《高等数学》课程PPT教学课件（题解）无穷大量与无穷小量

§5无穷大量与无穷小量 由于lim f(x)=A等同于 lim[f(x)-A]=0,因 x→x0 x→x0 此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是 相同的.所以有人把“数学分析”也称为“无穷小 分析”， 一、无穷小量 二、无穷小量阶的比较 三、无穷大量 四、渐近线 前页 后页 返回

前页 后页 返回 二、无穷小量阶的比较 §5 无穷大量与无穷小量 由于 等同于 因 0 lim[ ( ) ] 0, x x f x A → − = 0 lim ( ) x x f x A → = 分析”. 相同的. 所以有人把 “数学分析” 也称为 “无穷小 此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是 四、渐近线 三、无穷大量 一、无穷小量 返回

无穷小量 定义1设∫在点x的某邻域U(x0)内有定义, 若lim∫(x)=0,则称∫为x→x时的无穷小量 x→ 若f在点x的某个空心邻域内有界,则称∫为 x→x0时的有界量 类似地可以分别定义∫为 x→x,x→x,x→0,x→+,x→-00 时的无穷小量和有界量. 前页】后页)返回

前页 后页 返回 一、无穷小量 定义1 设 f 在点x0的某邻域U  (x0 )内有定义， lim ( ) 0, 0 = → f x x x 若 . 则称 f 为 x → x0时的无穷小量 类似地可以分别定义 f 为 时的无穷小量和有界量. . x → x0 时的有界量 0 若 f x 在点 的某个空心邻域内有界， 则称 f 为 , , , → 0 → 0 →  + − x x x x x x → +, x → −

例如:x-1为x→1时的无穷小量; √1-x2为x→1时的无穷小量; sInx 为x→∞时的无穷小量 sinx为x→∞时的有界量 显然,无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷 小量 对于无穷小量与有界量,有如下关系: 前页】后页)返回

前页 后页 返回 显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷 例如: x − 1为 x → 1 时的无穷小量； 对于无穷小量与有界量，有如下关系： 1 − x 2 为 x → 1 − 时的无穷小量 ； sin ; x x x 为 时的无穷小量 →  sin . x x 为 时的有界量 →  小量

1.两个(类型相同的)无穷小量的和,差,积仍是 无穷小量 2.无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量 性质1可由极限的四则运算性质直接得到 下面对性质2加以证明. 设limf(x)=0,|g(x)|≤M,x∈U(x0).对于任意 x→x0 的e>0,因为imf(x)=0,所以存在δ>0,使得当 x→>x0 0<|x-x0<时,f(x)4M+1 从而 前页】后页)返回

前页 后页 返回 1. 两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是 2. 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量. 性质1可由极限的四则运算性质直接得到. 的 0, 因为 lim ( ) 0, 所以 0  = → f x x x  存在  0, 使得当 无穷小量. 下面对性质２加以证明. 0 0 | | , | ( ) | , 1 x x f x M   −    + 时 从而 0 0 lim ( ) 0, | ( ) | , ( ). x x f x g x M x U x → 设 对于任意 =  

I f(x)g(x)ka. 这就证明了f(x)g(x)是x→>x时的无穷小量 例如:x为x→0时的无穷小量,im为x→0时 的有界量,那么 rsIn为x→0时的无穷小量 应当注意,下面运算的写法是错误的: lim xsin -=lim x lim sin -=0 x→0 xx-0x→>0x 前页】后页)返回

前页 后页 返回 0 这就证明了 f x g x x x ( ) ( ) . 是 → 时的无穷小量 例如: x 为 x → 0 时的无穷小量，sin 1 x 为 x → 0 时 0 . 1 的有界量，那么 xsin x 为 x → 时的无穷小量 0. 1 lim lim sin 1 lim sin 0 0 0 =  = → → → x x x x x x x 应当注意, 下面运算的写法是错误的： | ( ) ( ) | . f x g x  

从几何上看,曲线y=Xsin,在x=0近旁发生无 限密集的振动,其振幅被两条直线y=土x所限制 0.1 y=x 0.05 y=rsin 0.05 J==c -0.1 前页】后页)返回

前页 后页 返回 x y x 1 从几何上看，曲线 = sin 在 x = 0 近旁发生无 限密集的振动，其振幅被两条直线 y =  x 所限制. y -0.1 -0.05 0.05 0.1 -0.1 -0.05 O 0.05 0.1 x y = x x y x 1 = sin y = −x

二、无穷小量阶的比较 两个相同类型的无穷小量,它们的和、差、积仍 是无穷小量,但是它们的商一般来说是不确定的 这与它们各自趋于零的速度有关为了便于考察 两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢,我们给 出如下定义 设当x→x时,f(x)g(x)均是无穷小量 1若m/()=0则称x→5时()是关于x) x→x co gtx 前页】后页)返回

前页 后页 返回 二、无穷小量阶的比较 两个相同类型的无穷小量，它们的和、差、积仍 ( ) ( ) x x f (x) g(x) g x f x x x 1. 若 lim 0，则 称 0 时 是关于 0 = → → ( ), ( ) . 设当 x → x0 时，f x g x 均是无穷小量 出如下定义. 两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给 这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察 是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的

的高阶无穷小量,记作 f(x)=0(g(x)(x→x) 当f(x)为x→x时的无穷小量时,我们记 f(x)=0(1)(x→x) 例如:1-cosx=0(x)(x→0); sinx=0(1)(x→>0); xk+=0(x)(x→>0,k>0) 前页】后页)返回

前页 后页 返回 的高阶无穷小量，记作 ( ) ( ( )) ( ) . x o g x x x0 f = → ( ) (1) ( ) . x o x x0 f = → ( ) ( 0, 0 ) . 1 = →  + x o x x k k k sin x = o (1) (x → 0 ); 例如： 1 − cos x = o(x) (x → 0 ) ; 0 当 为 时的无穷小量时，我们记 f x x x ( ) →

2.若存在正数K和L,使得在x0的某一空心邻域 U(x0)内,有 L f(r) M g(r) 则称∫(x)与g(x)是x→x时的同阶无穷小量 根据函数极限的保号性,特别当 im/(x)-c≠0 x→xg(x) 时,这两个无穷小量一定是同阶的 例如:当x→0时,1-c0sx与x2是同阶无穷小量; 前页】后页)返回

前页 后页 返回 2. 若存在正数 K 和 L，使得在 x0 的某一空心邻域 ( ) U x0  内，有 , ( ) ( ) M g x f x L   根据函数极限的保号性，特别当 0 ( ) ( ) lim 0 =  → c g x f x x x 时，这两个无穷小量一定是同阶的. 例如: 当 x → 0 时, 1− cos x 与 2 x 是同阶无穷小量; 则称 与 是 0 x → x 时的同阶无穷小量. f (x) g(x)

当x→0时,x与2+如是同阶无穷小量 3.若两个无穷小量在U(x0)内满足: f∫(x ≤L, g(x) 则记∫(x)=O(g(x)(x→x0) f(x)为x→>x0时的有界量时,我们记 f(x)=0(1)(x→x) 应当注意,若f(x),g(x)为x→x0时的同阶无 穷小量,当然有 前页】后页)返回

前页 后页 返回 3. 若两个无穷小量在 ( ) U x0  内满足: , ( ) ( ) L g x f x  则记 ( ) ( ( )) ( ). x O g x x x0 f = → 当 x → 0 时，x 与       + x x 1 2 sin 是同阶无穷小量. ( ) , f x 为 x → x0 时的有界量时 我们记 ( ) (1) ( ) . x O x x0 f = → 应当注意，若 f (x) , g(x) 为 x → x0 时的同阶无 穷小量，当然有