  dx x Sinx 2 2 2 1 2 4      dx x Sinx 即

丌 例4证明 lim. sin2xa=0(00J0 诞利用估值定理 sin"x在,a上单调增加 →0<sin" x< sin"a →0s|sin"xb≤a·sin"a 0<a<-,∴0<sina<1 limin"a=0 n-→0 故根据夹逼定理得到 lim[ sin'"xdr=0 n→)J0 202/21

2021/2/1 4 ) 2 [ 4] lim sin 0 (0 0  =    → x dx a a n n 例 证明 [证] 利用估值定理 sinn x在[0, a]上单调增加 x a n n  0  sin  sin xdx a a n a n 0 sin sin 0      , 0 sin 1 2 0  a    a    limsin = 0 → a n n lim sin 0 0 =  → a n n 故根据夹逼定理得到 xdx

例0证明00 →|sin"rd>0 si"x-sin"x=sn"x(1-inx)≥0wr∈0, 丌 且x;E0, 使 ll SIn SIn Ix =sinx(1-sinx)>0 202/21

2021/2/1 5     2 + 2 0 0 1 [ 3] 0 sin sin   x dx x dx 例 证明 n n [证] ] 2 sin [0, 1  x C n  + ] 2 sin 0, [0, 1     + x x n ], sin 0 2 [0, 0 1  0   + x x 且  使 n sin 0 2 0 1    +  x dx n ] 2 sin sin sin (1 sin ) 0 [0, 1  − = −    + x x x x x n n n 且 ],使 2 [0, 1  x  sin sin sin (1 sin ) 0 1 1 1 1 1 − = −  + x x x x n n n

n+41 SIn x-sin x )dx 丌 n+1 Sn"式 sindy> →0<sin"xth<inxb 202/21 6

2021/2/1 6 sin sin 0 (sin sin ) 2 2 2 0 1 0 0 1 = −   −    + +    x dx x dx x x dx n n n n      2 + 2 0 0 1 0 sin sin   x dx x dx n n

千例8求()eamk(2) 解因为e是连续函数,所以有 e'd t =e d x edt e2x=2xe 202/21

2021/2/1 7            2 1 1 [ 8] (1) ; (2) x t x t e dt dx d e dt dx d 例 求 因为e x是连续函数,所以有 x x t e dt e dx d =    1 (1) =       2 1 (2) x t e dt dx d 2 2 2 u x = e  x = xe dx du e dt du d u t   [ ] 1 [解]

1例9求ar dt dx r d t → e' d t eldt d =2-(-3x2l2=2x2+3x2 202/21

2021/2/1 8  − 23 [ 9] xx t e dt dxd 例 求   = + − − 2 3 23 1 1 x t x t xx t e dt e dt e dt 2 3 2 ( 3 ) x 2 x xe x e− = − −   −  =      − − 2 2 3 3 1 1 x t x t xx t e dt dxd e dt dxd e dt dxd 2 3 2 2 3 x x xe x e− = +   − = − 2 3 1 1 x t x t e dt e dt [ 解 ]

例设由方程e"M+smtM=0 能确定隐函数y=y(x)求 解方程两边对x求导得到 e sinx=0 解出,得 =e sinx 注意变上限定积分给出一种表示函数的方 法,对这种函数也可以讨论各种性态。 202/21

2021/2/1 9 ( ), . [ 10] sin 0 0 2 0 2 dx dy y y x e dt t dt x y t 能确定隐函数 求 例 设由方程 = + =   − 方程两边对x求导,得到 sin 0 2 2  − = − x dx dy e y 解出 ,得 dx dy 2 sin 2 e x dx dy y = [解] [注意] 变上限定积分给出一种表示函数的方 法，对这种函数也可以讨论各种性态

[例1设参数方程x三mnt,y=cdr 确定函数y=y(x)求, dx dx 解 dy y(t-cost =-cott dx x'(t sint y ()' (cott) 1 = d x' x sInt sin t 202/21 10

2021/2/1 10 ( ), , . [ 11] sin , cos 2 2 0 0 dx d y dx dy y y xx d y d t t 确定函数 求 例 设参数方程= = =       =  = ( ) ( ) x t y t dx dy =   = ( ) ( ) 2 2 dx x t d y dx t dy t t t cot sin cos = − − = −  tt t sin ( cot ) t 3 sin1 [ 解 ]